книги / Экспериментальные методы в биомеханике

кость – это прерывистое собрание костных балочек, заполненное костным мозгом, в то время как кран – это однородная конструкция. Понятия главных напряжений для прерывистых систем не существует. Значения этого факта долгое время не замечали [39, 52].

Впоследствии Koch (1917), в равной степени хороший инженер и врач, разрешил некоторые спорные вопросы о сравнении траекторий напряжения «крана Кульмана» с человеческой бедренной костью. Он рассчитал траектории напряжения в бедренной кости человека, используя тщательно подобранные нагрузки, прикладываемые к ее головке, и геометрию, полученную из анатомических измерений. При этом он доказал, что ориентация трабекул в конечном счёте сходна с математически вычисленными траекториями напряжений для гомогенной структуры аналогичной формы

[50, 52].

Однако три вопроса, заданных Мейером, оставались свободными для интерпретации и нуждались в ясном ответе. Для ответа на эти вопросы необходимо вернуться в XIX век и отметить появление понятия об адаптации кости к механической нагрузке. Вследствие этого возникла еще одна новая идея, когда в 1880 и 1881 годах Roux представил идею о функциональной адаптации, которая означала «адаптацию к исполняемой функции». Он назвал процесс функциональной адаптации «количественным, саморегулирующимся механизмом», находящимся под контролем «функционального стимулирования». Будучи современником Дарвина (1809–1882), Roux (1850–1924) под влиянием его теории выдвинул гипотезу, что организмы обладают способностью приспосабливаться к изменениям в условиях их существования. Как следствие этого, Roux сформулировал свои идеи так, чтобы иметь дело со всеми аспектами эволюции. Одним из его наиболее важных примеров является гипотеза траекторий для губчатой костной структуры. Она гласит: «Структура губчатой кости соответствует статическим линиям давления, которые дают возможность кости сопротивляться внешним силам с минимальными затратами» (Roux, 1881) [41, 52].

В 1885 году Roux провел анализ структуры губчатой костной ткани анкилозного колена. Как показало данное исследование, закон Вольфа справедлив, и перестройка структуры живой губчатой

241

кости происходит в соответствии с ее расположением и испытываемой внешней нагрузкой [34, 58].

В целом Roux задал вопросы о структуре губчатой кости в более фундаментальной форме. Если бы внимание было сосредоточено на функциональной стимуляции (в первую очередь на механической стимуляции), данные вопросы могли быть рассмотрены более детально, а ответы получены в численной форме. И хотя неполное понимание Roux биологии и механики стало причиной ряда неточностей в развитии его теории, его идея о саморегулировании функциональной адаптации, управляемой клетками, чувствительными к функциональному стимулированию, была чрезвычайно важна.

Можно отметить, что исследование 1885 года было последним в череде подобных работ конца XIX века. Можно упомянуть работы

Koch [50], Thompson и Pauwels [34, 57], но до середины XX века не появлялись работы, связанные с количественной верификацией идей, изложенных в законе Вольфа [34]. По всей видимости, более чем полвека относительной бездеятельности исследователей, начиная с 1885 года, можно объяснить тем, что теория развивалась гораздо быстрее, чем техника и оборудование, необходимые для экс-

к механическим нагрузкам, получена с начала 1960-х годов. И хотя до середины XX века спорадически проводились значительные исследования гистологии кости, большинство гистологических лабораторий работало только с декальцифицированной костью. Только в 1970-х годах получили распространение количественные исследования гистологических секций минерализованной кости. Во второй половине XX века, одновременно с появлением большего числа количественных исследований динамики перестройки кости, стало намного больше известно о механических свойствах кости. «Старая» биология кости с ее доминирующим интересом к минеральному метаболизму стала заменяться «новой» биологией кости, основанной на более широких перспективах. Значительный вклад в ее развитие внес хирург-ортопед Frost. Используя простые лаборатор-

242

ные методы, он начал в 1960-х годах делать гистологические сечения кости и независимо исследовать их. Frost был первым человеком, разработавшим математические модели для перестройки кости [52]. Он сделал много других наблюдений и выводов о биологии кости.

