нились области упругих деформаций, будем иметь

стант Ofe на константы ah.

Таким образом, возникающие при переменном нагружении

соответственно напряжений а^и деформаций e!j, существовавших перед началом разгрузки, и некоторых напряжений Oij и дефор­ маций 8{j, которые возникли бы в рассматриваемом теле при нагружении его силами F% — /4 , Ri — Ri при условии, что предел текучести материала равен ов, а его упругопластические свойства

характеризуются константами Ограничения на внешние нагрузки при условии существова­

ния перед началом разгрузки областей упругих деформаций (§ 1 2 ) здесь сохраняются.

Приведем, наконец, систему экспериментов с целью определе­ ния универсальных функций и констант, введенных в этом па­ раграфе.

Случай чистого сдвига при наличии гидростатического напря­

0*2 ^ касательное напряжение, 2е42 — относительный сдвиг. В опы­ те задаются, Например, а12 и р и находятся соответствующие ве­

различных значениях относительного изменения объема е**, най­

В опыте задаются, например, а0 и р и в результате эксперимента находятся е0, 0, v, а затем э и е^. При этом могут быть построе-

где величины a, е** и а** приведены выше.

Определенную информацию об упругопластических свойствах рассматриваемых здесь материалов могут дать и результаты опы­ тов по растяжению (аАА> 0 ) и сжатию (а * * < 0 ) цилиндрических образцов при естественном атмосферном давлении. Соответствую­ щие соотношения в случае растяжения следуют из приведенных выше при р = 0 , 0 = 0 , а в случае сжатия необходимо еще у а0 и в0 поменять знаки на обратные.

Совершенно аналогичным образом могут быть найдены уни­ версальные функции и при переменных нагружениях.

Укажем в заключение некоторые работы, в которых исследу­ ются вопросы, рассмотренные в этом параграфе [1, 26, 90, 184, 199, 238].

§ 16. Термопластичность при переменных нагружениях

Рассмотрим в рамках теории малых упругопластпческих де­ формаций процесс неизотермического нагружения из естествен­ ного состояния внешними силами F*, при граничном перемеще­ нии и0{. Температура Т (ж, t) отсчитывается от некоторого началь­ ного состояния Т0.

Примем, что зависимость между средним напряжением, отно­ сительным изменением объема и температурой имеет вид

дуль объемной деформации К может, вообще говоря, зависеть от температуры.

Соотношение между девиаторами напряжений и деформации, как мы видели, имеет различный вид — происходит ли активное нагружение, разгрузка или возникают новые (вторичные) пласти­ ческие деформации. Если в некоторой области тела не про­ исходит изменения пластических слагаемых деформаций, соответ­

В области Qpt где в процессе переменного нагружения про­ исходит изменение пластических деформаций, должны быть спра­ ведливыми зависимости (16.5)

Во всех точках тела зависимость (16.1) сохраняется. Перепи­ шем ее для состояния перед началом разгрузки и для текущего состояния

Уравнения равновесия, граничные условия и соотношение Ко­

Оценивая соотношения (16.8)— (16.12), заключаем, что ве­ личины tfij, еij есть напряжения и деформации, которые возни­ кают в некотором неоднородном упругопластическом фиктивном теле при его изотермическом нагружении из естественного со­ стояния внешними усилиями Ft , R{ при граничном перемеще­

нии и0|. Фиктивное тело геометрически совпадает с рассматрива­ емым, его упругопластические свойства характеризуются

= ф*(э*, Т') и пределом текучести эв(Т'). Если указанная зада­ ча о деформации неоднородного упругопластического тела ре­ шена, то искомые величины найдутся из соотношений

граничное перемещение w0i изменяются в пределах от соответ­

стических деформаций, т. е. э* ^ эа(Т ') во всех точках тела; во втором случае при указанных выше значениях внешних па­ раметров возникают области вторичных пластических деформа­

щие в указанном выше неоднородном фиктивном теле при его

гружении силами Fiiti), Riiti) с граничным перемещением Uoi(ti) при условии возникновения областей пластических де­ формаций. Условие возникновения вторичных пластических де­ формаций: а* ^ эа(Т ') хотя бы для одной точки х тела, при­ чем э* подсчитывается в указанном выше случае.

