книги / Электричество и магнетизм
..pdf
При слабом затухании ω≈ ω0 , поэтому период и логарифмическийдекрементзатуханияможнорассчитыватьпоформулам:
|
|
T = 2π LC ; |
(6.7) |
θ = |
R |
2π LC = πR L / C. |
(6.8) |
|
|||
|
2L |
|
|
Для характеристики колебательных свойств системы применяется величина Q = π/θ, называемая добротностью контура, которая также связана с длительностью процесса затухания колебаний. При небольшом затухании Q = 2πW/∆W. Таким образом, добротность колебательного контура Q пропорциональна отношению энергии W, содержащейся в контуре, к потерям энергии W за период колебаний.
В случае сильного затухания, когда β = ω0, колебания становятся невозможными (ω = 0), и напряжение на конденсаторе уменьшается со временем апериодически. Такой процесс имеет место в том случае, если активное сопротивление контура достигает критической величины (или превышает ее). Значение критического сопротивления можно найти из условия β2 = ω02:
Rкр2 |
= |
1 |
; |
R = 2 L / C. |
(6.9) |
2 |
|
||||
|
LC |
|
кр |
|
|
4L |
|
|
|
|
Описание установки
Элементы колебательного контура − катушка индуктивности L (соленоид) и конденсатор C – размещены на планшете модуля МО3 (рис. 6.3). Выводы катушки L находятся в левом верхнем углу планшета, выводы конденсатора емкостью C = 100 нФ − в правом верхнем углу планшета. Там же расположен переходной конденсатор емкостью Cпер = 10 нФ. Резисторы сопротивлением Ri, равным 1; 10; 91 и 910 Ом, также располагаются на планшете.
51
Рис. 6.3. Установка для исследования затухающих колебаний: 1 − катушка индуктивности (соленоид); 2 и 2′ − выводы катушки индуктивности; 3 − переходной конденсатор; 4 и 4′ − выводы конденсатора С; 5, 6, 7, 8 − резисторы
Сигнал для возбуждения колебательного контура получают от генератора звуковой частоты, для чего переключатель формы сигнала переводят в положение генерации прямоугольных импульсов.
Порядок выполнения работы
1.Соберите электрическую цепь по схеме на рис. 6.4
(Cпep = 10 нФ, C = 100 нФ, индуктивность катушки L = 3,8 мГн). Подключите внешнее активное сопротивление R1 = 1 Ом. Активное сопротивление катушки Rкат = 8 Ом.
Определите суммарное активное сопротивление колебательного контура: Rакт = Ri + Rкат. ЗанеситезначениеRакт в табл. 6.1.
2.Включите питание звукового генератора и осциллографа. Установите частоту генератора f = 30…100 Гц, уровень сиг-
нала − максимальный. Переключатель генератора развертки осциллографа установите в положение τ = 0,2 мс/дел.
52
Рис. 6.4. Электрическая схема для исследования затухающих колебаний
3.Регулятором «уровень» добейтесь устойчивой синхронизации изображения затухающих колебаний на экране осциллографа, при этом переключатель вида синхронизации осциллографа должен быть в «утопленном» положении, что соответствует внутренней синхронизации. Перемещая изображение по экрану осциллографа, добейтесь симметричного расположения кривой относительно сетки экрана.
4.Измерьте амплитуды первого Um1 и k-го Umk (например, 2-го) колебаний. Результат измеренийзанеситев табл. 6.1.
Таблица 6 . 1
Номер |
Rакт, |
Um1, |
Umk, |
l, |
t, |
T, |
θ |
β, |
Rэф, |
Q |
измерения |
Ом |
дел |
дел |
дел |
мс |
мс |
мс–1 |
Ом |
||
1–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =…; τ = … мс/дел.
5. Измерьте расстояние l в делениях шкалы осциллографа, приходящееся на k колебаний. Рассчитайте время прохождения k колебаний t = lτ и период затухающих колебаний Т = t/k.
6. Рассчитайте логарифмический декремент затухания θ для k колебаний по формуле:
θ = 1 ln |
Um1 |
. |
(6.10) |
|
k Umk
Результат расчета занесите в табл. 6.1.
53
7. Рассчитайте следующие величины:
–коэффициент затухания
β= θ ;
T
–эффективное сопротивление
Rэф = 2Lβ;
– добротность колебательного контура
Q = θπ.
Результаты расчета занесите в табл. 6.1.
(6.11)
(6.12)
(6.13)
8.Повторите измерения с другими резисторами, включен-
ными в колебательный контур (R2 = 10 + 1 Ом, R3 = 91 + 10 + 1 Ом, R4 = 910 + 91 + 10 + 1 Ом). Результат занеситев табл. 6.1.
9.Исключите внешнее активное сопротивление из колебательного контура. Введите в катушку алюминиевый сердечник.
10.Проведите измерения и расчеты по пунктам 4−7 с алюминиевым и другими сердечниками.