Безусловно, заслуживают упоминания исследования Pauwels, обратившегося к работам Roux. В 1980 году Pauwels исследовал то же самое колено, что и Roux в 1885 году (колено было сохранено в Институте патологической анатомии в университете Вирсбурга (Würzburg)). Исследование показало, что данное колено не годится для подтверждения закона Вольфа, поскольку оно имеет дискретный выступ, что нарушает однородность трабекулярной архитектуры [34, 57]. Однако исследование другого анкилозного колена без вышеозначенного дефекта подтвердило гипотезу Вольфа [34, 41] (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Сравнение эскиза губчатой архитектуры в анкилозном колене (а) с эскизом траекторий главных напряжений в фотоупругой модели Pauwel (б) [34]

Резюмируя все вышесказанное, отметим, что исследователи XIX века обеспечили нас тремя ключевыми понятиями о способности кости приспосабливаться к изменению механических нагрузок: структура кости оптимизирует прочность кости с учетом количества используемого материала; трабекулы выстраиваются по линиям главных напряжений; это достигается за счет системы саморегуляции кости клетками, отвечающими за механическую стимуляцию. И до настоящего времени закон Вольфа остается, пожалуй, «законом» определенным не до конца, но, тем не менее, включающим в себя эти три основных принципа в той или иной степени.

243

При математическом описании адаптационных процессов, происходящих в кости с учётом её внутренней структуры (например, при построении определяющих соотношений или кинетических уравнений, включающих в себя слагаемые, отображающие внутреннее строение кости), необходимо дать точную математическую форму записи для закона Вольфа. Этот вопрос до сих пор является краеугольным камнем современных исследований. Создание математических моделей вынуждает нас оперировать количественными категориями, поскольку мы проверяем гипотезы о неизвестном. Таким образом, прежде чем говорить о математической интерпретации закона Вольфа, необходимо ввести специальную величину, позволяющую охарактеризовать структуру губчатой костной ткани,

очём будет сказано ниже.

7.2.Способы описания структуры

Внастоящее время существует множество неоднородных материалов, имеющих сложную внутреннюю структуру. То же самое относится и к объектам естественного, биологического происхождения, таким как кость. Свойства таких материалов определяются в том числе его структурой и строением.

Существует три способа оценки микроструктуры: качественноописательная, полуколичественная (балловая оценка по сравнению со структурами стандартных шкал) и строго количественная оценка геометрическими параметрами микроструктуры [18].

Наиболее рациональным и эффективным из трех перечисленных трёх является строго количественный анализ: объективная оценка микроструктуры геометрическими параметрами ее действительного пространственного (трехмерного) строения. Только количественные данные о геометрических параметрах микроструктуры позволяют воспользоваться эффективным математическим аппаратом и вычислительной техникой для получения достоверных зависимостей между свойствами и структурой исследуемого материала. Таким образом, первым важнейшим принципом рациональной оценки микроструктуры является строго количественная оценка, выраженная конкретными величинами геометрических параметров микроскопического строения.

244

Двухмерная (плоская) структура, которую обычно можно наблюдать на поверхностях шлифов (сечений) исследуемых материалов, образуется при пересечении действительной трехмерной (пространственной) структуры плоскостью шлифа и вне этой плоскости не существует. При оценке микроскопического строения целесообразно в качестве критериев выбирать параметры этой мнимой структуры, которых не существует в реальной пространственной структуре. Однако количественная оценка микроструктуры параметрами ее двухмерного сечения может привести к неправильному представлению о ее пространственном строении. Следовательно, вторым важнейшим принципом рациональной оценки микроструктуры должен быть выбор геометрических параметров пространственного микроскопического строения в качестве критериев оценки. Отметим, что вышеперечисленные принципы являются основой стереологии [18, 68].

Стереология определяется как «методы исследования трехмерного пространства, когда доступны только двухмерные сечения твердых тел или их проекции на плоскости» [52, 66]. Стереология чрезвычайно удобна при исследовании и измерении параметров, относящихся к структуре и составу кости.

Источником информации о параметрах трёхмерной структуры служит двухмерная структура сечения исследуемого материала, наблюдаемая непосредственно на плоскости шлифа либо на его микрофотографии. На плоскости шлифа элементы пространственной структуры представлены их следами: микрочастица – ее сечением, поверхность микрочастицы – периметром ее сечения, линейный элемент пространственной структуры – точкой его выхода на плоскости шлифа.

