Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Элементы теории механических цепей в динамике машин и конструкций..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

5.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Рис. 2.4. Согласованные каскадные соединения Г-образных четырехполюсников: а) ― по Т-образной схеме; б) ― по П-образной схеме

Рассмотрим соединение двух четырехполюсников (рис. 2.4, б), в котором сила на выходе первого подается на вход второго, а выход второго врезан во входную силовую цепь первого. В целом данная конструкция образует четырехполюсник с обратной связью. Его можно охарактеризовать

коэффициентом передачи по силе	KQ = Q2 ,		если известны коэффициенты
	Q1
передачи по силе обоих четырехполюсников:			KQ′ =	Q2	и KQ′′ =	Q1′′. Учитывая,
				Q1′		Q2
что Q1 =Q1′−Q1′′, получаем
	KQ′
KQ =		.				(2.56)
KQ =	1− KQ′ KQ′′	.				(2.56)

2.5. Затухание четырехполюсника

В данном разделе будут рассматриваться обратимые четырехполюсники. Затухание вибрационного сигнала при прохождении через четырехполюсник определяется выражением

						A=10lg	P1	,	(2.57)
						A=10lg	P	,	(2.57)
							P
							2
где	P =	Q2S	2			― мощность, которую бы отдавал источник вибронагрузки
		1	2
					)2
	1	(S + S		2	)2
		1		2
Q1	с внутренним сопротивлением S1 непосредственно сопротивлению S2 ,

P2 = v22S2 ― мощность, которую отдает источник тому же сопротивлению,

будучи подключенным через четырехполюсник. Если четырехполюсник присоединен к источнику вибронагрузки с внутренним сопротивлением

S1 = S1 и нагрузке с сопротивлением S2 = S2 , то есть работает в

согласованной цепи, затухание вибрационного сигнала будет определяться только собственным затуханием четырехполюсника

A=a .

(2.58)

Доказательство приведено в [2] (см. раздел 18.8).

Кроме того, при согласованном последовательном соединении четырехполюсников вся их цепь может быть заменена одним четырехполюсником, имеющим характеристические сопротивления, равные входному характеристическому сопротивлению первого и выходному характеристическому сопротивлению последнего четырехполюсника в цепи. Коэффициент распространения такой цепи равен сумме коэффициентов распространения составляющих ее четырехполюсников. Например, для двух,

первый из которых имеет характеристические сопротивления S1 ,S2 , а второй ― S3 = S2 ,S4 , данное равенство

g = g1 + g2

(2.59)

может быть получено из (2.16) с учетом (2.42). Соответственно, собственное затухание и коэффициент фазы согласованной цепи также суммируются:

a = a1 + a2 , ζ = ζ1 +ζ2 .

(2.60)

Коэффициент распространения для каскадно-соединенных одинаковых симметричных Т-образных или П-образных четырехполюсников, ― частного случая, рассматривавшегося выше, дан выражением (2.51).

2.6. Механические фильтры

Фильтр ― устройство, пропускающее колебания в некоторой полосе частот с малым затуханием (полосе пропускания). Остальная область частот называется полосой задерживания. Выделяют фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые и заграждающие. Основы проектирования электрических фильтров изложены в [3]; здесь будут рассматриваться фильтры, преобразующие механические колебания. Фильтры, состоящие из масс и упругих элементов, называются реактивными. Это ― идеализированная ситуация. Полосой пропускания реактивного фильтра называется область частот, при которых собственное затухание реактивного фильтра равно нулю. Теория фильтров базируется на теории четырехполюсников.

Очевидно, что реактивный четырехполюсник, состоящий из одних масс или одних упругих элементов, не может иметь полосы пропускания. Покажем это на примере Г-образных или симметричных Т- или П-образных четырехполюсников, рассмотренных ранее. Пусть такой четырехполюсник содержит внутренние сопротивления S1 = ± is1, S2 = ± is2 , где s1,s2 > 0, а

верхние знаки относятся к случаю, когда четырехполюсник содержит только массы, а нижние ― только упругие элементы. Тогда согласно (2.48)

sh g =sh acosζ +ich asin ζ =

откуда

sh acosζ =

ch asin ζ = 0,

и, следовательно,

sin ζ = 0,

sh a =

> 0,

то есть полоса пропускания у такого четырехполюсника отсутствует. Для симметричных Т- или П-образных четырехполюсников соотношения (2.49) либо (2.50) ведут к тому же выводу.

