Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Циклические нагружения элементов конструкций..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

33.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

В самом деле, дифференцируя почленно (31.13) по р, получим

2р = — К J IR (5) exp (— ре) dg.

Возвратимся здесь к прежним переменным x— t — \ и учтем, что exp (pt) есть решение уравнения (31.11); при этом

exp {pt) [2р + t(p2 + о 2)] = К Jt R (t — т) exp (рх) х дл.

—оо

Сравнивая это соотношение с (31.11), заключаем, что (31.14) действительно есть решение уравнения (31.11).

Если уравнение (31.13) имеет корень кратности г, то анало гичным образом можно убедиться, что решениями уравнения (31.11) будут функции

exp (pt), t exp (pt), F” 1 exp (pt).

Рассмотрим теперь вопрос об использовании известных мето дов усреднения и замораживания для решения системы уравне

ний

(31.5),

которую

перепишем,

введя малый

параметр е > 0 ,

a\z« =

е j

R (t — т) bUi(т) dx +

fh (t).

(31.15)

Приведем

эту

систему

так называемому стандартному

виду.

С этой целью построим решение

системы уравнений

(31.15) при

е =

°:

***** =

fk(t)

(*,

1 =

1, 2, ... , п).

(31.16)

Решение этой

системы

при

fh =

(свободные

колебания)

имеет вид

(«) = 2 Akfi sin (<м + Vh),

h= 1

где

/i — формы главных колебаний, <рл, Ак — произвольные кон

станты, со* — корни

соответствующего характеристического

урав

нения. Введем нормальные координаты у{ по формуле

zh — 1hVU

Ук =

fhzi

(h & =

• * •* п)в

(31.17)

Здесь использовано условие, что формы главных колебаний орто гональны и нормированы:

пОд

В нормальных координатах yk(t) система п уравнений (31.16) распадается на п самостоятельных уравнений

- j j Z + ®ьУк = f h ( t ),

f h = f i f i .

Их решения есть

Ук= clksin(oht + c2kcosa>kt \-уI (t),

(31.19)

где частные решения ук определяются функциями /Д£), харак теризующими внешние нагрузки и граничные перемещения.

Если, например, fi(t) = /? sinpxt, то

			Ук -		2	Фк	•	,
			Ук -		2
Внесем выражения				(31.19)		в	(31.17)	и	определим	решения
системы уравнений			(31.16):
Zi=		2	f i (clftsincoftf +				C2,t COS COft*		+ z? ( t ) ,
		h=l								(31.20)
										(31.20)
A	=	2	f h l	(t).
		A= 1
Отсюда
dz			и						dz 9
CLZ *	=		и	»	cos				dz 9	(31.21)
■ J f	=	2 i	/	»	cos	— c2A<Bft sin COht ) + -£■				(31.21)
		h=1

В соотношениях (31.20) и (31.21), в соответствии с методом ва риации произвольных постоянных, мы считаем величины clk и

c2h функциями времени t. Внесем при этом z{ и dZi/dt								по форму
лам (31.20) и		(31.21) в систему уравнений (31.15), учитывая, что
		71
		2		fi (ciksin		+ c2kcos cokt) =	0.	(31.22)
		A= I
В итоге получим
71	e			,
2 /W	(ClkCOS СOkt — с2ksin (Hht )					=
k=l		n •Г			n .
c		n •Г			n .			dt. (31.23)
= e \ R (t — T) 2 К			L	z °	+ 2 fh iplj sin (OjT + c2j cos (OjX)			dt. (31.23)
о		ft=i	L		j=i
Здесь	учтено,	что	z,t		удовлетворяет системе		уравнений (31.16).

Разрешим теперь систему (31.22) и (31.23) относительно си и

Сгк- С этой целью умножим каждое слагаемое на Л и просумми руем по i от 1 до п, учитывая при этом условия ортогональности (31.18):

си sin a>it + с2, cos ©| t = О,

.		.				(>	n	«
©i (cu cos югг — c,\| sin a>it) = e						\R (t — T ) 2		2 /i^z®dt +
						5	i=i ft=i
	л		n	n	Г	n			"I
	+ 6 i	—	T) 2	2		/i^ft 2	fk f a j sin ©jT +		c2j COS (DjX)	dx.
	о		i=i ft=i L			j=i			J
Отсюда получаем искомые уравнения относительно clh c2h
приведенные к стандартному виду:
^1 * =	&fu + r-COS(dit■2			vi	j	R ( * — t ) (cu sin © л +			c2j coscox) dx	,
			i=i		Lo					J
c21=	Bf2i — ^	sin	2	yj	J	R (t — x) (cXj sincojx +			c2j coscojx) dx L
		1	j=x		L 0					J
									(31.24)
	i=*j. fc=i
где через /uU), f2i(t) обозначены известные функции
	h i =		2		2	f д (* - т) *2 (ч
			1	1 = 1	ь= 1	5			(31.25)
			SinCOii			, •	Г	п	(31.25)
	/г! —		SinCOii			, •	Г	п
	/г! —			1 г= 1 fc=l			X
				1 г= 1 fc=l			X

Для решения системы (31.24) воспользуемся сначала методом усреднения. С этой целью найдем средние правых частей урав нений (31-24), считая с ц c2j параметрами. Напомним, что сред ним значением некоторой функции fit) называется величина

/= И ш 1 Г / (г ) d t.

Т-+00 1 J

По эт°и схеме вычислим пределы

A ( C Jh Czi) 4^1 ( ^ 1/, C21),

«^2( ^ 1/! C2 1) = ф г ( ^ 1/» ^ 2i )j

где ф1 (сц, Си, t) и фг(с1() Си, t) — правые части уравнений (31.24). В результате вычислений получим следующие выражения для 7t

и/2:

						П
			Jl	— zhl +		2		+	9li czi),	(31.26)
										(31.26)
				— bfzl			{pzcli "Ь 9iCii),
					Jj=l
где постоянные величины P i ,						q i , pi ,		9г	есть средние значения
следующих функций:
	Pi	=	у] cos (Oit (Rc}sin (Ojt — R sj cos a>jt),
	9i	=	V jcos ©i* (Ra cos (Ojt - f Rsj sin <Ojt),
	Pi	— y] siQ ©if (Rcj sin (Ojt — R , j cos (Ojt),								(31.27)
	9i	=	y] sin ©if (Rej cos (Ojt + R,j sin (Ojt),
			OO					00
	R,j = 3		J R (I)s in <0Д d\|,				RCj — § R (£)cos©;!■
			о					о
	При этом нижний предел в интегралах, входящих в правую
часть (31.24), заменим на —
	Используя (31.26), рассмотрим усредненную систему относи
тельно \|цШ, %г№):						п
						п
			ill = 8/ll +JP 2				(ftSlj +		9x ^2j ) )
					1	j=l				(31.28)
						71			■	(31.28)
						71
			?2i — e/2j — — 2
	Перепишем систему (31.28) в следующем виде:
		§	=	е/j +	а{& ,		i,/ =	l,	2 , .... 2 n.	(31.29)
Е е	решение есть
		Ei (0		= li	+ У\(t) Cj,		у\=	r\exp (yst).		(31.30)
Здесь 2n величин					являются		корнями характеристического
уравнения				Det{aij — y6{j} =				0,		(31.31)
				Det{aij — y6{j} =				0,		(31.31)
а	есть 2 п произвольных постоянных величин, которые находят
ся из начальных условии
					£? + rfcj = 5i(0).

§ 31]	ЛИНЕЙНЫ Е ВЯЗКОУПРУГИЕ СИСТЕМЫ	201
Величины	п? — cirl удовлетворяют системе линейных однород
ных уравнений

Vs^ij) hj = 0 .

Частные решения £? = const находятся из уравнений

ан1) + 8/{ = 0 .

Таким образом, решение \М) усредненной системы (31.28) по строено.

Заметим, что комплексные корни характеристического уравне ния (31.31) будут попарно сопряженными = ^ 2 = а — поэтому соответствующие слагаемые в (31.30) будут иметь виц

eat(a sin + b cos [M).

Обоснованию метода усреднения, т. е. указанию условий, при выполнении которых решения системы (31.24) и соответствующей усредненной системы (31.28) близки, формулировке различных вариантов усреднения посвящен ряд работ (например [92, 128, 259, 2601), которые мы и рекомендуем читателю.

Рассмотрим теперь вопрос о применении метода заморажива ния к системе интегро-дифференциальных уравнений стандартно го вида (31.24). Предполагая, что переменные clt(t) и c2i(t) в (31.24) меняются медленно, будем считать их под знаком интег ралов не функциями переменного интегрирования т, а функциями времени t.

При этом уравнения примут вид

dc	71		(о ( * ) + яг (оc2i w),
- з г = 8/и (о+ J 2		(p‘i	(о ( * ) + яг (оc2i w),
	г 7		(31.32)
=	е/2( (t) — — 2	{рг	()СИ (0 + Яг (0 c2j ())•

Здесь известные функции р[ , q[3, pi3, q{ определяются формула ми (31.27). Уравнения (31.32) значительно проще исходных урав нений (31.24), однако, в отличие от усредненной системы (31.28), (31.32) является системой линейных дифференциальных уравне ний с переменными коэффициентами. Ее интегрирование вызы вает определенные трудности; практически для ее решения при меняются методы последовательных приближений с использова нием начальных значений Сц(0), с2,(0) или численные методы.

С целью обоснования метода замораживания рассмотрим более общую (нелинейную) исходную систему, записанную в

символической форме

z = еФ t, Z, J ф(г, т, z (т)) dx

(31.33)

где z — Аг-мерыый вектор, Ф(£, z, у), (pit, т, z) — вектор-функцин, непрерывные по своим аргументам.