При введении сердечника в катушку меняется ее индук-
тивность L, поэтому для расчета Rэф необходимо использовать новое значение индуктивности, которое можно рассчитать по упрощенной формуле:
L= |
T |
2 |
. |
(6.14) |
|
|
|||
4π |
|
|||
|
2C |
|
||
Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 6.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
6 . 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал |
Um1, |
Umk, |
l, |
t, |
T, |
L, |
θ |
|
β, |
Rэф, |
Q |
||||
сердечника |
дел |
дел |
дел |
мс |
мс |
мГн |
|
мс–1 |
Ом |
||||||
Алюминий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Латунь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Феррит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =…; τ = … мс/дел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
54
Контрольные вопросы
1.Вывод уравнения незатухающих электрических колебаний в колебательном контуре.
2.Вывод уравнения затухающих колебаний в колебательном
контуре.
3.Параметры колебательного контура. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, время релаксации
идобротность колебательного контура. Апериодическое затухание и критическое сопротивление контура.
4.Измерение параметров колебательного контура. Влияние активного сопротивления и сердечника катушки на колебательный контур.
5.Явление электромагнитной индукции и самоиндукции. Правило Ленца. Индуктивность длинного соленоида.
Задания для отчета
1.Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С и катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L. Найдите отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.
2.Колебательный контур имеет емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R. Через какое количество колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в e раз?
3.Найдите время, за которое амплитуда колебаний тока
вконтуре с добротностью Q уменьшится в n раз, если частота
затухающих колебаний равна ω.
4. Добротность колебательного контура Q = 5,0. Определите, на сколько процентов отличается частота ω свободных колебаний контура от его собственной частоты ω0.
55
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун-т. –
Пермь, 2000. – 74 с.
2.Паршаков А.Н. Принципы и практика решения задач по общей физике: учеб. пособие: в 3 ч. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – Ч. 2. Электромагнетизм. – 313 с.
56
Приложение I
Коэффициенты Стьюдента (при α = 0,95)
п |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(α, n) |
12,7 |
4,3 |
3,2 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
2,4 |
2,3 |
2,3 |
2,1 |
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение II
Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов
Зависимость измеряемой величины y от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой. Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f (x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.
В теории вероятности показано, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f (x) дает прямая линия,
построенная методом наименьших квадратов. В этом слу-
чае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f (x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для двух случаев:
1. В случае, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость, которая аппроксимируется прямой, проходящейчерезначалокоординат,
y = bx. |
(П.1) |
57
Рис. П.1. График зависимости y (x)
Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi (рис. П.1). Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения уi относительно прямой.
Для этого находим отклонение каждого значения уi от прямой у = bх:
yi − bxi |
= yi . |
(П.2) |
Составим сумму квадратов этих отклонений: |
|
|
n |
|
|
S = ( yi |
− bxi )2 . |
(П.3) |
i =1
Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f (x) будет минимальным, если
d S |
= 0. |
(П.4) |
|
||
dt |
|
|
Дифференцируем (П.3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (П.4), получим:
n |
n |
n |
|
−2 ( yi − bxi )xi = 0 или |
xi yi |
− b xi2 = 0. |
(П.5) |
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
Отсюда определяем искомый коэффициент:
58
|
n |
|
|
|
b = |
xi yi |
(П.6) |
||
i=1 |
|
. |
||
n |
|
|||
|
xi |
2 |
|
|
i=1
2.В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,
y = a + bx. |
(П.7) |
Коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам:
|
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
a = |
xi2 |
yi |
− xi yi xi |
|
|||||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
, |
||||
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|||
|
|
n xi2 − |
xi |
|
|||||
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
b = |
n xi yi |
− yi |
xi |
|
|||||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
n |
|
n |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n xi2 − |
xi |
|
|
|
|||
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
(П.8)
(П.9)
Предположим, что мы провели эксперимент и получили данные. Заносим их в табл. П.1.
|
|
|
Таблица П. 1 |
|
|
|
|
|
|
Номер |
xi |
yi |
xi уi |
xi2 |
измеренияi |
|
|
|
|
1 |
1,0 |
1,6 |
1,60 |
1,00 |
2 |
1,9 |
2,5 |
4,75 |
3,61 |
3 |
3,1 |
3,0 |
9,30 |
9,61 |
4 |
4,0 |
3,7 |
14,80 |
16,00 |
5 |
4,9 |
4,6 |
22,54 |
24,01 |
Σ |
14,9 |
15,4 |
52,99 |
54,23 |
59
Рассчитаем коэффициенты а и b:
a = 54,23 15,4−52,99 14,9 = 45,591 = 0,928 , 5 54,23− 222,01 49,14
b = 5 52,99−15,4 14,9 = 35,49 = 0,722 . 5 54,23− 222,01 49,14
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следую-
щим образом: у= 0,928 + 0,722· х.
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки. Одна из них у1 = 0,928. Вторую точку y2 получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5:
у2 = 0,928 + 0,722·5 = 4,538.
На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.
Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь.
Рис. П.2. Применение метода наименьших квадратов
60