Из доказательства становится понятно, что для существования полосы пропускания реактивного четырехполюсника необходимо, чтобы существовал интервал частот, в котором знаки внутренних сопротивлений были бы разными: signS1(ω)signS2 (ω) < 0, ω (ω1,ω2 ) (четырехполюсник

при этом не может содержать только массы или только упругие элементы).

Если S1 = ± is1, S2 = is2 , s1,s2 > 0, то				из	(2.48) следуют		выражения для
полосы пропускания

sh a = 0,	sin ζ = ±				s1	> 0,	(2.61)
sh a = 0,	sin ζ = ±					> 0,	(2.61)
					4s2
и для полосы задерживания

сha =		s1	,	sinζ =1			(2.62)
сha =			,	sinζ =1			(2.62)
		4s
	2

Г-образных четырехполюсников (для симметричных Т- или П-образных четырехполюсников параметры a и ζ в (2.61), (2.62) необходимо заменить на a / 2 и ζ / 2 ).

Ограничимся рассмотрением реактивных фильтров на основе симметричных четырехполюсников. Для такого фильтра согласно (2.44) в полосе его пропускания a = 0 будет

B11 = ch g = chiζ = cosζ,

откуда получаем неравенство

−1≤ B11(ω) ≤1,

(2.63)

определяющее полосу пропускания. Если в качестве фильтра рассматривается Т- или П-образный четырехполюсник, то в соответствии с (2.49) или (2.50) условие (2.63) принимает вид

−1≤1+	S1	≤1	−1≤	S1	≤ 0 ,	(2.64)

	2S2			4S2

откуда следуют уравнения для определения частот среза ω1, ω2 , лежащих на границе полосы пропускания:

S1(ω1) = 0, S1(ω2 ) = −4S2 (ω2 ) .

(2.65)

Для реактивных фильтров на основе симметричных Т- или П-образных четырехполюсников частоты среза можно определить, анализируя характеристические сопротивления (2.49) или (2.50). Как было показано выше, условие пропускания a = 0 может существовать в каком-то интервале


частот, только если знаки		S1 и S2	разные, когда		S1 / (2S2 ) < 0 , а S1S2		―
действительное	число.	При	этих	условиях		характеристические
сопротивления	(2.49) или	(2.50)	оказываются		действительными		при
1+ S1 / (2S2 ) ≥ 0 , то есть при		S1 / (2S2 ) ≥ −1.		В целом получаем, что условие

существования полосы пропускания фильтра эквивалентно тому, что характеристические сопротивления имеют действительные значения, то есть являются активными в этом диапазоне частот (и реактивными вне его ― в полосе задерживания).

Если обратиться к (2.47), то можно увидеть, что действительнозначность характеристического сопротивления реактивного симметричного четырехполюсника связана с разными знаками сопротивлений при мгновенной остановке и на холостом ходу. Этот критерий можно использовать как графический способ определения полосы пропускания частот.

Выделим κ-фильтры, представляющие собой каскадное соединение реактивных Г-образных четырехполюсников, для каждого из которых произведение внутренних сопротивлений не зависит от частоты:

S S	2	= s s	2	= κ2	,	(2.66)
1	2	1	2

где κ > 0. Примером могут служить масса и упругий элемент, для которых S1 =is1 = 2imω, S2 = −is2 = −ik / (2ω) или наоборот. С учетом (2.48) из (2.66) можно показать, что для таких четырехполюсников также будет

SПST = κ2 .	(2.67)
С учетом обозначений S1 = ± is1, S2 = is2 ,	s1,s2 > 0 и (2.66) из

выражений (2.48) может быть исключено одно из сопротивлений (например,

S2 ):

= κ

, ch g =

, sh g =

. (2.68)

4κ2

2κ

Условия пропускания sh a = 0 (2.61) либо задерживания cosζ = 0 (2.62)

тогда сводятся к соответствующему выражению

sin ζ = ±

ch a =

(2.69)

2κ

а частоты полосы пропускания удовлетворяют неравенству

0 ≤

≤1.

(2.70)

2κ

Если рассматривать фильтры, составленные из симметричных Т- или П-образных четырехполюсников, внутренние сопротивления которых удовлетворяет условию (2.66), то для расчета частот среза можно воспользоваться уравнениями (2.65), принимающими вид

s1(ω1) = 0, s1(ω2 ) = 2κ.