Соответствующая система, полученная по методу заморажи вания, запишется в виде

	tj = вф ^t, т], j			ср (t, т, Т] (t)) dxj .					(31.34)
Пусть функции ФИ, z, у) и ф(£, т, z) удовлетворяют извест
ным условиям Липшица
IIФ (*, у') - ф (f, z", if) К					М 1*' -	II+ W		- у" II).
II ф (t, х, z') — ф {t, X, z") \|<					(t, т) \|z' — z" \|\|,
	\|Ф(*> z, 1/)\|\|<¥.
Здесь A, = const,	M = const,		а	функция		pU,	т)	удовлетворяет
условию	t	I
	t	I
Q(t) =	у j*			т)йт->-0		при	t — оо.
	о	о
Предположим,	кроме	того, что решения zit) системы							(31.33)
и решения цit) системы		(31.34)			определены		на отрезке		0 ^ £ ^
^ Ьг~\ причем zi0 ) = ц(0 ).
Тогда zit) и т\it) оказываются близкими,							т. е. при		t ^ L e ~ l
справедлива оценка [260]
h i t )	— т\it)\\ <		X M L & i e ) exp iX L + Ш е)),
где
6(е) = sup Q					при 0	^	L .

Метод замораживания для систем интегродифференциальных уравнений был предложен и обоснован А. Н. Филатовым [259, 260].

§ 32. Периодические решения нелинейных ннтегродифференциальных уравнений вязкоупругости

Как мы видели, если известная функция fit) в (31.6), харак теризующая закон изменения во времени внешних параметров, является периодической функцией времени (31.7), то точное ре шение представляется в форме (31.8). Пусть теперь fit) цредста-

§ 32]	ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШ ЕНИЯ			203
вима в виде равномерно сходящегося ряда Фурье
	/(?) =	2	h sin ( М + 7 ft)-	(32.1)
		h= 0
Решение уравнения (31.6)			при условии (32.1) и Х = со 2	будет
	z (?) =	S	Cft sin (fift? + Pfe),	(32.2)
где		k=0
где
	Cji —		fk	(32.3)
	Cji —	+ («*(i —лсЛ)—H3S>]v*’		(32.3)
		+ («*(i —лсЛ)—H3S>]v*’
	oo		oo

R sk=	[ R (x) sin p,tr dx,	Rch = f R (T ) COS pftTdT.
	о	о
Константы (5A удовлетворяют уравнению
	tg (Vft — Ph) =	со2/?sk
	tg (Vft — Ph) =	“
		* Ы( * - * с к ) - Ч
Ряд (32.2)	сходится абсолютно и равномерно при

0 < Д С< 1 .

(32.4)

условии

Функция (32.2) не содержит произвольных постоянных и ха

рактеризует вынужденные			колебания при наличии периодиче-
ческого возмущения		(32.1).
Рассмотрим теперь следующее нелинейное интегродифферен-
циальное уравнение:
z(t) +	о)2 z(?) — j	R (t — T ) ( Z ( T ) + (^ (z . T ^ d x j		=
			= /(0 +	и М М ) -	(32.5)
Здесь	z(t) — искомая функция, со — известная константа,				/, F t и
F2— известные функции, JLI — безразмерный положительный па
раметр. Предполагается, что ядро R удовлетворяет условию
		0 <	J R{x)dx C i ,		(32.6)

а функция j(t)° представима бесконечным рядом (32.1). Периодическое решение уравнения (32.5) будем искать в виде

бесконечного ряда

2 (? ) = Z0 (? ) + 2 (Zk (? ) —

(? )),

(32.7)

k=0

причем слагаемые этого ряда есть решения линейных уравнений

z„ + со2 ^z0 — j1 R (t — x)z0(т) dxj ==/(<),

(32.8)

zk + со2 j^z* — j R (t — T) zft (T) dxj =/(<) + (2ft-1 , <),.

где введено обозначение

F(zk- u t) = F 2(zft_ b f) + oi2 j R (t — x )F 1(zh- u x)dx. (32.9)

Как видим, линейные уравнения (32.8) есть результат приме нения к исходному нелинейному уравнению (32.5) метода после довательных приближений.

Функции F 1 и F 2 предполагаются такими, что функция F, определяемая (32.9), непрерывна по обоим аргументам, перио дична по времени и имеет ограниченные первые производные по обоим аргументам.

Поскольку правые части (32.8) являются периодическими функциями времени, решения уравнений (32.8) находятся в виде (32.2); при этом правые части (32.8) следует разложить в ряд Фурье.

Уравнения (32.8) можно преобразовать к следующей рекур рентной последовательности:

2i — Z„ +	(О2 j^Zj — z0 — j	R (t — x) (zx — z0) dxj = \|XF (z0, t),
		(32.10)
Zh — Zk- 1	+ Ю2 [ * — Zft- г	— j R (t — x) (zk — z h- ! ) d t j =

= P {F {zji—i, t) F (zk—«, t)).

Оценки периодических решений уравнений (32.10) приведены

в[1531.

§33. Приложения

1.Приближенное решение динамической задачи вязкоупруго сти. Рассматривается следующая линейная задача:

z - f ( 02z = / (* )+ ею2 j R(t — x)z(x)dxt z(0) = z0, z*(0) = v0t

(33.1)

где fit) и R it) — заданные функции, со2 и е < 1 — известные по стоянные.

Применим сначала к (33.1) преобразование Лапласа, в резуль тате получим

г	f + Pzo + "o_	, ч	Р 2 + О)2	(33.2)
	Е © 2 (у (р)—Я)	У ( Р ) =	р„ 2 .>	(33.2)
	Е © 2 (у (р)—Я)		80)
где р — параметр преобразования;		чертой отмечены изображения
по Лапласу.		_
Представим теперь выражение y(p)—R(p) в следующем виде:
	—±-= = A + BR + C T ,			(33.3)
	У — Л

где Ж 4 ), В (у), С(у) — неизвестные пока функции, Г(р) — изобра жение по Лапласу резольвенты ядра R. Напомним, что величины

Ги Л связаны между собой соотношением

Г= Л(1 + Г).

Заменим в (33.3) величину Г с помощью этого соотношения:

1 ^ А у = Ж \ ~ А у + В у - А С у ) + R4A - By - В - С) + BR3.

(33.4)

Потребуем теперь, чтобы это соотношение было тождеством при любых R, предварительно опустив слагаемое BR3:

1 - Ж = 0, - А + By + Су = 0, —А + 5(1 — *() + С = 0 . (33.5)

Мы пренебрегаем в (33.4) слагаемым BR3, поскольку по ус ловию Шр) < 1 и так как, согласно (33.2), у > 1. Неравенство R2< y усиливается с уменьшением вязкости материала. Из (33.5) находим

А = 1 , В = Г = - \ С = \ ,

У ’

у3

после чего, учитывая (33.3), перепишем соотношение (33.2) в следующем виде:

zip) = F ,(p ) + F 2(p)R + F3(p)T.

Здесь введены обозначения:

F i ( p )	рЪ I \*	(р2 + х 2)2 1
		(33.6)

< * «> •

206 ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЖ ЕН И Я [ГЛ . Y

Пусть F^t), F 2{t), F 3it) — функции, изображения которых по Лап

ласу равны соответственно F u F2, F3. Тогда решение поставлен ной выше задачи запишется в следующем виде:

		t	t
z (t) =	F1 (t)	^ R (t — T ) F 2 ( T ) dx +	J Г (t — x) F 3( T ) dx.
		о	0
Таким образом,		задача свелась к нахождению функций F tit),
F 2it), F3it),	изображения которых даются		формулами (33.6). Эта

задача не вызывает особых трудностей, а в случае нагрузок fit), представляющих интерес при исследовании колебательных про цессов, имеются таблицы.

2. Колебания цилиндра, скрепленного с оболочкой. Полый круговой цилиндр с внутренним радиусом а нагружается внут ренним давлением pit). По внешней поверхности г = Ь цилиндр скреплен с упругой оболочкой толщины /г. Материал цилиндра принимается несжимаемым, выполняются условия плоской дефор мации. При этом для перемещения и деформаций справедливы формулы

и (г, t) =	c ( t )	с (О		•	е е = ^ ,	вг = 0.	(33.7)
и (г, t) =		е, =	-2	•	е е = ^ ,	вг = 0.	(33.7)
Уравнение движения записывается в виде
		ffr		.	д2и		(33.8)
		Or		+	Р ^ ’		(33.8)
		Or		+	Р ^ ’
где р — плотность материала.
Граничные условия будут следующими:
		М М ) =	— р (*).
					E . h u (Ь, t)		(33.9)
					01		(33.9)
					01
Здесь q — неизвестное		контактное		давление;		v, р — соот

ветственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки.

Начальное условие для функции сit) примем в виде

с (0 ) = 0 А	del	= 0.
	d t \|*=о

Предполагая материал цилиндра линейно вязкоупругим, мо

жем записать с учетом (33.7):
ое — стг	( с (0 —J it — т) с(т) dx J.	(33.10)

Внесем это выражение в (33.8) и проинтегрируем с учетом граничных условии (33.9):

о-г =	- р + pc In ~	-I- 2 G0	— ^г)		с (#) +	JR (# — т) с (г) dxj,
			Я,2 Jt R (#— т)с(т) dx.				(33.11)
	с -{- со2е = /(#) +		Я,2 Jt R (#— т)с(т) dx.				(33.12)
			о
Здесь введены следующие обозначения:
,	E mh	2в 0 (ь г — аг )		_	2G0 Ь- _	а 2
С°	ро& (1 —'v*)	po“V	’		Ро а2&2		(33.13)
			h .	,	b		(33.13)
			h .	,	b
		Ро = Р* -г +		Р 1Q —•

Как в и д и м , для cU) мы получили уравнение, совпадающее с (33.1). После определения c(f) по формулам (33.7) находим пере мещение и деформации, по формулам (33.10) и (33.11) — на пряжения, а по формуле (33.9) — контактное давление

q(t) = P * h ^ -	E+hc (t)	(33.14)

Рассмотрим сначала случай линейной упругости (В = 0), при этом решение уравнения (33.12) имеет вид

c(t) = -4 gin Ы + В cos u>t -f- ~ j* / (T) sin cot dx

пли с учетом начальных условий

С (^) = щ" J f (Т ) s*n £0Т ^Т *

Пусть внутреннее давление pit) изменяется скачком от нуля до значения ра. При этом

с it) — ( 1 — cosoi), Ро®

и согласно формулам (33.10) и (33.11)

.	„ _ 4<V o ( 1 — cos со#),
	Р0Ш2Г2

~ - Р*+У / 0lnTcoswf+ ( ? - 7)(1 - созЫ)

Пусть теперь материал цилиндра обладает вязкоупругими свойствами. Ограничимся случаем так называемого стандартного материала, для которого ядро релаксации имеет вид

Ж £) = Ro exp (— 6 £).	(33.15)
При этом изображение по Лапласу будет

*	(ЗЗЛ6)
где р — параметр преобразования.