Как видим, для определения остаточных напряжений и де­ формаций в рассматриваемом случае термопластичности имеет место аналог соответствующих теорем, приведенных в § 13.

§ 17. Моментные напряжения в циклически деформируемых упругопластических телах

Приведем одну из возможных постановок задачи о моментных напряжениях, возникающих при циклических нагружениях упругопластических тел. Соответствующие соотношения могут оказаться полезными при исследовании малоцикловой устало­

Для тензора изгиба — кручения Ху, тензоров Сц и Ау запишем соотношения [108]

условия и соотношение для тензора Ау запишутся в следующем виде [108]:

на Su перемещения и вращения. (По а и р здесь тоже произво­ дится суммирование.)

Запишем теперь соотношения типа теории малых упругопла­ стических деформаций с учетом моментных напряжений при на­ гружении из естественного состояния:

Опуская вопросы экспериментального определения универ­ сальных функций и условия активного нагружения (см., напри­ мер, [ 1 1 0 , 1681), сформулируем теорему, являющуюся аналогом теоремы о переменном нагружении, приведенной в § 1 2 .

Представим зависимости (17.10) в следующем виде:

(17.14)

где Ф1? Ф2, Ф3— универсальные функции (17.6), характеризую­ щие свойства материала при нагружении из естественного состояния, а}к) — константы материала. В случае отсутствия моментных напряжений соотношения (17.14) переходят в обобщен­ ный принцип Мазинга.

Сравнивая теперь соотношения (17.9) — (17.14) с соответст­ вующими зависимостями (17.4) — (12.6), справедливыми при на­ гружении из естественного состояния, заключаем, что с учетом (17.8) текущие величины оцх &ijxтцх*ij при переменном нагруже-

эти последние есть решения задачи о нагружении рассматривае­ мого тела из естественного состояния усилиями^— F{%R { —

и моментамир' — рпх q\— дчпри условий, что масштабы осей

тельной краевой задачи при переменном нагружении, если соот­ ветствующая задача при первом нагружении решена.

§18. Приложения

1 . Циклическое кручение призматического стержня овального поперечного сечения. Пусть под действием крутящего момента М' > 0 в призматическом стерже возникают напряжения а13, сг23 и деформации е13, е23.Согласно известной гипотезе, перемещения

выражаются формулами

где 0 ' — крутка, /'Ui, хг) — функция, характеризующая депланацию поперечного сечения.

Уравнение равновесия и ус­ ловие совместности деформаций имеют вид

где F — поперечное сечение стержня.

Если после удаления крутящего момента стержень вновь на­ гружать моментом М " < 0 , то для определения соответствующих напряжений и деформаций можно воспользоваться теоремой в переменных нагружениях. В частности, для определения зависи­ мости, связывающей М " и соответствующую крутку 0 ", следу­

ет воспользоваться соотношением М ' = Af'(0', ав). При этом, со­ гласно теореме о переменных нагружениях,

Рассмотрим более подробно задачу о переменном кручении стержня почти эллиптического поперечного сечения, контур ко­ торого задан следующим уравнением в параметрической форме

{а >36):

Xi =» [а + Ь(cos 2 ф + 2 )] sin q>, х2= —la + Mcos 2 ф — 2 ) 1 cos ф. (18.6)

При Ь = 0 это — круг радиуса а.

Если рассматриваемый стержень деформируется только упру­

При этом удовлетворяется уравнение равновесия (18.2). Из усло­ вия совместности деформаций (18.2) следует, что В — А = 2G0'.

Напряжения (18.7) удовлетворяют точно граничным условиям лишь в четырех точках контура поперечного сечения. Удовлет­ ворим граничным условиям еще в четырех точках контура, для которых

ТО

щ = — 2Q’x1x2bla.

Наконец, согласно (18.4) и (18.8),

этому согласно (18.8)

в этом случае воспользуемся теоремой о переменных нагружениях (§ 1 2 ). Согласно этой теореме при знакопеременном кручении эл­ липс, отделяющий область, в которой происходит изменение пла­

стических деформаций, определяется полуосями clf с2, выраже­ ния для которых следуют из (18.9):

и

ci > cii С2 > С2-В этом случае в поперечном сечении будут три области.