(2.71)

Действие реактивных фильтров низких и высоких частот, изображенных на рис. 2.5, 2.6, легко понять, если обратить внимание, что инерционный элемент мало сопротивляется воздействию низких частот и значительно сопротивляется воздействию высоких частот, а упругий элемент мало сопротивляется воздействию высоких частот и значительно

сопротивляется воздействию низких частот. Поэтому низкочастотное воздействие легко проходит сквозь инерционные элементы четырехполюсников на рис. 2.6 на нагрузку, испытывая значительное сопротивление на параллельно подключенном упругом элементе. В фильтрах на рис. 2.6 все сказанное имеет место для высокочастотного воздействия.

В качестве примера рассчитаем полосу пропускания механического фильтра низких частот на основе прямого Г-образного четырехполюсника (см. рис. 2.5). Для составляющих его сопротивлений имеем

s1 = 2mω, s2 = k / (2ω) , κ2 = mk и, согласно (2.71), имеем ω1 = 0, ω2 = ω , где ω = k / m ― собственная частота осциллятора с массой m и упругостью k .

Если		в	схеме	прямого Г-образного четырехполюсника		взять
s = 2k / ω, s	2	= mω/ 2 ,		то κ2 = mk , и	согласно (2.71) будем	иметь
1	2
ω1 = ∞, ω2 = ω .			Этот	четырехполюсник	соответствует фильтру высоких
частот (рис. 2.6).

На рис. 2.7, 2.8 приведены более сложные схемы, соответствующие полосовым и заграждающим фильтрам, которые также принадлежат семейству κ-фильтров. Рассмотрим прямой Г-образный четырехполюсник

(рис. 2.7)

комплексными

сопротивлениями

s = 2(mω−k / ω), s

= κ2

/ (mω−k / ω) / 2,

где

κ2 = mk .

Из

(2.65) тогда

получаем

полосу

пропускания,

ограниченную

частотами

ω1 = ω , ω2 = ω (1+

Если

внутренние

сопротивления

5) / 2 .

четырехполюсника

подключены

как

на

рис. 2.8,

то

s = (mω −k / ω) / 2,

s = 2κ2

/ (mω −k / ω) ,

где

κ2 = mk ,

в этом

же

диапазоне будет располагаться полоса запирания.

Рис. 2.5. Звенья механических κ-фильтров низких частот: а) ― Г-образное; б) ― Т-образное; в) ― П-образное.

Рис. 2.6. Звенья механических κ-фильтров высоких частот: а) ― Г-образное; б) ― Т-образное; в) ― П-образное.

Рис. 2.7. Звенья механических полосовых κ-фильтров: а) ― Г-образное; б) ― Т-образное; в) ― П-образное.

Если характеристики сопротивлений фильтров на рис. 2.7, 2.8 не удовлетворяют условию (2.66), частоты среза определяются согласно (2.65).

Недостатками κ-фильтров являются: а) существенное изменение характеристических сопротивлений от частоты в полосе пропускания, вследствие чего не удается согласовать нагрузку с фильтром во всей полосе пропускания, и б) недостаточная крутизна зависимости затухания от частоты вблизи частоты среза, вследствие чего не обеспечивается четкое разделение частот.

Рис. 2.8. Звенья механических запирающих κ-фильтров: а) ― Г-образное; б) ― Т-образное; в) ― П-образное.

Для лучшего согласования нагрузки с фильтром во всей полосе пропускания проектируют μ-фильтры. Для этого к прямому Г -образному κ-

фильтру с сопротивлением ST присоединяют обратный Г-образный κ- фильтр с сопротивлением STµ = ST (рис. 2.9, а, б) или к обратному Г- образному κ-фильтру с сопротивлением SП присоединяют прямой Г- образный κ-фильтр с сопротивлением SПµ = SП (рис. 2.10, а, б). При этом в первом случае последовательное внутреннее сопротивление берется равным

S2µ = S2 / µ,					0 ≤µ ≤1,			(2.72)
и из условия согласованности		сопротивлений STµ = ST						с учетом (2.49)
получаем
	2	=	2	+	1−µ2		,	(2.73)
	S		µS		2µS	2