Теперь решение уравнения (33.12) в изображениях с учетом

начальных условий будет
с — f{p + 8) F (р),				(р2 +	со2) (р +	6) — Л2Я0	(33.17)
				(р2 +	со2) (р +	6) — Л2Я0
Представим функцию Fip) в виде
-F = —Ai3- + .				ТТ- +	-		(33.18)
	— _ п	1		ТТ- +	-
	' Р — a		p — P — iV		P — P + i y ’
где величины	А 2, А 3 равны
			а — ft -f- iy		а — ft — iy
	^ 2 i ^3 —		1 ,'	2 iy	2iy
	^ 2 i ^3 —			(а - ру + у
				(а - ру + у
а а, р и Tf выражаются через параметры функции Fip).
Оригинал функции (33.18) легко находится:
	eat —			fcos yt + а	■—■sin yt\
F{t) = ------				V	7	1	(33.19)
				( a - p ) 2 +	Y2
В свою очередь из (33.17) следует искомая формула для опре
деления c(t):	t			t
	t			t
с(*) =	б\| F (t — x ) f ( x ) d x + j				F ( t - x ) d f ( r ) .		(33.20)
	0			0
Если давление pit) изменяется скачком от нуля до значения
р0, то из (33.20)	следует		t
			t
	с (*) =	т г J		(5) d\ +	jp F {t).

Как видим, точное решение задачи сведено к вычислению квадратур. Изменение напряжений во времени в зависимости от параметров приведено в [ 1 0 ].

3. Вынужденные колебания вязкоупругой цилиндрической обо лочки. Следуя [153, 254], приведем одну из возможных схем построения решений о вынужденных колебаниях тонкостенных элементов конструкций. В общем случае осесимметричных оболо чек зависимость между деформациями и перемещениями запишем в следующем виде:

Si	wcos qp+ иsin ф	(33.21)
Si	Яо	(33.21)
	Яо
d2u>	sin ф dw
W '	Ха-

Здесь 6 i, е2, и1? х 2 — деформации и кривизны срединной поверх ности, и, w — продольное и нормальное перемещения точек сре динной поверхности, £ — координата, отсчитываемая вдоль обра зующей, ср — угол между касательной к образующей и осью обо лочки, Rod) — радиус направляющей срединной поверхности оболочки.

Для усилий и моментов справедливы формулы

M / J L e		_L.e )
i - v U	1	' V ’	(33.22)
h3G	/ 1	.
			\
6(1 — v)	l 2 Xl +		Хз/’

где h — толщина оболочки, v = const — коэффициент Пуассона,

G — оператор Вольтерра:

S(/) = Go ( / ( 0 - j B ( t - T ) f ( x ) d v \

Воспользуемся теперь принципом возможных перемещений, согласно которому сулдоа виртуальных работ напряжений 6^40, моментов &4дг, поверхностных сил бАр и сил инерции бЛи на возможных перемещениях би, бw равна нулю:

			б^ 0 + 6А м+ бАр+ 6 А и=				0.	(33.23)
Виртуальные работы вычисляются по формулам
6Aa =	-	f (N^e, + N 2бе2) dF,			бАм = -	f		+ М 2бх2) dF,
		F				F
бАр =	p{t)\ bu>dF,		бАи =	— Ар	(ubu +	wbw) dF.		(33.24)
		F			F
Здесь		вариации	6 ei, бе2	связаны с		би,	бw соотношениями

(33.21); интегрирование ведется по срединной поверхности недеформироваяной оболочки.

14 В. В. Москвитин

210	ДИНАМИЧЕСКИЕ Н АГРУЖ ЕНИЯ					[ГЯ. V
Приближенное решение в перемещениях будем искать в виде
	N			N
U (I,, t) =	2	Ч (t) uh(i)t	w(?,	t) = 2 Zft (i) u;ft (£),		(33.25)
	fc=l			h= 1
где zAU )— искомые		функции времени;		иА, z^A— собственные фор
мы колебаний упругой оболочки			Ш =	G0 = const),	удовлетворяю
щие геометрическим краевым условиям задачи.					Функции ик и
wh предполагаются		здесь известными. Что же касается				статиче

ских граничных условий и уравнений движения, то они будут выполнены согласно вариационному принципу (33.23).

Учитывая (33.21) и (33.25), запишем формулы для вариаций

перемещений и	деформаций:
Ьи = 2 WftSzh,	бЫ>=	2 wk8zk,
к		к
	6е2 =	7Г 2 (“Ъ cos Ф +	sin ф) 6zftr (33.26)

При условии (33.25) деформации, кривизны, усилия и момен ты, подсчитанные по соответствующим формулам (33.21) и (33.22), будут выражаться через zh(t) и щ(£), шА(§). Теперь могут быть вычислены виртуальные работы по формулам (33.24). Внося пос ледние в вариационное уравнение (33.23) и приравнивая нулю множители при независимых вариациях бzhl получим систему интегродифференциальных уравнений относительно искомых функ ций. Если при этом учесть ортогональность собственных форм и*(|) и и;А(£), то указанные уравнения распадаются на N неза

висимых:				^
	Ч +	Юл ( Ч — j			R {t — т) zh(T )CZT J =		qk(t),	(33.27)
где		Qh			Фь /.\
	2	Qh	Як =		Фь /.\	Фй = j	whdF,
	«/< = 5	- ,	Як =		7± p ( t ) ,	Фй = j	whdF,
					D „	F
						F
			Dh =	ph j (uft +		w\) dF,
л	(* Г (‘Ч У	,	2vu,ft	dub .		1	.2	\ 2
л	(* Г (‘Ч У	,	2vu,ft	dub .		1	d Ш, '
		+	Л0	dE +

причем выражение для Qh выписано для случая цилиндрической оболочки (ф = 0 ).

Периодическое решение уравнений (33.27) строится, как и в § 32. Известная периодическая функция времени qh(t) заменя ется конечной суммой ряда Фурье

	а0	м
Ян = Y +		2	[а*« cos (пРО +			an sin (»/>)]•
		71 = 1
При этом решение имеет			вид
Ч	z°	м	( zftn COS (npt) +			Z*hnsin (npt) ) ,
Ч	(s) = - J + 2		( zftn COS (npt) +			Z*hnsin (npt) ) ,
		1 1 = 1
где
„0 __	ah
*	«4 ( * - * : ) '
_e_ aftnК (1 - Дс) - »У] - <п
""	K(l-fl?)-»VJ* + a»JW
_ в°»“2Л?+ eftnК 0 ~ Л”) ~ лV]
ftn	K ( i -	^ ) - » V		] +	« i K	) e ’
	оо				оо
Д? =	I* Д (т) sin {прх) dx,			Лс = j* R (x) cos (npx) dx.
	о				о
Как было замечено в работе [153], при построении решения
следует установить		достаточное			число	N собственных форм

гтшэс|гг;|

рпс. V.2. Амплитудно-частотные характеристики цилиндрической оболочки.

в разложении (33.25). Так, при численной реализации оказалось, что, например, амплитудно-частотные зависимости для свободно опертой Цилиндрической оболочки для случаев 7V = 1 и -/V= 5, 6 , 7 отличаются существенно (рис. V.2).

14*

Г Л А В А V I

ТЕПЛООБРАЗОВАНИЕ

В ЦИКЛИЧЕСКИ ДЕФОРМ ИРУЕМЫ Х ТЕЛАХ

§ 34. Диссипация энергии и теплопроводность твердых тел

Воспользуемся основными законами термодинамики и опреде лим функцию рассеяния (или скорость диссипации энергии) W* для различных физических состоянй твердых тел при термоме ханических процессах, характеризуемых деформациями и темпе ратурой.

Первое начало термодинамики можно записать в следующем виде:

d U ^ b Q + Oifien

(34.1)

где dU — полный дифференциал плотности внутренней энергии системы, 8Q — приращение количества тепла в единице объема тела, бW = Оц8еу — удельная элементарная работа напряжений.

Второе начало термодинамики для необратимых процессов записывается в виде

dS = ^ + ^ d t ,

(34.2)

где S — энтропия, Т — абсолютная температура; функция рассея ния W* ^ 0, причем она равна нулю для обратимых процессов.

Внутренняя энергия U и энтропия S являются функционала ми температуры Т и некоторых параметров состояния, за которые примем шесть компонент тензора деформаций Вц или два инва рианта .е« и э = (s{j9{j)i/2.

Элементарное количество тепла 8Q, полученное от внешнего источника, определяется вектором теплового потока q

б Q = — div q 8t,

(34.3)

причем тепловой поток связан с градиентом температуры Т за

коном Фурье	х grad Г,
q =	х grad Г,	(34.4)
где х — коэффициент теплопроводности.
С учетом (34.3) и (34.4)	соотношение	(34.2) перепишется
в виде

В свою очередь (34.1) может быть преобразовано с помощью

введения свободной энергии 4я =	U — TS к	виду
d4? + S dT +	W*dt = M	e *	(34.6)

Эту зависимость обычно называют основным термодинамическим соотношением.

Предполагая существование для энтропии функциональной

производной от свободной энергии W по Т [891
5 = -	5 ?«	(34.7)
преобразуем (34.6) к искомому виду:
И” = а «в « +	Л - ’Гг	(34.8)

где точкой обозначена производная по времени t.