Если на плоскости шлифа провести случайную прямую линию (секущую), то ее можно одновременно рассматривать и как линию, проведённую в пространственной структуре. В этом случае параметры, измеренные или подсчитанные вдоль данной линии, характеризуют одномерную (линейную) структуру исследуемого материала. Эти параметры также широко используются для определения параметров пространственной структуры.

245

Внастоящее время существует общепризнанная стандартизованная система обозначений геометрических параметров пространственной, плоской и линейной микроструктур. Данная система обозначений рекомендована Международным обществом стереологии (МОС) [66]. Отметим также, что в стереометрической металлографии существует своя система обозначений, несколько отличная от системы обозначений, рекомендованной МОС [18].

Вобщепризнанной системе обозначений МОС введены специальные буквенные обозначения используемых геометрических параметров. Каждый параметр имеет индекс, указывающий, к чему относится данный параметр: к единице длины, площади или объема, то есть индекс является знаменателем дроби. Например,

Система обозначений МОС представлена в табл. 7.1, а также на рис. 7.6. В данной таблице даны размерности каждого параметра.

Поскольку большинство исследуемых материалов непрозрачно, внутрь их пространственной структуры можно проникнуть, пересекая ее плоскостью или линией. Это позволяет наблюдать двухмерную структуру на плоскости шлифа и одномерную структуру на секущей линии, проведенной на том же шлифе. Геометрические параметры двухмерной и одномерной структур, измеренные или подсчитанные на шлифе, определяются параметрами трехмерной структуры, причем между этими параметрами существуют некоторые количественные соотношения. В табл. 7.2 приведены соотношения размерностей элементов пространственной структуры и их следов на секущей плоскости и на секущей линии.

Для того чтобы рассчитать действительные параметры трехмерной структуры по измеренным параметрам одномерной и двумерной структур, следует найти математически строгие зависимости между параметрами трехмерной, двумерной и одномерной структур.

В табл. 7.3 приведены размерности суммарных параметров пространственной структуры, отнесенные к единице ее объема, и их следов, отнесенных соответственно к единице площади шлифа или

246

к единице длины секущей линии. Как видно из табл. 7.3, размерности параметра трехмерной структуры и его следов на плоскости шлифа и на секущей линии одинаковы. Например, доля элемента структуры одинаково безразмерна в пространстве, на секущей плоскости и на секущей линии. Удельная поверхность в пространстве и следы поверхностей на секущей плоскости и на секущей линии имеют также одну и ту же размерность. Плотность линий (удельная протяженность) линии в объеме и их следов на секущей плоскости имеют также одинаковую размерность (см. также табл. 7.1).

247

являются статистическими, выведенными на основании закономерностей геометрических вероятностей. При этом структура должна быть однородной, то есть ее параметры должны быть статистически постоянны в объемах, на секущих плоскостях и линиях, превышающих соответствующие единицы гомогенности микроструктуры, то есть представительный объём микроструктуры [18].

Таблица 7.2

Соотношение размерностей элементов пространственной структуры и их следов на секущей плоскости и секущей линии [18]

Таблица 7.3

Размерности параметров трехмерной структуры, отнесенных к единице объема, и их следов на секущей плоскости

и секущей линии [18].

249

Таблица 7.4

Система базовых стереологических параметров и их взаимосвязь [68].

Рассмотренные ниже основные стереометрические соотношения действительны для любых структур, независимо от числа фаз, формы, размеров, числа и расположения элементов структуры, наличия или отсутствия ориентации при одном обязательном условии, а именно: сечения пространственной структуры плоскостями или линиями, на которых выполняется измерение или подсчёт величин параметров, должны быть расположены случайно или ориентированы в пространстве относительно структуры так, что любое положение или ориентации их равновероятны [18]. Если структура ориентирована в пространстве, правильные значения параметров двухмерной и одномерной структур можно получить, выполнив их измерение или подсчёт на многих шлифах, плоскости которых равномерно ориентированы во многих направлениях пространственной структуры.

Основные стереометрические соотношения применимы к металлическим сплавам (стереометрическая металлография), всевозможным композиционным материалам, керамике, горным породам, бетону, биологическим природным объектам, в том числе к костной ткани.

Далее без вывода будут представлены три первых основных стереологических соотношения. Это связано с тем, что оставшиеся четыре основных стереологических соотношения специфичны и применимы в основном в стереометрической металлографии при описании структуры различных сплавов. А именно:

250