1µ			1

то есть второе внутреннее сопротивление присоединенного звена состоит из

двух последовательно соединенных сопротивлений µS / 2							и	2µS	2	/ (1−µ2 )
						1			2
(рис. 2.9, в).
Во втором случае параллельное внутреннее сопротивление берется
равным					0 ≤µ ≤1,					(2.74)
S1µ =µS1,					0 ≤µ ≤1,					(2.74)
и из условия согласованности сопротивлений						SПµ = SП	с	учетом (2.50)
получаем
2S		=	2 S	2 +	(1−µ2 )S	,				(2.75)
2S	2µ	=	µ	2 +	1	,				(2.75)
	2µ		µ		2µ

то есть второе внутреннее сопротивление присоединенного звена состоит из

двух параллельно соединенных сопротивлений 2S

/ µ и

(1−µ2 )S / (2µ).

Характеристические

сопротивления

присоединенных

звеньев

оказываются равными

(2.76)

SТµ = 1+(1

−µ

)

SТ,

SПµ

4S2

+(1

−µ

)

4S2

причем

SПµSTµ = SПST = κ2 .

(2.77)

Рис. 2.9. Образование последовательно-производного звена μ-фильтра

Рис. 2.10. Образование параллельно-производного звена μ-фильтра

Полосы пропускания модернизированных фильтров совпадают с полосами пропускания исходных. В этом можно убедиться, если из (2.72), (2.73) либо (2.74), (2.75) получить

	S			µ2
1µ		=					,	(2.78)
	4S2µ	=	4S2	+1	−µ	2	,	(2.78)
			4S2			2
			S
			S
			1
и затем использовать для S1µ,S2µ (2.65):
S1µ(ω1) = 0,		S1µ(ω2 ) = −4S2µ(ω2 ) .						(2.79)

Из (2.77) с учетом (2.76) следует (2.65), следовательно, частоты среза μ- фильтра и фильтра-прототипа совпадают.

В полосе задерживания μ-фильтра в соответствии с (2.49), (2.62) и (2.76) будем иметь

ch a =	S1µ	=		µ	.	(2.80)


	4S2µ		4S2	+1−µ2
			S
			1

Затухание обращается в бесконечность при частоте резононса, определяемой уравнением

	S1(ωр)	= −	1	.	(2.81)
	4S2 (ωр)		1−µ2

При этой частоте в одном из плеч μ-фильтра наступает резонанс.
Крутизна зависимости затухания от частоты вблизи ω= ωр					используется для

стабилизации низкого затухания в полосе пропускания при приближении к частотам среза фильтров всех типов. Кривая затухания вблизи точек резонанса при фиксированном значении S1 / S2 тем круче, чем ближе µ к 0.

Различные схемы μ-фильтров низких, высоких частот и полосовых μ- фильтров приведены на рис. 2.11‒2.13.

Комбинируя κ-фильтры с μ-фильтрами, можно добиться как постоянства сопротивления в зависимости от частоты в полосе затухания, так и крутизны кривой затухания ниже или выше частот отсечки (рис. 2.14).

Индуктивно связанные контуры трансформатора могут быть использованы для проектирования полосовых фильтров. Рассмотрим симметричный четырехполюсник с трансформатором и упругими

элементами (рис. 2.15), в котором

масса

M =χm . Для

такого

четырехполюсника

S1 = 2i(1−χ)mω−ik / ω,

S2 =imω и, согласно

(2.50),

характеристическое сопротивление равно

− (1+χ)

ω2

−1

(1−χ)

ω2

−1 .

(2.82)

В полосе пропускания (2.82) должно быть действительнозначным, откуда следуют условия

	2		2
(1+χ)	ω2	−1 > 0, (1−χ)	ω2	−1< 0
	ω		ω

или

ω =		ω	< ω<		ω	= ω	2	(2.83)
ω =			< ω<			= ω		(2.83)
1	1+χ			1−χ
	1+χ			1−χ

и определяются частоты среза полосового фильтра. В области частот ниже ω1 характеристическое сопротивление фильтра инерционное, а в области

частот выше ω2 ― упругое; при ω= ω оно равно mω .