Как видим, рассеяние W* определяется заданием связи о,, ~ ~ еч и функционала свободной энергии Чг = Ч, {77, е{;-}(0. Если же напряжения бц связать с функционалом W соотношением [89]

a{j — г то из (34.8) найдем

Пеа*

и/# BY dV

W * = D i ~ T t '	(34.9)

где через DW/Dt обозначена полная функциональная производ ная от V n o t

n w _	D V deij	DWdT
~Dt	dt	"г* D T d f

По формуле (34.9) рассеяние W* определяется заданием только

свободной энергия Как известно, Для теплоемкости ср справедливо соотношение

рсР= dV/дТ', учитывая (34.7) и "Ч? =			V — TS, запишем
	_^ rp &S	/D S	dS\
Рср	1 дт		)*
При этом зависимость (34.5) преобразуется к виду
рср^	= div (х grad Т) + W.			(34.10)

Уравнение (З^Ю ) представляет собой известное уравнение теплопроводности, причем здесь внутренний источник тепла ха рактеризуется функцией рассеяния W .

§ 35. Упругий гистерезис и вибрационное теплообразование

Как отмечалось, для идеально упругих тел, если пренебречь теплообразованием за счет объемной деформации, рассеяние W * равно нулю, т. е. не имеет места диссипация энергии. Однако вследствие наличия в упругом теле всякого рода несовершенств при циклических нагружениях наблюдается так называемый уп ругий гистерезис, вследствие чего каждый элемент такой среды становится своего рода источником тепла. В литературе это свойство реальных тел иногда характеризуют термином «цикли ческая вязкость». Соответствующее теплообразование может быть значительным, особенно для крупногабаритных элементов конст рукций, и может привести к возникновению температурных на пряжений, нарушению структуры, к разрушению.

Мы приведем сначала простейшую постановку задачи о виб рационном теплообразовании в линейно упругих телах.

Количество тепла W* (мощность диссипации), выделяемое за единицу времени в единице объема циклически деформируемой

среды, равно

W* =At\'2ibWb,		(35.1)
к
где А — температурный эквивалент	механической	работы, п —
число циклов в единицу времени,	A Wk— величина рассеянной
энергии за к-й цикл, определяемая	площадью петли упругого
гистерезиса.

Коэффициент г| характеризует долю рассеянной энергии, ко торая переходит в тепло. По имеющимся в литературе данным (например [249]), можно считать, что г] » 0,7—0,8, т. е. на тепло образование идет до 80% диссипированной энергии. При ц = 1

вся рассеянная энергия переходит в тепло.
Если величина AWk пе зависит от числа циклов	к (A Wk =
= AW = const), то
W * = A n A W .	(35.2)

Величина AWk определяется изменением напряженного и де формированного состояний в процессе циклического нагружения и уравнениями состояния соответствующей среды. Однако для упругих тел, как мы видели, диссипация энергии не определя ется, поэтому для нахождения A Wh в этом случае необходимо вводить дополнительные гипотезы. Одна из таких гипотез состоит в использовании следующего выражения для A Wh:

AWh = AW'h + A W l AWH =

AW l =

(35.3)

W 'h = ^ a,

Здесь tfi и i|?2 — коэффициенты диссипации эпергии (или коэф-

фициепты механических потерь, коэффициенты поглощения),

O' — {SijSij) V*		Э — w ij ^ ij)	1
с	Gll	a\) — °ij	-J г
— Gij		a\) — °ij	-J г
Oij, Bij — здесь амплитудные	значения соответственно			компонент
напряжений и деформаций.
С целью пояснения гипотезы		(35.3) рассмотрим		некоторую

упругую среду, наличие всякого рода несовершенств в которой приводит к тому, что при циклических нагружениях напряжения и деформации отличаются по фазе б. Воспользуемся алгебраиче

скими	модулями напряжений		оа и деформаций эа и положим
	са=	о sin со£,	эа= э sin (со£ — б),
где а,	э — амплитуды	модулей	напряжений и деформаций. Под

считаем при этом площадь петли гистерезиса, описываемой на плоскости Оа~ эа за один цикл,

		2л/со
A W' =	oadda=	]	oa9adt = яоэ sin б.
		О
Учитывая, что W ' = оэ/2, отсюда приходим к (35.3):
A W' =	i\|?iW ',	=	2л sin б =	const.
В (35.3) введены	два коэффициента			и 1\|з2, сделано это

с целью описания наблюдаемого иногда отличия коэффициентов диссипации, найденных в опытах на растяжение — сжатие и на

ЧИСТЫЙ сдвиг.

Обстоятельному исследованию рассеяния энергии при цикли ческих деформациях посвящен ряд работ (например [203, 221, 222, 249, 253, 303, 317, 339, 344]). Не вдаваясь здесь в подробности, ограничимся выводом о том, что коэффициенты поглощения за

висят, вообще говоря, от температуры Г,	числа циклов N и ча
стоты п:
N, /г), t\|)2 = ^2(Г,	N, п).

Зависимость от N существенна в начальной стадии и перед раз рушением. В промежуточной стадии происходит медленный рост рассеяния энергии с увеличением N. Зависимость г[э от темпера туры Т и частоты п носит, вообще говоря, монотонный харак-

тер — увеличение	с ростом Т и уменьшение с увеличением п.
Приведем две из возможных аппроксимаций для tyJE\
гЬ,	яЬ	/ил\Р
5	= IT ( 1 +	aN) (тг) ехР (V (Г - Т0)),

Здесь	Е — модуль Юнга, ф„/.Ео — отношение ^ J E при п = щ и
Г = Г 0	(Г 0 — некоторая фиксированная температура, и0 — фикси

рованная частота), a, fi, 4 — экспериментально определяемые кон станты материала. Соотношение (35.4) записано для случая ли нейной зависимости гистерезисных потерь от числа циклов N.

Возвратимся к соотношениям (35.3) и запишем их для случая

линейной упругой среды
о = 2Ga,	о« =	3Кг».	(35.5)
При этом (35.3) принимают вид
			(35.6)
или, с учетом соотношения между упругими константами,
ДИЪ = 4 Ь>1 (1 +	V)а2 +	^ (1 - » о%],	(35.7)

где v — коэффициент Пуассона.

Как отмечалось, коэффициенты фи и ф2 определяются по ре зультатам соответствующих экспериментов. Пусть из опытов на

циклическое растяжение — сжатие определено значение						коэффи
циента диссипации ф, причем
	Ш	=				(35.8)
где о0 — амплитуда осевого напряжения.
Используя для этого случая формулу (35.7), получим
Ш = Ш (*1 (1 + V) +			(1 -	2v)) oj.		(35.9)
Сравнивая (35.8) и (35.9), находим
■ф=	12^! (1 +	v) +	'Фг (1 — 2v)).			(35.10)
Для несжимаемого	материала	(v =	1/2) отсюда		следует	Ф1 = ф.
В этом случае неизвестный коэффициент				ф2 не	будет	входить

в формулу для AWk. Если же принять ф4 = ф2, то из (35.10) по лучим ф4 = ф2 = ф при любом V.

В общем же случае ф! Ф ф2, поэтому для определения ф4 и ф2

следует к (35.10) присоединить, например, соотношение	ф! = ф*,
где ф* введено зависимостью
=	(35.11)

и определяется экспериментально из опытов на циклическое на

гружение при чистом сдвиге с амплитудой касательного напря

жения сг?2- В этом случае сг = УГ2 aj2l	= 0, и из (35.7) находим
AW = \| - (l + v) (<&)*.		(35.12)
Сравнивая (35.11) и (35.12) и учитывая,	что i? =	2 G (l + v), полу
чаем указанное выше соотношение. Зависимость		(35.10) и 'ф1==
= ф* определяют ф4 и ф2 через ‘ф и ф * .	Для определения ф! и

ф2 могут быть, разумеется, использованы результаты и других экспериментов.

Приведем теперь постановку задачи термоупругости с учетом рассмотренной выше диссипации энергии.

Уравнения состояния

Sij 2(x3,j, Оц 3^8«

вместе с уравнениями равновесия и соотношениями Коши обра зуют систему, которую мы выпишем в перемещениях:

Guijj + ( K + j G ' j UJJ, + Ft = ЗКаГ,,.

(35.13)

Присоединим сюда уравнения теплопроводности с учетом (35.1) и (35.6)

РcT,t = xT til + Аг)'2 1[fc C e iW + ^ к ( t ^ ) 2j ,

(35.14)

где щ — амплитуда перемещений при /с-м цикле. К (35.13) и (35.14) необходимо добавить еще соответствующие начальные и граничные условия, которые мы здесь не конкретизируем.

Как видим, в общем случае линейной упругой среды с дисси пацией имеем нелинейную связанную задачу, поскольку в урав нения (35.13) входит неизвестная температура Г, а в уравнения (35.14) — неизвестные амплитуды перемещений u\h\

Один из возможных методов построения соответствующих последовательных приближений состоит в следующем. В нулевом приближении решается линейная задача теплопроводности без учета диссипации энергии (ц = 0). В первом приближении для перемещений и температуры будем иметь несвязанную задачу термоупругости и теплопроводности. Для любого /71-го приближе-

ния имеем следующие задачи (иг = 1 , 2 , 3 , ...):

Gufji + [ к +	1 б ) ufji +	F t = ЗКаТ”>-\
рcT™t = K T % +	W*m,	(35.15)

с соответствующими		граничными		и	начальными	условиями.
В (35.15) коэффициенты диссипации ^					и ф2 вычисляются по
(тп— 1 )-му приближению: ‘фу1 - 1 =			фх (Г т_1), ф™ - 1 =			Ф2 (Г 771"”1).
Таким образом, если коэффициенты упругости G, К и тепло
физические	характеристики с, х		(в	том	числе и те, что		входят
в граничные	условия)	не зависят	от температуры,			то в	любом

приближении будем иметь самостоятельные линейные задачи термоупругости и теплопроводности с известным из предшеству ющего приближения источником тепла.

