книги / Экспериментальные методы в биомеханике

ни идеально твердыми, ни идеально жидкими. Подавляющее большинство жидкостей по их реологическому поведению можно отнести к промежуточной области между жидкостью и твердым телом: они проявляют как вязкие, так и упругие свойства. К твердым телам могут быть приложены как растягивающие, так и сдвиговые напряжения, тогда как к жидкости – только сдвиговые.

Реология включает три общих направления:

1)определение типа течения;

2)реологическое моделирование, позволяющее получать материальные функции для данной жидкости при данных условиях течения;

3)экспериментальное определение реологических свойств. Подробное изложение основ реологии можно найти в моногра-

фии [2].

Практически важный простой сдвиговой тип течения реализуется между двумя параллельными пластинками, зазор между которыми h много меньше ширины пластин. Схема такого типа дана на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Одномерное сдвиговое течение Куэтта

На основании этой схемы выражение для скорости жидкости записывается следующим образом:

где γ – скорость сдвига.

161

Течение, определяемое этим уравнением, называется простым сдвиговым течением, или течением Куэтта.

Существует ряд других геометрических схем течения, при которых скорость также описывается подобным уравнением:

а) пуазейлевское течение в трубе или капилляре; б) куэттовское течение в зазоре между двумя коаксиальными

цилиндрами; в) сдвиговое течение между конусом и плоскостью или между

двумя плоскостями.

Подробная информация о таких типах вискозиметрических течений представлена в монографии [5].

5.1.1.Материальные функции [4]

Вобщем случае напряженное состояние описывается с помощью шести компонент тензора напряжений. Однако для описания установившегося простого сдвигового течения достаточно знать

гораздо меньшее число компонент, а именно τ12 – сдвиговое (касательное) напряжение; τ11, τ22, и τ33 – нормальные напряжения; индексом 1 отмечено направление течения, индексом 2 – направление, перпендикулярное течению (т.е. направление градиента скорости),

аиндексом 3 – нейтральная ось.

Нормальные напряжения развиваются в направлениях, перпендикулярных и параллельных движению пластин, и иногда бывают того же порядка, что и сдвиговые напряжения.

В несжимаемой жидкости напряженное состояние определяется деформацией (или скоростью деформации), а абсолютные величины нормальных напряжений реологически неопределимы. Одна-

ко значения их разностей, например τ11 – τ22 и τ22 – τ33, не зависят от изотропного (в частности, атмосферного) давления.

Для корреляции величин напряжений со значениями скоростей сдвига в установившемся сдвиговом течении требуется не более трех материальных функций

162

Функция η(γ) определяет зависящую от скорости сдвига вязкость среды, а Ψ1(γ) и Ψ2(γ) – первая и вторая функции нормальных напряжений. Для большинства известных вязкоупругих жидкостей

N2 = −0,5 N1 .

5.1.2. Неньютоновские и аномально вязкие жидкости

Среда называется ньютоновской, если при всех скоростях испытаний ее вязкость постоянна, а разности нормальных напряжений тождественно равны нулю.

Жидкость называется неньютоновской неупругой, если ее вязкость зависит от скорости сдвига, но N1 и N2 равны нулю. Наконец, когда все материальные функции η(γ), Ψ1(γ) и Ψ2(γ) зависят от скорости сдвига, жидкость называется неньютоновской упругой (или вязкоупругой). Таким образом, как следует из приведенных определений, функции нормальных напряжений Ψ1(γ) и Ψ2(γ) описывают упругие свойства жидкостей.

Соотношение между напряжением сдвига τ и скоростью сдвига γ, характеризующее поведение жидкости при течении, графически изображается в виде кривой, на которой по оси ординат откладывают значения τ с размерностью в системе СИ – Паскаль (Па), а по оси абсцисс – γ, с размерностью обратной секунды (с–1 ). Такой график называют «кривой течения». Другой широко используемой диаграммой является зависимость η = f (γ ) . Такая диаграмма называется «кривой вязкости» (размерность вязкости – Паскаль·с [Па·с].

Характерные кривые течения и вязкости представлены на рис. 5.2, где приведены различные кривые течения, встречающиеся в прак-

163

тике. Для очень многих жидкостей, имеющих важное значение, таких как эмульсии, суспензии или дисперсии, характерно резкое снижение вязкости при повышении скорости сдвига от низкого до высокого уровня. Другими словами, чем быстрее, например, кровь перекачивается по сосудам и капиллярам, тем существеннее снижается ее вязкость – это псевдопластичная жидкость (кривая 2 на рис. 5.2). С точки зрения биомеханики это может означать, что при данной силе воздействия на кровь или при данном давлении большая масса крови может быть приведена в текучее состояние или же снижены затраты энергии на поддержание течения на определенном уровне.

Наряду с псевдопластичными жидкостями в природе встречаются жидкости, вязкость которых возрастает при увеличении скорости сдвига. Такие среды называют дилатантными (кривая 3 на рис. 5.2). К ним относятся высоконаполненные суспензии твердых частиц в вязкой среде. Дилатансия в жидкостях представляет собой редкое явление.

Некоторые среды, к примеру, пластилин, начинают свое течение только после достижения напряжением некоторого предела, который называется пределом текучести. Их называют вязкопластическими. На рис. 5.2 такой материал представлен кривой 4.