Рис. 2.11. Различные схемы (a‒в) μ-фильтров низких частот

Рис. 2.12. Различные схемы (a‒в) μ-фильтров высоких частот

Рис. 2.13. Различные схемы (a‒в) полосовых μ-фильтров

Рис. 2.14. Полосовой фильтр, состоящий из Т-образного κ-фильтра (в середине) и Г-образных μ-фильтров (по концам)

Рис. 2.15. Схема фильтра, эквивалентная трансформатору

Рассмотрим фильтры на основе симметричных мостовых четырехполюсников. Согласно (2.53) действительное значение

характеристического сопротивления SМ = S1S2 достигается, если мнимые внутренние комплексные сопротивления S1 и S2 имеют разные знаки.

Различные мостовые схемы приведены на рис. 2.16. Рассчитаем, например, частоты среза полосового фильтра, изображенного на рис. 2.16, в. Для него S1 =im1ω−ik1 / ω, S2 =im2ω−ik2 / ω и из условий смены знаков этих

сопротивлений получаем ω1 = ω = k1 / m1 , ω2 = ω = k2 / m2 > ω .

В электронике в плечах мостовых схем часто используют пьезоэлектрические резонаторы, которые можно представить последовательным соединением индуктивности и ёмкости. Такой элемент обладает очень высокой добротностью, что обеспечивает возможность создания полосовых фильтров с весьма узкой шириной полосы пропускания и высокой крутизной кривой затухания вблизи частот среза.

Рис. 2.16. Мостовые схемы фильтров: а) ― низких частот; б) ― высоких частот; в) ― полосовой; г) ― заграждающий

Есть определенный смысл строить фильтры на основе упругих и вязких элементов. На рис. 2.17 приведены схемы таких безынерционных фильтров.

Для фильтра низких

частот

имеем

S1 = r,

S2 = −ik / ω и согласно

(2.50)

ch g =1+irk / (2ω).

Отсюда

ch acosζ =1, sh asin ζ = rk / (2ω) .

Решая

совместно эти два уравнения, получаем

rω 2

sh a =

rω

rω 2

(2.84)

Этот фильтр не имеет диапазона частот, в котором затухание равно нулю. За частоту среза принимают частоту, при которой равны активное и упругое реактивное внутренние сопротивления плеч Г-образного

четырехполюсника:

r / 2 = 2k / ω1 ,

откуда

ω1 = 4k / r . В

этом случае

выражение (2.84)

дает

sh a ≈ 2,2.

Аналогично

рассчитывается затухание

фильтра высоких частот, для которого имеем

sh a

k 2

(2.85)

2rω

ω1 = k / (2r) и то же значение затухания при частоте среза.

Рис. 2.17. Безынерционные схемы фильтров: а) ― низких частот; б) ― высоких частот; в) ― полосовой; г) ― заграждающий

На рис. 2.18 в качестве примера приведена модель (механическая цепь) Дикмана ‒ Кёрмана ‒ Нойбера системы «оператор ‒ пневмоинструмент ‒ среда», предложенная для низких частот вибровозбуждения [7].

Рис. 2.18. Динамическая модель Дикмана ‒ Кёрмана ‒ Нойбера системы «оператор ‒ пневмоинструмент ‒ среда» [7]: 1 ― голова; 2 ― пояс верхних конечностей; 3 ― система «рука-плечо»; 4 ― система грудная клетка ‒ брюшная полость; 5 ― таз; 6 ― бедро; 7 ― стопа; 8 ― рукоятка пневмоинструмента; 9 ― корпус пневмоинструмента; 10 ― ударник; 11 ― пика; 12 ― среда

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202321.98 Mб0Элементы промышленной электроники..pdf
#
20.11.20234.47 Mб1Элементы расчета полупроводниковых усилителей..pdf
#
20.11.202323.52 Mб0Элементы свербольших интегральных схем..pdf
#
20.11.20239.24 Mб1Элементы систем автоматики..pdf
#
20.11.202353.33 Mб1Элементы теории и практики обеспечения электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств..pdf
#
20.11.20235.42 Mб2Элементы теории механических цепей в динамике машин и конструкций..pdf
#
20.11.20234.8 Mб2Энергетические установки..pdf
#
20.11.202310.29 Mб2Энергетические характеристики управляемых выпрямителей..pdf
#
20.11.20238.25 Mб7Энерготехнология химических производств..pdf
#
20.11.202311.44 Mб1Энергоэффективные конструкции в подземном строительстве..pdf
#
20.11.202312.87 Mб3Энергоэффективные конструкции в строительстве..pdf