Если же коэффициенты упругости и теплофизические харак теристики зависят от температуры, то в (35.15) можно внести зависящие от координат и времени величины Gm_1 — G{Tm~x) и т. д. В этом случае уравнения (35.15) совместно с граничными условиями образуют неоднородные линейные задачи термоупру гости и теплопроводности. Однако путем изменения метода ите раций можно и эти задачи свести к однородным [166].

§ 36. Теплообразование в вязкоупругих телах

Воспользуемся сначала термодинамическими соотношениями, введенными в § 34, и приведем формулу для функции рассеяния W * в случае линейных вязкоупругих сред. Уравнения состояния запишем в виде (23.11) при наличии температуры Т, отсчитывае мой от некоторой Т0:

(36.1)

Как отмечалось, свободная энергия 4я есть, вообще говоря, функционал от температуры Т и компонент деформаций ец. Предположим, что W можно представить в виде суммы [205]

где \|Xjj = \iij +		8 ijjW 3 — следующие линейные функционалы:
?ii =	A	-	J М (t - т) 9ц (т) drj,
				(36.3)
Ни; =	В	—	[ М г (t — т) ец (т) d tj	(А, В = const).

Имея выражение (36.2) для 4я, можно было бы для опреде ления W* использовать формулу (34.9). Однако мы возвратимся к исходному термодинамическому соотношению (34.6), которое при условии (36.2) запишется в виде

dW	А
dT + 2	+ SdT + W* dt = s^dan + у Oudea. (36.4)

Используя (36.3), подсчитаем dp.,^:

		~	1
		d\X>{j =	“f"
d^ij =	A ( doij — d tf)M (t — T) 9ijd% — M (0) ai;- (t) d A
	)	A	\ (36-5)
d\xu =	В	— dt J M^t ~ x)eHdx — M x(0) el* (t) dtJ,

где, например, M(t — т) = dM(t — x)/dt.

Внесем (36.5) в (36.4) и приравняем нулю выражения при

независимых вариациях dT, dt, ddiu d&u:
~df -f- S = 2[А\|\|Вос, Sij —			cr^ —
= 2Aylij j M (t — т) ОЦ( T ) dr + M (0) эц				1 +	(36.6)

_0				J
+	-7Г V'ixB \| М г (t — T ) ehft (t) dx + М х (0 ) ehh (t) j .
Соотношения	s.j ~	po и oi{ ~	р,( в (36.6) будут удовлетворены,
если с учетом (36.1) и (36.3) принять
J f ( t ~ T ) - R ( t - x ) ,		Л М * - т ) = Д , ( * - т ) ,		A* = G0, Вг = К 0.

При этом из (36.6) следует для W *;
W* = si} £J R (t — <t)	(т) dx + R (0) эцj			+
	H- J °ii		J Ri (* — t) &kk(T) dx +			R t (0 ) efcftj .
Учитывая при этом (36.1), получим искомую формулу
ТУ* = Sij9ij	—	i .	.•	_ * .	ОггОзг	(36.7)
		2 G„	^ ( е л - З а Г ) —		^ .

Формула для W* получена в предположении справедливости линейных соотношений (36.1). Однако аналогично тому, как это показано в [2051, можно убедиться в справедливости (36.7) и для нелинейных уравнений вязкоупругости типа (23.3) и (23.4) или

для других тензорно-линейных соотношений.

Для линейной упругой среды

sti =

2G03<j, о« =

ЗЯ0(е« — ЗаГ);

при

этом из (36.7)

следует

И^* =

0, о чем уже упоминалось.

Воспользуемся теперь формулой (36.7) для функции рассея

ния

W* и соотношениями (23.8)

для

s{j ~ э#,

из

которых

при

1 \ =

0 следует

W* = , 0 ц -

± . S M

= g -

i Ц ■Г ( t -

X) si} (т) drj

(36.8)

или после выполнения дифференцирования

w* = ^

[ г

(0)

+ J Г (* -

х) Sii (т) dxj ,

(36.9)

где точкой отмечена производная по аргументу.

Предположим, в частности, что ядро Г представимо

виде

Tit — т) = ГДОГгЫ. При этом формула для W*

преобразуется в

W * = W QT (°) + Щ

(*) J Г 2 (т )So- (т) dx,

а2 = SijSij.

Пусть, например,

Г (г — т) = Г (0 )е х р ( — y(t — т)),

Sij =

5?j sinco^.

(36.10)

В этом случае после вычисления интеграла находим (OQ =

Г (0) от2£

si n со1((О2 +

у© COS (Of —

coy exp ( — у t)).

W * = ------тъ.—Jo

„2 ,

,л2\

2G0 (v* +

со2)


Пренебрегая при	t >	О	слагаемым		exp (—ft)	по сравнению
с единицей, выражение		для W*		при со > у можно упростить:
W* =	w t Sin2 (x>tj			Wo =	^ a l	(36.12)
Для сравнения подсчитаем работу напряжений						за один цикл
нагружения при условии (36.10)
AW =			ф Sijd9ij = ^		яГ5.		(36.13)
При этом были использованы соотношения (23.8)						~ s#,	в ко
торых нижний предел		интегрирования			заменен	на —«>.	Если

число циклов в единицу времени обозначить через п (см. (35.2)), то из (37.13) находим мощность диссипации

п А И 7 = = й - Д 4’			<3 (И 4 >
поскольку © = 2 яп. Сравнивая	(36.14)	и (36.12),	заключаем, что
n A W =W t/2 , так как при ю »	к Г, »	Г(0)/ю.

Возвратимся теперь к формуле (36.9) н предположим для определенности, что имеют место условия, сформулированные в § 23, при выполнении которых компоненты напряжений пред

ставляются в виде (23.15); при этом		stj(x, t) = \|(f)s(J(a:), и из
(36.9) находим
W* = ^25~ + <*)»	=	*«•
	t	(36.15)
Ф(0 = Г(0)\|2(<) +	l i t ) J Г (t - X)I (т)dx.

Как видим, в рассматриваемом случае в выражении функции рассеяния W*(x, t) переменные х и t разделяются. Это дает ос нование попытаться искать решение задачи теплопроводности в

виде ТЧя, t) = r\{t)T(z), если		на всей внешней границе S тела
поддерживается температура		Т*{х, t) =	Г * {х) TJ (t). При этом
Я (t) =	Z?\\|j (£);	D =	const;
срТ (*) =	%ТМ +	Т =	Г* на S.	(36.16)

В каждом конкретном случае решение Т = Т(х) задачи (36.16) зависит от формы граничной поверхности S.

Возвратимся к соотношению (36.15) и предположим, что функция £(£), характеризующая изменение во времени внешней

нагрузки, представляется в виде
			£U) = \|о sin (о)£ + у).				(36.17)
Внесем это выражение \|(£) в формулу (36.15), поменяв здесь
нижний предел интеграла на
Ф (0 =	So [Г (0) + Гс — r s ctg ((of + х)1 sin2 ((Of -f x),
Г 5 =	•5	.		•	г	•	(36.18)
Г 5 =	J Г (т) sin сот dr,			Гс = \| Г (т) cos от dx.
	о				о
При этом функция рассеяния будет равна
W* {х, t) =	^		1о2 [Г (0) +	Ге -	r s Ctg ((Of + х)1 sin2 ((Of + x).
							(36.19)
Другую форму для W*(a:, f) получим, если преобразуем вы
ражения для Г, и Гс:
			00
Г, =		— (о J Г (т) cos (от dx =				— (оГс,
			о
			оо
Гс =		о) J Г (т) sin сот dx— Г (0) = (оГ8 — Г (0).
			о
Здесь учтено, что Г(°°) = 0. При этом
			w*{x,			(о,
ф (0		=	Й® ir. + г с ctg ((Of +			х)1 sin2 ((Of +	х).
Пусть теперь			соотношения		~	для случая	физически не

линейных вязкоупругих сред даются формулами (23.1) при усло вии fi = 1 , /2(о) s /(о):

	*
	= S\j -f- j T(t	т) S\j (T) / (a) dx.	(36,20)
	b
При этом формула (36.7) для		функции рассеяния	W* пре
образуется к виду	t
	t
w * — sJLJL
vv	2G0dt

или после выполнения дифференцирования:

W* =

o*f (а) + ^ j Г (t — т) / (а) з1} (т) dx,

(36.22)

где, как и выше, точкой отмечена производная по аргументу. Предположим, что компоненты напряжений представляются

в виде (23.15); при этом из (36.22) находим

W* (х,	t) = g2(^ (q) ф0(0 ,	а2=	Гу Гу,
		г		(36.23)
фо(0 =	\|1 (0 Г аГ (0) + \| ( 0	J Г ( * -	т) 6 (т) I i (т) \|° dx.
Здесь использованы условия, при выполнении которых
	Sijix, t) — Sij(x)1(0,	/(lllo) = l^l“/(o).		(36.24)

Пусть, в частности, ядро Г(< — т) представимо в таком виде, что

Г ( * - т ) - Г , ( * ) Г , ( т ) .

При этом для случая (36.17) из (36.23) следует

Фо( 0 = ^о+а [Г (0 ) I sin2+a (со£ + х) I ~Ь D ( 0 r i (0 sm(©i + %)],

(36.25)

где через D(t) обозначен интеграл t

D ( 0 = [ Г, (т) sin (сот + %) |sina (<вт + %) \dx.

§ 37. Пластический гистерезис

Функция рассеяния W* при монотонном нагружении упруго пластического тела может быть определена с помощью формулы (36.7). Воспользуемся соотношениями (10.1) — (10.3) теории малых Упругопластических деформаций

Sij = - 7 Эу, а = 2G ( 1 — и (а)), ан = ЗКец,

(37.1)

причем до появления пластических деформаций со(э) = 0. В этом случае из (36.7) следует

W* = 2G(1 - ©)(©эч+ эц©)эц

(37.2)

Или, учитывая, что ээ = $1}эц, находим

При упругой разгрузке = 2 Gay, при этом W* = 0.