а. Область вне эллипса с полуосями съ с2. В этой области со­ гласно (18.11)

Соотношение для модуля вектора напряжений

(18.16)

вместе с уравнением равновесия

при Г0 < Г ^ Ъ

Радиус сферической поверхности г0, отделяющей область вто­ ричных пластических деформаций, согласно (18.23), удовлетворя­ ет уравнению

4ас

Отсюда, в частности, можно определить условие появления вторичных пластических деформаций, положив г0 = а,

р ^ -j os (fe3 — а3)lb3.

Ha рис. II.5 представлен график остаточных напряжении

3. Циклический изгиб круглой пластины. Круглая шарнирно опертая пластина толщины h нагружена равномерным давлением

<7 > 0 . Пусть М г — радиальный, а М 2— тангенциальный изгибаю­ щие моменты. Уравнение равновесия имеет вид

При этом

м'г = D (1 - Q') +4- *;), м [ = D (1 - Q') ( « ;+ i- *1),

(18.27)

где D = GAV3; в случае линейного упрочнения £У = О при э ^

= Э |г|*Л/2 ^ *«*

fi' = fcfl — -| = + ^ s ] ПРИ ~э> э>-

Подставив эти выражения в (18.25) и учитывая (18.26), получим уравнение для определения х2[81]:

После опеределения х2 неизвестную кривизну хх найдем из (18.26), а изгибающие моменты по формулам (18.27). Прогиб w'(r) определится в результате интегрирования согласно (18.26).

Если при нагружении равномерным давлением q в пластине не появились пластические деформации, то соответствующий про­ гиб будет [81]

Пусть теперь q > qa. Для определения прогиба в этом случае можно воспользоваться, например, приближенным решением А. А. Ильюшина [81], согласно которому

где т = э(0)/з,. Построен график величин т ~ п, где обозначена

гс = 21 q a 2/ ( 1 6 o t h z ).

Предположим, например, что пластические области распрост­ раняются вблизи граничных плоскостей по всей пластине, в этом случае щ = 3,5, а из указанного графика при & = 0,95 получаем тг = 2,175. Соответствующие зоны пластических деформаций на

8 *

рис. I I .6 заштрихованы. При этом

где 2 в(г) — уравнение границы, отделяющей области упругих и пластических деформаций.

После полной разгрузки пластина сохранит некоторый оста­ точный прогиб w° = w°(r). Для его определения воспользуемся сначала теоремой об упругой разгрузке (§ 13), согласно которой

рис. I I .6 заштрихована вертикальными линиями, при этом zj (0) = 0,917Л/2, rj = 0,313а) , фактический максимальный оста­ точный прогиб мало отличается от соответствующего прогиба, подсчитанного по формуле (18.33).

Рассмотрим теперь переменное нагружение пластины давле­ нием q" < 0 , под действием которого прогиб сначала будет умень­ шаться до нуля, а затем увеличиваться в направлении действия нагрузки q " . Для определения в этом случае прогиба w" (г) вос­ пользуемся теоремой о переменном нагружении, согласно кото­ рой

аш 0 — максимальный прогиб в пластине, нагруженной из естественного состояния давлением q — q" при условии, что предел текучести равен а2а,.

Воспользуемся представлением прогиба в форме (18.34) п определим величину давления q l, которое необходимо приложить к пластине с тем, чтобы после его удаления остаточный прогиб пластины был равен нулю (правка пластины). Пусть перед на­

дел текучести материала равен а 2ав. При этом уравнение (18.36) определяет единственное неизвестное — искомую величину давле­

ния д0. Используя числовые данные из нашего примера

иметь пластина из циклически упрочняющегося материала после значительного числа циклических нагружений давлением ± д ', воспользовавшись теоремой о предельном состоянии (§ 14),

будем считать независимыми от температуры.