Рис. 5.2. Различные типы течения жидкостей: ньютоновская жидкость – 1; неньютоновская жидкость: 2 – псевдопластичная, 3 – дилатантная; 4 – псевдопластичная

с пределами текучести (пластичная)

164

Известно, что кровь – это эмульсия форменных элементов (эритроцитов, лейкоцитов и тромбоцитов) в плазме – водном растворе солей, белков и других органических и неорганических веществ [3]. Общее процентное содержание форменных элементов

вобъеме крови называется гематокритом.

Вкрови имеются следующие виды клеток:

–эритроциты (40–48 % объема крови) – безъядерные клетки, способные упруго деформироваться, образовывать агрегаты. Их форма в норме – двояковогнутый диск, который можно аппроксимировать цилиндром высотой 2,5 мкм и диаметром 8 мкм;

–лейкоциты – обладают собственной подвижностью, участвуют в реакциях иммунитета, входят в состав тромба, гидродинамический размер 5 мкм, концентрация в крови примерно 0,05 %;

– тромбоциты – участвуют в свертывании крови, диаметр 1 мкм, концентрация 0,3 %.

Вязкость крови колеблется у человека в физиологических ус-

0,001006 Па·с). Она зависит от количества и свойств форменных элементов крови (особенно эритроцитов), содержания в плазме белков и их состава, содержания в крови гемоглобина и углекислоты. Вязкость крови повышается с увеличением содержания углекислоты, вызывающей разбухание эритроцитов, и понижается с увеличением в крови содержания кислорода. Поэтому вязкость венозной крови больше, чем артериальной. При ряде болезней и ухудшении газообмена в легких вязкость крови повышается.

Способные к упругой деформации красные кровяные клетки (эритроциты), формой напоминающие монеты, могут изменять свою форму вплоть до длинных цилиндров с уменьшенным диаметром, что позволяет им при высокой скорости течения легче проходить через узкие кровеносные сосуды. Сдвиговые напряжения могут также вызвать разрушение нерегулярных комков изначально агрегированных эритроцитов, что способствует увеличению скорости течения крови. Отсюда следует вывод, что кровь является псевдопластической жидкостью с вязкостью, уменьшающейся при увеличении скорости сдвига. Кроме этого, кровь обладает упругостью, обусловленной содержащимися в ней упругими эритроцитами.

165

При этом крутящий момент M1 ротора ротационного вискозиметра уравновешивается моментом сил упругости нити М2.

где k – постоянная ротационного вискозиметра.

Наиболее распространенным типом ротационного вискозиметра является вискозиметр, у которого внутренний цилиндр (ротор) жестко закреплен на вертикальной оси электродвигателя, дающего возможность вращаться ротору с различной угловой скоростью. Внешний цилиндр при этом жестко закреплен. На оси ротора имеется силоизмеритель момента вращения.

Тогда скорость сдвига на внутреннем цилиндре (роторе)

Скорость сдвига на поверхности ротора равна угловой скорости Ω, умноженной на константу М, которая зависит от радиусов внешнего R2 и внутреннего R1 цилиндров данной измерительной системы.

Часто имеет смысл ввести отношение радиусов δ = R2/R1, что

Здесь γ1 – скорость сдвига на роторе радиусом R1, с–1 ; n – частота вращения ротора, мин-1;

М – фактор скорости сдвига, или геометрический фактор, рад-1 (зависит от радиусов стакана и ротора).

168

Напряжения сдвига τ

где τ1 и τ2 – напряжения сдвига на внешнем цилиндре и роторе, Па; Md – момент вращения, подлежащий измерению, Нм;

L – высота ротора, м;

А – коэффициент формы, м-3 (является константой для данной измерительной системы и определяется геометрией ротора);

С1 – коэффициент коррекции вращающего момента, учитывающий влияние поверхности дна ротора (его оценка требует знания τ1 и τ2).

Вискозиметр типа «конус–плоскость»

На рис. 5.5 показан измерительный узел ротационного вискозиметра, в котором испытуемая жидкость помещается в зазор между горизонтальной плоскостью и круговым конусом радиусом Rс, который вращается с заданной скоростью вращения. На оси вращения устанавливается измеритель момента сопротивления вращению жидкости. Часто для предотвращения касания вершины конуса о горизонтальную поверхность ее отсекают до некоторого радиуса Rс, при этом образуется зазор a = RT tg α . Эти величины наряду с углом конусности α используются для вычисления констант А и В для каждой измерительной системы.

Как правило, в промышленно выпускаемых измерительных системах «конус– плоскость» углы конуса очень малы (α = 0,0174 радиан или 1 градус). Иногда предлагают конусы с меньшими углами, но для них точное установление зазора очень важно, и поэтому их реже рекомендуют. Угол конуса выбирается таким образом, чтобы для любой точки поверхности конуса отношение угловой скорости к расстоянию до плоскости было постоянной величиной, т.е. скорость сдвига γ должна быть постоянной от вершины до внешнего радиуса Rc в любой точке зазора.

169

Вычисления производят по следующим формулам. Скорость сдвига γ

измерительной системы «конус– плоскость».

Рис. 5.5. Измерительная система «конус– плоскость» с усеченным конусом

Напряжение сдвига τ

170