Поскольку соотношения (37.1) справедливы лишь при моно тонном нагружении, формулы (37.2) и (37.3) не могут быть использованы в общем случае циклического деформирования упру гопластических тел. В последнем случае для определения дис сипации энергии следует воспользоваться соответствующими урав нениями состояния при переменных нагружениях. С этой целью подсчитаем работу, которую совершают внутренние силы в еди нице объема тела за один полный цикл при условии, что упруго пластические свойства материала при циклических нагружениях

определяются обобщенным принципом Мазинга.
Пусть внешние силы F{ и		за один полный к-й цикл нагру
жения изменяются в пределах
F f ~ F { ~	FT~\	R$k	f	i	f	(37.4)
Удельная работа внутренних сил при переходе из					состояния М
в состояние N равна		N	N
N		N	N
"WM N = ^ OijdBij =		Sijddij -\|	^ C u d s jj
м	м		м
или при условии (37.1)
N
W M N = (* odd +		~2 [(е?{)лг — (б?г)м]-

В случае замкнутого цикла по деформациям второе слагаемое рав но нулю, поэтому соответствующая работа определяется соотно шением а — а. Аналогичным образом подсчитывается работа при использовании соотношений ( 1 0 .1 1 ), ( 1 0 .1 2 ) циклического нагру жения

sij = a*a*j/a*, a* = а* (а*), a - = ЗАен.

При этом в случае замкнутого цикла

W = (j) a* da* (а* = (s,*s»*) /г, э* = (зг*эг*) /г),

где соотношение а* ~ а* будет зависеть от номера нагружений. Пусть в данном элементе тела происходит нагружение из со стояния А (рис. V I.1) с последующим описанием петли ABCD.

Площадь петли ABCDA равна

ЭВ дС

W = j* o*da* + j* а*da* — А („* _ a * ) 2 _ a*9* _

оо

Здесь о в, Эв, Ос, эс — значения а* и э* в точках В, С соответ ственно; через оЕ обозначено значение о в точке Е, совпадающей с началом координат о*, э*. Принимая площадь ABCDA за пло щадь пластического гистерезиса Whl соответствующую к-му цик лу нагружения, и учитывая обобщенный принцип Мазинга

		*		гТлГ I		ГП	(ат =		const),	(37.6)
		От =	а т ф		\| —		(ат =		const),	(37.6)
из (37.5)		получим					*
		*					*
		92к					э2 к + 1
		1 Ф ' ( £ ) * * + “ “ « J
							2к+1/J		- а ^ + х Ф ' Ь г 1	~
							2к+1/J		2ft
									2ft+l	(37.7)
—	1	— Hh+i— -JQ ^а *лф'						_ «	•	(37.7)
—	1	— Hh+i— -JQ ^а *лф'						_ «	2л+1 ф ' ^ 2ft+l
Для определения			величин				входящих в формулу			(37.7),
удобно		воспользоваться			теоремой
о переменных нагружениях						(§	1 2 ),
согласно которой
где	Эт =	э' (х, ames, F tm, F*m),
где	F*m = ( _ l)m ( FT~l -				FT),
	F*m = ( _ l)m ( FT~l -				FT),
	я?т = ( _ 1)”‘ (яГ-1- д ? ‘).
При этом считается, что задача о
первом нагружении силами						F i, В\
рассматриваемого тела				решена,			т. е.	РисVI.1. К определению пло-
известна,		в частности,			инвариант-			Щади петли циклического гис-
ная	’	,	,	(			D'\		терезиса.
ная	величина э =		э	^а;, es, Pi,			/иг

После определения Wk искомая функция диссипации W* находится по формуле (35.1)

W* = Ач] 2 w h,	(37.8)
к
где п — число циклов в единицу времени.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть все ак= 2 (циклически идеальный материал) и	a2ft =

= Э2к-г = э* (стационарные нагружения, когда амплитуды не зависят от числа циклов). При этом для всех циклов точки С н

15 В. В. Москвитин

Е (рис. VI. 1) совпадают, и из (37.5) следует

э*

W = 2 [ о * й э * — аа	(э в =	эс =	э * ) .	(37.9)
о
В свою очередь формула (37.7) преобразуется к виду
э*
W = 4 J Ф '( у ) й э * - 2 Ф '^ ] э * .				(37.10)
0
Если внешние силы изменяются по закону симметричных цик
лов, то а* = 2а' (э' — амплитуда деформации а),			и из	(37.10) сле
дует
э'
И7 - 8 f Ф ' (a') da' -	4Ф' (а') а'.			(37.11)
о
В случае линейного упрочнения
(2<?э',		а' <	а4,	(37.12)
Ф(Э } “ \kos + 2G { l - k ) 9’,		а '> э 4.		(37.12)
Ф(Э } “ \kos + 2G { l - k ) 9’,		а '> э 4.
При этом формула (37.10) принимает вид
W = 2/соЧэ* — 2ав),				(37.13)
а в случае симметричных циклов (э* = 2э')
W = 4ко8(а' - а5 = 4asap,				(37.14)

где эр = к(э' — э8) — пластическая часть деформации а'. Возвратимся теперь к общему случаю формулы (37.7). Если

имеет место линейное упрочнение (37.12), то формула (37.7) пре образуется к виду

Wk = G ( 1	— к) [aj£ — Э2Л+1 ]	2“^ (a 2fc “Ь otlfc+i) +
+	k(JS('JC2иэ2к+ a 2ft+l32h+l) — 4Q~[fccrS(a2fc — 0&2fc+l) "f*
+ 2G (1 - fc) (a,!ft - a*h+i) ] 2 -		a 2fta^ + 1 [for* + 2G (1 - k)	+

+ Gt k —l { 92k+l — ^2ft) H---Ig-"1	0*2ft — a2ft-l) +
+	2G (1 — /c) (a2ft — 3 2/t+i ) ] .

Если циклы нагружений осуществляются с заданной ампли тудой деформации, то при любом к имеем а2ь = э*к+1 = э*. При

этом

Wk = — -^ 2 —s (a2ft +

<*4ft+i) -Г

кааэ*а2к+1 +

2д~1

— а 2'«+х) —

( ° 5(а 2'‘ —

aik+i)Y •

(37.15)

Наконец,

если

материал

циклически идеальный, т. е. a2к=

= а2л+1 := 2 ,

то

для

Wh = W

отсюда

будет

следовать

формула

(37.13). Предположим

еще,

что при данных циклических нагру-

а2ь-ц. При этом

жениях можно считать э2к«

a2/i+ 1 = э* и а2/1

из (37.7)

следует

э*

W7, =

2а2/|j Ф ' ^

j da* — а.,,(Ф' ^

j э*.

(37.16)

При а2* =

2 эта формула совпадает с (37.10).

В случае линейного упрочнения (37.12) формула (37.16) при

нимает вид

Wk = а2ккоя(э* — a2/taJ.

(37.17)

Отсюда находим

кв* (э* -

2а2кэа).

(37.18)

Поэтому,

начиная

цикла

номером к = Z,

для которого a2i =

= э*/2дз, с увеличением числа нагружений в случае циклически

упрочняющегося материала		величина	Wk будет уменьшаться и
при а2к^	э*/э3 станет равной нулю, т. е. возникнет состояние фи
зической	приспособляемости	(см. гл.	V III).	Конечно, параметр
а2к может	и не достигнуть	значения	э*/2 э,	при заданном числе

циклов, при этом в течение всего циклического нагружения пло щадь Wk петли пластического гистерезиса будет расти.

Формула (36.7) может также оказаться полезной в тех слу чаях, когда имеет место теорема о переменных нагружениях, со гласно которой справедливы представления (12.13). При этом для т-то нагружения находим

	1	‘ *т	771
*т	1	‘ *т	у ( - 1 )Л * / l	(37.19)
	2G	Sij	ft= 2
			ft= 2

Здесь э*хf и s*i1 определяются соответствующим решением задачи о нагружении нз естественного состояния (§ 1 2 ).

§ 38. Некоторые опытные данные

Приведем некоторые экспериментальные результаты теплооб разования и рассеяния при циклических нагружениях полимер ных и металлических образцов.

В работе [104] проведено измерение температуры разогрева в зависимости от числа циклов изгибных колебании прямоуголь


ных образцов (130X 30X 6 мм)		из листового стеклопластика					на
		полиэфирной смоле ПН-1. Тем
		пература измерялась на поверх
		ности образцов с помощью тер
		мопар.	Осуществлялись			сим
		метричные циклы с амплитудой
		5,5 мм.	Соответствующие				гра
		фики при различных			частотах
		представлены на рис. VI.2. Как
		видим,	сначала	температура
		растет	пропорционально			числу
Рис. VI.2. Теплообразование при из-		Циклов,	максимальные			значе-
гибных колебаниях	образцов из	ния достигаются		после		(5—о)
стеклопластика	[104].	• 104 циклов, затем температура
		стабилизируется. При			тех		же

условиях образцы нз листового стеклопластика КАСТ-В нагре вались до температуры 1 0 0 — 1 1 0 ° при частоте колебаний / = = 60 Гц, хотя при частотах / = 17, 25, 33 Гц максимальная тем пература разогрева этих образцов ниже, чем образцов из стекло

пластика на смоле ПН-1.

Исследования закономерностей гистерезисного разогрева поли мерных материалов выполнены С. Б. Ратнер [221, 222]. На рис. VI.3 представлены кривые разогрева образцов капролона при их круговом гармоническом изгибе с частотой / = 25 Гц прп различных значениях амплитуды напряжения. Как видим, при напряжениях о0 = 260 и 280 кг/см2 возникают стационарные ре жимы, которым соответствуют температуры 43 и 67°С. При амп литуде напряжения 340 кг/см2 происходит рост температуры с числом циклов вплоть до разрушения образцов.