Предположим, что все компоненты напряжений равны нулю, за исключением о22 = Озз — сг0. При этом из соотношений Оц ~ Вц следует, что отличными от нуля будут лишь компоненты дефор­ маций Вц и е22 = е33 s е0. Поскольку все компоненты напряже­ ний и деформаций можно рассматривать как функции только xt

Здесь принято линейное упрочнение материала. Из (18.40) на­ ходим

2|о0|< ? (!- * ) I °о |~ ка<

Из условия сопряжения при %= |, находим

Исключив из (18.49) и (18.50) е, находим уравнение для опреде ления

___________1 __________

(18.51)

2 k g — (! — *) (1 -36*)’

Формулы (18.48)— (18.51) дают решение задачи о распреде­ лении напряжений и деформаций при температурном нагруже­ нии в случае, когда пластические области примыкают к гранич­ ным плоскостям пластины (до возникновения пластической зо­ ны в центре пластины). Из (18.51) находим функцию |aU), поел©

чего согласно (18.50) становится^ известной деформация в(О,

а из (18.48) находим напряжение а.

Предположим теперь, что тепловой поток монотонно возра­

о', &'Л$- Они находятся, как отмечалось, по формулам (18.48)— (18.51). Закон деформирования при разгрузке (16.2) приводит в нашем случае к соотношению

Отсюда мы можем найти остаточные деформации ев, соответ­ ствующие нулевому значению теплового потока q. Посколь­

ку при q = 0 Вт = 0, из (18.53) находим остаточные дефор­ мации

б° = в1— вт/Зд

а из (18.52)— остаточные напряжения

а°(|) = а' ® + A eo,'(3 |2 _ 1)i

или с учетом обозначений (18.46) и (18.47)

Мы привели аналитическое решение задачи о циклических температурных нагружениях пластины с линейным упрочнением (О < it < 1), включая определение остаточных напряжений. Как

О

видим, максимальные напряжения (Jo, сохранившиеся в пластине после ее циклического температурного нагружения, могут быть значительными.

бом замкнутом цикле по напряжениям неотрицательна, т. е.

(а )

причем она равна нулю только в том случае, когда траектория нагружения целиком располагается внутри поверхности F = 0.

Учитывая (19.2), запишем систему уравнений состояния

Таким образом, согласно теории течения, зависимость между приращением деформаций и напряженным состоянием будет установлена, если в (19.5) выбрана функция F и указаны ее ар­ гументы. Приведем варианты теории течения и отметим возмож­ ность их применения для исследования процессов циклического нагружения.

В случае изотропного упрочнения принимается

При этом из (19.2) следует

причем функция упрочнения Мо) определяется, например, диаг­ раммой одноосного деформирования образца. Если, в частности, 2F — о2 — р2 = 0 (р = о*), мы приходим к известной теории Прандтля — Рейсса (# = <*>)

ния на активном участке траектории изменяет изотропно свои размеры так, что если при начальном нагружении условие пла­ стичности было о = о", то при разгрузке из состояния $ij, и при последующем нагружении по любому п ути пласти чески е де­

Таким образом, в случае изотропного упрочнения не учитывается эффект Баушингера. По этой причине теория изотропного упроч­ нения может применяться при исследовании переменных нагру­ жений с должной осторожностью.

тензор s?j определяется компонентами пластических деформаций

Скалярный множитель dX в (19.2) при условии (19.8) может быть исключен, и, таким образом, приращение пластических деформаций будет связано с напряженным состоянием через функцию F. В самом деле, так как точка s{j + dsi} остается на поверхности нагружения, должно выполняться следующее со­ отношение:

мулируются различные теории пластичности при трансляционном упрочнении.

Втеории пластичности, предложенной А. Ю. Ишлинским

[97]и независимо В. Прагером [208], предполагается, что s[j

связаны с э\) соотношением (19.9) и что р = р (0) = (2/3) ^ а, = а*. При этом из (19.11) следует

Сюда входят три экспериментально определяемые функции А(эр), В(эр), С(эр), для нахождения которых используются и ре­ зультаты опытов с циклическим изменением пластических дефор­ маций.

ские деформации. Если ядро R(s, s{) представимо в виде R(s, st) =

=т о и з (19.21) следует

Sh - sb = Ri (s) R* (s) efi, (19.22)

где точкой обозначена производная по длине дуги s траектории

к соотношению (19.9).

Если же Rzisi) = R° = const, то из (19.21) находим s°ij = R°R1(s )9 l.

Как видим, представление (19.21) обладает достаточной общ­ ностью.

Рассмотрим теперь более подробно уравнения теории течения в случае идеальной пластичности, применительно к задачам температурных нагружений и разгрузок.

