Уравнения (14.7) или (14.8) справедливы во всех точках ден формируемого тела, включая и области, где при первом нагруже­ нии не возникали цластические деформации. В этих областях

Oij = Aeftft6ij + 2Ge,ij.

При этом уравнения (14.7) переходят в уравнения обобщенного закона Гука.

Воспользуемся теперь уравнениями (14.7) и докажем теорему, которая позволит определить напряжения и деформации после значительного числа циклических нагружений в случае указан­ ного выше предельного состояния, если известны соответствующие напряжения и деформации, возникающие при первом нагружении.

Пусть при первом нагружении внешними силами Ft, Дг в рас­

сматриваемом теле возникли напряжения aij п деформации

при этом будем считать, что некоторые области тела деформиру­ ются пластически. Предположим, что исследуемое тело испытало значительное число нагружений силами, изменяющимися по за­ кону симметричных циклов или близких к симметричным, с амп­ литудными значениями Fu Ru Пусть при этом в точках тела возникло рассмотренное выше предельное состояние, и амплитуд­

и докажем, что величины, отмеченные индексом «е», суть напря­ жения и деформации, которые возникают в рассматриваемом теле при его нагружении силами F{, R{ при условии, что материал де­ формируется в соответствии с обобщенным законом Гука.

С учетом (14.9) уравнения (14.7) принимают вид

Таким образом, напряжения o,-j, деформации e# и перемеще­

гружении, и некоторыми фиктивными afj, efj, uf, причем эти по­ следние есть решение задачи для линейного упругого тела, нахо­ дящегося под действием внешних сил Ftj Ri.

Формулы (14.16) могут быть представлены в несколько ином виде

гдо a?j, e?j — остаточные напряжения и деформации, сохранив­ шиеся в теле после первой разгрузки и подсчитанные по теореме об упругой разгрузке. Из этих соотношений, в частности, следует, что в тех точках деформируемого тела, где остаточные напряже­ ния имеют обратный знак по отношению к соответствующему напряжению при первом нагружении, предельные напряжения превышают соответствующие величины при первом нагружении.

Заметим еще, что возникновение в циклически деформируемых телах рассмотренного здесь предельного состояния имеет суще­ ственное значение при оценке малоцикловой усталости (§ 52).

Примеры определения напряжений и деформаций в предель­ ном состоянии приведены в приложении (§ 18).

§ 15. Учет влияния гидростатического напряжения

Различие между собой соотношений о ~ а, построенных из опытов на растяжение и на сжатие, влияние величины давления на зависимости а ^ а, найденные из экспериментов на растяже­ ние образцов в камере с давлением, и тому подобные эффекты, если они проявляются для данного материала, могут быть учтены путем введения в универсальные функции о ~ э в качестве одного из аргументов среднего напряжения а«/3 пли средней деформа­ ции е,*/3.

В этом случае соотношения для девиаторных величин сохра­ няются, и согласно теории малых упругопластических деформа­ ций

Функции /, <р, ф и % должны удовлетворять следующим очевид­ ным условиям:

Примеры построения функций, удовлетворяющих указанным ус­ ловиям, приведены, например, в [1].

Поэтому на границе областей упругих и пластических деформа­ ций

Отсюда следует, что величины з , и о ‘ - значения предела текуче­ сти по деформациям и напряжениям — для рассматриваемых ма­ териалов могут зависеть от е*л и ohh соответственно.

Приведем теперь постановку задачи о переменном нагружении тел, для которых существенно влияние гидростатического напря­ жения на упругопластические характеристики материала.

При первом нагружении внешними силами F*, Я* возникаю­ щие напряжения Оц и деформации 8jj удовлетворяют уравнениям состояния (15.1), (15.2) и (15.3), уравнениям равновесия и гра­ ничным условиям (12.1) и соотношениям Коши (12.2).

в рамках теории малых упругопластических деформаций могут

и, в свою очередь, инвариантные величины а* и э* — одним из двух соотношений

Универсальные функции /*, <р*, *ф* и %* должны удовлетво­ рять условиям (15.4) и (15.5).

Если при переменном нагружении пластические деформации

Соотношения (15.7)— (15.11) являются замкнутой системой для определения величин o*j: e*j, и*. После их определения текущие

величины (*ij И 6ij находятся из соотношений (10.10). Рассмотрим теперь вопрос о возможности существования про­

стых нагружений в рамках приведенной выше постановки задачи при первом и последующем переменном нагружениях.

Будем искать решение при первом нагружении в виде

При условиях (15.14), (15.15) н (15.16) будут удовлетворены

все исходные уравнения и граничные условия. Величины a.j и е# удовлетворяют следующим уравнениям равновесия и граничным условиям:

и соотношениям Коши:

а уравнения состояния приводятся к виду

Альтернативой двум последним уравнениям, согласно (15.2) и (15.3), являются соотношения

причем требуется, чтобы константы были между собой связаны соотношениями 1 + ^ = аи 1 + 6 = р. Заметим, что условие (15.15) для функций -ф и % может быть заменено условием несжимаемо­ сти е*А= 0 (К = °о), тогда эти соотношения для констант не име­ ют места.

Таким образом, если выполнены приведенные выше условия, решение задачи представляется в виде (15.14).

Рассмотрим теперь вопрос о возможности представления реше­ ния задачи о переменном нагружении в виде

предположив, что внешние силы изменяются в процессе перемен­ ного нагружения пропорционально одному параметру

При этом уравнения равновесия, граничные условия (15.7) и со­ отношения Коши (15.8) будут удовлетворены, поскольку они при­ водятся к виду

5lifj + Fi = 0, Oijlj = на S, 2 = uitj + щл. (15.23)

При условии (15.21) соотношения (15.9) приводятся к тензор­

Что же касается универсальных функций (15.10) и (15.11), потребуем, чтобы выполнялись условия, аналогичные (15.15),

где а, Ь, c, d — константы.

При этом соотношения (15.10) и (15.11) для скалярных вели­

Параметры 1* и ц* будут связаны между собой одним из следую­ щих соотношений:

смотрения, поэтому в случае несжимаемости отпадает необходи­ мость удовлетворения этим равенствам.