Изменение разогрева образцов из капролона представлено и на рис. VI.4, заимствованном нами из монографии [249], в кото рой приведены также результаты оценки изменения коэффициента рассеяния = 2 И/а/оаеа и амплитуды деформаций га при заданной амплитуде напряжений оа для различных полимерных материалов. Образцы из капролопа имели в шейке квадратное сечение со сто

роной 16	мм,	частота	нагружения	/ = 15 Гц. Как в и д и м и з
рис. V I.4,	для	заданного	напряжения	о0 существует такое число

циклов нагружений, начиная с которого имеет место интенсивный рост температуры разогрева. При этом начинают интенсивно

Вис. VI.3. Кривые разогрева образцов капролона.

Рис. VI.4. Измепение разогрева образ-		Рис. VI.5. Изменение петли гис-
цов капролона. Начальная температура		терезиса с увеличением числа на-
18°С. Значения амплитуды напряжения		гружений и амплитуды напряже-
(в кг/мм2): 1	— 1,86; 2 — 1,76 [249].	ний [289].
АУ/-70г,М Д	ж /м 3	А у -103

	ва,МН/мг				Щ ,, %
Рис. VI.6. Зависимость площа-			Рис. VI.7. Изменение иеупругой дефор-
ди петли гистерезиса при из			мацпи в зависимости от числа			циклов
			нагружения при кручении образцов из

гибе:	1 — сталь 12ХНЗ,	2 —	стали ЭИ612: Д^ — относительный сдвиг;
сталь	40Х, 3 — сталь 45	[253].	Та — амплитуда касательных напряже
			ний	(в МН/м2);	1 ~ т а = 310,	N P =

			= 1,05 • 104; 2 — та =		270, iVP = l,04 • 106;
			3	— Та=250, JVP= 3,0 • 106 [253].

расти площадь петли гистерезиса AVF, амплитуда еа и коэффици ент г|). Петли гистерезиса за все время испытаний имели пример но эллиптическую форму, их площадь определялась по формуле ДW = 1,06 лаб, где а, Ь — полуоси петли.

Исследования упругого гистерезиса в металлах в связи с по знанием явления усталости были начаты много десятилетий тому назад. Еще в 1911 г. Байрстоу [252, 289] наблюдал изменение площади петли гистерезиса при циклических нагружениях образ цов из мягкой стали. Некоторые из этих результатов приведены на рис. V I.5. При статическом растяжении — сжатии до напря жения 2 2 0 0 кг/см2 петля гистерезиса не наблюдалась (линия а). При циклическом нагружении с той же амплитудой напряжений и частотой два цикла в минуту возникла петля гистерезиса ши риной Де, составляющей после 18 730 циклов приблизительно 11% от амплитуды еа (линия Ъ). При увеличении амплитуды на пряжений до 2350 кг/см2 ширина петли после 23 200 циклов увеличилась приблизительно до 1,5 Де (линия с), а при напря жении 3200 кг/см2 после 29 300 циклов она равнялась приблизи тельно 10 Де (линия d). Эти результаты были впоследствии мно гократно повторены для различных материалов с выявлением качественных и количественных особенностей.

Обзор и систематические результаты по исследованию рас сеяния энергии в металлах приведены в монографии [253]. На рис. V I.6 показано изменение площади динамической петли ги стерезиса в зависимости от амплитуды напряжений при изгибе для различных металлов, причем приведены площади стабилизи рованных петель гистерезиса. На рис. V I.7 показано изменение неупругой деформации за цикл в зависимости от относительного числа циклов нагружений для различных уровней нагрузки, най денное по результатам испытаний образцов из стали ЭИ 612 при кручении. Как видим, при N Np величина Д^ интенсивно воз растает.

§39. Температурное поле вследствие теплообразования

вциклически деформируемых телах

Если функция рассеяния W*ix, t) в каждой точке циклически деформируемого тела известна, возникает возможность определе ния в общем случае нестационарного неоднородного температур ного поля, обязанного своим существованием диссипации энергии. Выпишем при этом задачу теплопроводности

Т .1 =	ВТ,и + ?£,	Ь Ь	ЗГ(*,0 ) =	Г «(*);
T tv =	— h{T — f>)	на su	Т = Г* на	St.

Задача (39.1) может быть, как известно, сведена к более про стой. В самом деле, введем новую неизвестную функцию V(x, t) соотношением

Vix, t) = Т(х, t) - U(x, t),

(39.2)

причем выберем U(x, t) таким образом, чтобы на части гранич ной поверхности S!

U = Ъ, C/.v = 0 ,	(3 9 .3 )
а на поверхности S2
U = T *	(39.4)

После того как функция U выбрана, задача (39.1) относитель но неизвестной V будет

V't = BV,u + W*,			W* =		~	+	BUtil- U . t ;		(39.5)
V (х, 0) = Т° (х) - и (х, 0),			F,v =	-	kV		на Su	V = 0 на	S,.
									(39.6)
Решение однородного уравнения (39.5) будем искать в виде
V(x, t) = v(x)a(t). При этом
		vtii + X2v =			0 ,				(3 9 .7 )
где К — неизвестный	пока	параметр.				Граничныеусловия			для
функции v(x) будут
utV=	-h v	на	Si,	у =		0 на S2.			(39.8)
Пусть vh(x) — собственные			функции				краевой	задачи	(39.7),

(39.8); они обладают свойством ортогональности, а соответствую щие им собственные числа Хк положительны.

Для	построения решения		неоднородногоуравнения			(39.5)
представим, как обычно,
	V (х, t) = 2		(о vk(х).			(39.9)
		А=1
Внесем это выражение в уравнение (39.5):
		Рм +	=	Та,		(39.10)
где Yfe	коэффициенты разложения			W*(x, t)	в ряд по	собствен
ным функциям ик:					J vldv0.
	Ун U) =	\ W* (х, t) vhdvо, N h =			J vldv0.	(39.11)
	A	v0			v0

Здесь интегрирование производится по объему тела V0.

Решение уравнений (39.10) есть

Рй(0 = |а + j Ук(t) exp (BXlt) dtj exp ( — BXlt).

Входящие сюда произвольные постоянные находятся из на чальных условий (39.6). Учитывая при этом разложение (39.9) 'и помня, что функции vk ортогональны, получим

Ак = М ° ) =	дГ J ( T ° ( x ) - U ( x , 0 ) ) v hdv0.			(39.12)
Теперь решение исходной		задачи представится	в следующем
виде:
Т (хх t) = U (х, t) + jS	+	j Ук (t) exp (BXlt) dtj	exp ( —BXlt).
				(39.13)

Трудности, с которыми приходится встречаться при решении конкретных задач указанного здесь вида, связаны с определе нием собственных функций ик и собственных чисел краевой за дачи (39.7) и (39.8) и с подбором функции £/(я, t), удовлетво ряющей условиям (39.3) и (39.4). Примеры построения решений приведены в § 40.

Рассмотрим теперь вопрос об условиях существования стацио нарных состояний idT/dt = 0) при наличии теплообразования, вызванного циклическими нагружениями, и отвода тепла через внешнюю границу тела. Краевая задача в случае теплового рав новесия запишется в следующем виде:

т,и + ^ W* = 0, JT.v = - k {Т - Ъ) на S. (39.14)

Решению задачи (39.14) для тел определенной геометрии и исследованию условий существования решения посвящена мно гочисленная литература. Поэтому мы не будем на этом останав ливаться и ограничимся лишь попыткой использовать построен ное решение в форме (39.13) для выяснения указанных условий.

Предположим, что функция рассеяния W* не зависит от вре мени t\ при этом из (39.11) следует, что все у* будут константа ми, которые мы обозначим через у”. Выражение (39.13) преоб разуется к виду

Т (х, t) = U (х, t) + 2

(*) [ ( а * ~

exp ( - BXlt) + ^ ] •

(39.15)

Поскольку по условию температура Т не должна зависеть от вре мени, получим

Ак А

(39.16)

и, в свою очередь, при U = U (x )

T(x) = U(x) + ^ v	k( x ) ^ ,	В = ±	(39.17)
h= 1	Ч

Формула (39.17) дает распределение стационарной темпера туры по координатам, а соотношение (39.16) — условие существо вания стационарного состояния.

Преобразуем соотношение (39.16), учитывая (39.11), (39.12) и

(39.5):
* 4 J IТ* (х) -	U (х)] vh (х) dv0 = ср f W* (х) vh (х) dv0. (39.18)
Vo	v 0

Дальнейший анализ возможен, если задана геометрия гранич ной поверхности тела; тогда условие (39.18) рассматривается совместно с решением vhl Xk краевой задачи (39.7) и (39.8).

Рассмотрим, наконец, случай, когда функция рассеяния W* зависит и от температуры Т(х, t), причем эта зависимость, вооб-* ще говоря, нелинейная. При этом задача теплопроводности

cpT,t =	KTM + W *{T,x,t)',	Т(х,0 ) = ТЦху,
T,v =	— h{T — 6 ) на	Т = Г* на S2

становится нелинейной, и для ее решения удобно использовать метод линейных приближений. С этой целью построим сначала решение задали Т '(х , t), рассматривая W* как функцию некото рой заданной температуры, например, начальной температуры Г°:

c9T[t -	,« + W* (Г°, х, t);	Г	(*, 0) =	(х);
r 'v =	— /гСТ7 — О) на Su	Г	= Г* на S2.

Для любого m-то приближения имеем следующую линейную

задачу:
срТ™ = Т% + W* (Т т~\ х, t);	Тт (х, 0) =		Т° (х);
T mv = ~ h ( T m- Q ) на	7”" =	Г , на	S2,
где аргумент Т”" ' 1 функции	х, t)	считается известным

из решения Зддачи в предшествующем приближении.

§40. Приложения

1.Тепловыделение при циклическом кручении упругопласт еского стержня. Длинный стержень кругового поперечного сеч< шя испытывает циклическое кручение моментом, изменяющим

ю закону симметричных циклов. В этом случае для материала с линейным упрочнением справедлива формула (37.14)

(40.1)

Здесь 8 — крутка, rs — радиус окружности, отделяющей обла сти упругих и пластических деформаций, оя= (3/2)‘/2о\ ей= = (2/3)1/2з,.