Пусть уравнение поверхности текучести в пространстве sfj при наличии температуры Т есть Fisa, Т) = 0. Перепишем урав­ нение (19.2) в виде

> Ь (М-23)

где точкой обозначена производная по времени. При этом [ 3 4 ]

В приведенных соотношениях учтено, что изменение пласти­ ческих деформаций происходит в том случае, если точка, харак­ теризующая напряженное состояние, находится на поверхности текучести и если dF/dt = 0 при условии р > 0 (случай равенства соответствует нейтральному нагружению). Из последнего условия

с л е д у е т = 2Сэ^),что вместе с dF/dt = 0 приводит

к критерию нагружения SijS*j>-^-05(Tsr . При этом закон течения

(случай равенства соответствует р = 0).

С целью записи соотношений (19.27) в единой форме иногда вводят функцию g(x, t), которая равна единице, если в данной точке (х, t) не происходит изменения пластических деформаций, и равна нулю в противном случае.

При этом (19.27) можно преобразовать с учетом соотношений

(19.28)

Это соотношение удобно при численных реализациях.

Основные законы теории течения проверялись эксперименталь­ но. Наряду с удовлетворительными результатами здесь отмеча­ ются и отклонения, с чем можно познакомиться, например, в об­ стоятельном обзоре В. С. Ленского [136].

Приведенными выше уравнениями теории течения мы огра­ ничимся. В заключение рассмотрим вопрос об использовании соотношений теории течения в случае, когда траектория перемен­ ного нагружения в пространстве напряжений есть прямая (§ 3).

Запишем закон градиентальности (19.2) в пространстве 2 5

dak

За функцию F(ck) выберем (19.10), что соответствует транс­ ляционному упрочнению в случае условия текучести Губера — Мизеса,

Поскольку текущие напряжения а* связаны с о* соотношениями

Произвольную постоянную с* определим из условия, что при о * = о, (6 = 6«) пластические слагаемые э* равны эк — a j (2 G) —

пластическим слагаемым перед началом разгрузки. При этом

Комбинируя (19.35) и (19.36) и учитывая (19.33), после неслож­ ных преобразований получим

(19.37)

где обозначено

а*

D 2G ' Н '

Как отмечалось, предположение (19.31) соответствует линей­ ному упрочнению, поэтому при первом нагружении

Как видим, (19.37) совпадает с соотношениями (3.24), кото­ рые мы получили при анализе переменного нагружения по

ij?i и % будут выражаться через о* и <JS с помощью квадратур.) 9 В. П- москвитиц

Вместе с тем здесь следует заметить, что соотношения (3.24), введенные для рассмотренной программы нагружения, являются более общими, чем (19.37) при условии (19.38) и (19.40) (или с учетом А = Л (| )), поскольку, во-первых, универсальные функции

( a*j °s) и ^ 2 (а*» ) в (3.24) определяются опытным путем, и они не обязательно описываются формулами (19.38) и (19.40) (или в более общем случае при Ж £ )) и, во-вторых, прп выводе уравнений (3.24) не использовались гипотезы теории течения —

§ 20. Постановка задачи о циклическом нагружении

Приведем одну из возможных постановок задачи о цикличе­ ских деформациях упругопластических тел в рамках теории те­ чения, при этом ограничимся простейшим случаем трансляцион­ ного упрочнения при условии (19.9), позволяющем, как мы ви­ дели, учесть основные особенности поведения упругопластиче­ ских тел при переменных нагружениях.

При нагружении из исходного состояния должны удовлетво­ ряться соотношения

+ F { = 0; Oulj = Ri на £ а, щ = uoi на Su; 2в„ = J + UJA

(20.1)

Принимая за поверхность нагружения (19.10), запишем

- Н'0э%) (4- - Я ; $ ) = Р2 (*'). р2 (0) = X а‘ - <20-2)

При этом имеет место (19.11), поэтому

где скалярный множитель dk' может быть представлен в виде (19.12). В дальнейшем для определенности воспользуемся обоб­ щенным принципом Мазинга, вследствие чего р2 = а\оЦ§. Поэтому

//

причем соотношение Оц ~ справедливо в процессе всего нагру­ жения.