Собственные функции, удовлетворяющие уравнениям (39.7) при условии (39.8), будут

vh(khr) = J0(khr),

причем собственные числа к,, удовлетворяю т уравнению

khJt(khR) = hJ0(k„tt),

тде J0 и 7, — функция Бесселя соответственно нулевого и первого порядка.

Функцию (39.3) выберем следующей: V = О = const. Формула (39.13) для искомой температуры принимает вид

т= ъ -ь

где

Н а рис. V I . 8 приведена серия графиков, характеризующих ■нагревание стержня при его циклическом кручении при следую-

щих данных:			1 ккал	м	1 1
Т 0 = 0, А = 0, А
			427 "кгм'’	П ~	Т ~ с '

У =		ккал			Г
	16	ч• м•г ’		^ = 5 см2

Как видим, при t - * °° температура в стержне может быть доста точно высокой.

2. Тепловыделение в тонкой трубке. Следуя[123.1, приведем формулу для температуры разо грева тонкостенной трубки конеч

ной длины Z, закручиваемой пе риодически изменяющимся во вре

мени	моментом M(t) = М0sin о)£.
При	этом	касательное	напряже
ние будет
	а13	мо .	,
	а13	= ------* sin со£,
	13	2л h R l

где /?, h — средний радиус и тол щина трубки. Предполагается, что температура по толщине трубки постоянна, а теплоотдача с боко

вой поверхности моделируется Рис. VI.8. Нагревание стержня наличием отрицательного источ при его циклическом крученип.

ника тепла с мощностью W, про

порциональной разности температуры трубки Т и температуры окружающей среды Т0у

W = k ( T - T о).

Уравнение теплопроводности запишется в виде

РсТ = кТ,зз - к(Т - То) + W*,

(40.2)

где х3 направлена вдоль оси трубки.

Выражение для W* выберем в форме, аналогичной (36.12),

W* =	W*oSin"-at,	<	=	7 ^ * 3	,	(40.3)
				4л6/ш
гДе X ~ константы материала, G — модуль сдвига.
Граничное условие на торцах примем в виде
Т,з = 0,	х3= 0;	Г =	Г0,	хз =	1.	(40.4)

Решение уравнения теплопроводности (40.2) при условиях (40.3) и (40.4) имеет вид

j , ___ j ,

1 ( 1

2о) sin 2 (at - f

Ъ cos 2соt

_ -b t i

fT +

4<0

+ ‘ - ( - T

+ ^ r b

+ 4(0

°°

b)g] X

+ T 2 exP ( — Ы ~

cos

• ( — '1)” +X

J exp [(аХй +

?l=0

2(0 s in

2(o£ -f- b cos 2(o£

e- «

( _

! + _

i _

r ) i |.

Здесь

Ъы-f- 4(02

a = — , b = — , В = — , Xn =

(2 /z + 1 ) л

•

Cp 1 1

Гр

’

2 /

При этом принято, что при £ = 0 температура в трубке по стоянна и равна Т0— температуре среды.

Приведенная выше формула может быть, в частности, исполь зована для определения константы % по результатам замера тем пературы.

Г Л А В А V II

ВРАЩ ЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

§ 41. Вращение тонкой упругопластической трубки при действии постоянного изгибающего момента [38]

Тонкостенная трубка кругового поперечного сечения находит ся под действием изгибающего момента М. Начало прямоуголь ной системы координат совпадает с центром поперечного сечения трубки. Направим ось х3 вдоль оси трубки, оси хt и х2 располо жены в плоскости поперечного сечения, причем будем считать ось х2 вертикальной. Среднее значение радиуса поперечного се чения обозначим через Л, толщину трубки — через h. Направле ние вектора изгибающего момента считаем совпадающим с на правлением оси

Сохраняя плоскость действия изгибающего момента неизменной (вертикальной), будем свободно поворачивать стержень на неко торый угол г|) > 0 , причем так, чтобы каждое поперечное сечение поворачивалось на угол г|).

Пусть величина М такова, что при начальном изгибе (без вращения) в сечении трубки не возникают пластические деформа ции. Тогда при последующем вращении напряжения и деформа ции в данной точке, определяемой эйлеровыми координатами хх, Хг, х3, остаются неизменными, хотя при вращении в зафиксиро ванном элементе напряжения и деформации будут изменяться циклически. При этом осевая линия (геометрическое место цент ров поперечных сечений) искривленного стержня будет неподвиж ной и лежать в плоскости Ох2х3.

Картина будет совершенно иной, если при начальном изгибе возникли области пластических деформаций. Прямые х2= ± x SJ определяющие границы областей упругих и пластических дефор маций, вместе с вертикалью х{ = 0 , делят поперечное сечение на шесть областей (рис. VII.1). При повороте на малый угол dif (на рис. V II.1 против часовой стрелки) волокна в областях /, //, IV , V будут испытывать или упругое деформирование, или пластиче ское нагружение. Если допустить неизменность геометрии труб ки при повороте на угол dtp, то в этих областях останутся неиз менными напряжения и деформации. В областях же I I I и VI волокна будут испытывать разгрузку; напряжения в области I I I после поворота будут меньше напряжений в соответствующих

Рис. V II.1. Поперечное сече ние тонкостенной трубки при изгибе с вращением.

точках области I I , симметрично расположенной относительно оси

хг. Аналогично уменьшаются абсолютные значения напряжений

вобласти VI по отношению к напряжениям в области V. Иначе говоря, при повороте на малый угол dif произойдет уменьшение напряжений в части поперечного сечения и нарушится симмет рия поля напряжения относительно вертикальной оси. Но это

противоречит статическим условиям равновесия трубки, поэтому допуще ние о неизменности геометрии труб ки было неверным, и в действитель ности должен произойти дополни тельный изгиб около горизонтальной оси Xi (в плоскости действия пары сил) и около вертикальной оси х2. Произойдет выход осевой линии из плоскости действия постоянного из гибающего момента. При дальней шем вращении эти эффекты будут увеличиваться.

Комбинации начального и допол нительного изгиба эквивалентны результирующему изгибу в плоско сти, составляющей с плоскостью

ХоОхз некоторый угол ф0(ф), который мы будем называть углом поворота плоскости изгиба. Он имеет гот же знак, что и if), т. е. поворот плоскости изгиба происходит в направлении вращения трубки [38].

Согласно гипотезе плоских сечений, при начальном изгибе

осевая деформация е3з = е определяется по формуле
е = х0Я sin ср,	(41.1)

где х0 — кривизна изогнутой оси трубки, ф — угловая координата волокна. При вращении

е = х(г|))Д sin (ф — ф0), х(0) = х0. (41.2)

Обозначим через a(ty) угловые координаты таких волокон, де формации которых при повороте на угол dф не изменяются. Ис пользуя (41.2), составим выражение для de/d\f>, приравняем эту производную нулю при ф = а, отсюда получим

х sin (а — ф0) + х cos (а — ф0)(1 — фо) = 0,				(41.3)
где точкой отмечена производная по аргументу.
Уравнение	(41.3) имеет	два решения а	и а + л. В	области
a(yjp) ^ ф ^	+ я деформации волокон уменьшаются, а в обла
сти —л + a(\f>) ^ ф ^ a(\f>)		увеличиваются.	Следовательно, углы

а и a + я определяют координаты волокон, испытывающих пере

ход от пластического нагружения к разгрузке. Заметим, что угол а не определяет волокно с максимальной деформацией при дан ном значении ф, так как emax = х(ф)Л, а экстремальные деформа ции мы нашли путем приравнивания нулю полной (материаль ной) производной от е по ф. Можно показать, что луч с углом схо = а (0 ) пересекает пластическую область во втором квадранте

и что х (0 ) > 0 , т. е. кривизна х в начальный момент возрастает. Кроме того, область непрерывного изменения угла а(\)з) есть верх няя половина поперечного сечения, т. е. О < а(я|)) < л.

Составим теперь уравнения, описывающие изменение напря женного и деформированного состояния при вращении трубки. При начальном изгибе

t f - l . ( ^ < P , „ + l - * ) +		f : ( l - ^ ) V’ .	(41.4)
Здесь
Н = —		y.0R sin ф50 = es.	(41.5)
легJ iR *	bs
При этом использовано линейное соотношение при е ^			es
= к + (1 -	к) j-,	а = а3.	(41.6)

При вращении в поперечном сечении возникают области с раз личными соотношениями между напряжением а и деформацией е, а значит, с различными формулами для изгибающего момента. Для некоторого начального интервала в области (а), для которой а ^ ф ^ а + л, волокна при начальном изгибе деформировались пластически; при вращении до я|) = г|/ деформация каждого во локна увеличивается, причем для различных ф (различных воло кон) значение ty' «свое». Они связаны соотношением

		Ф — я]) = а(ф') — 1\|Л			(41.7)
поскольку при я\|) =	\]/ волокно пересекает луч с углом а(\\|Л. При
ф > г\|/ деформация	волокна будет уменьшаться, т. е. будет					про
исходить разгрузка, при которой о — а' = 2?(е — е'),				где	а' и е ' —
напряжения и деформации в момент начала разгрузки					(ф = г\|/).
Согласно (41.2)
е' =		х(г\|/)Л sin (a(tf') — ф0(ф')),
поскольку при Ф =		г\|/ из (41.7) следует ф =	а(г]/).		При	этом
о(ф) = ко3+ 2?Жх(ф) sin (ф — ф0(ф)) —
		— fcx(tf') sin (а(г\|/) — фо(ф'))].				(41.8)
Здесь использовано	условие, что о' связано		с е'	соотношением
(41.6).

Суммарные моменты от напряжений о в области (а) относи^

тельно осей х{ и х2 равны
	ао+^		BQ+ф
M I	= hR2 J а (ф) sin (pdcp, М \ =		hR2 j* о (ф) cos фйф. (41.9)
	а		а
Внося (41.8) в (41.9), получим
М\ =	hR2 j [A:as +	(х sin (а' — ф' +	ф —■ф0) —
	— /сх' sin (а ' — Ф о))] sin (а'		ф' + ф) (1 — а') d\
	У		(41.10)
М а2 =	У	ER (х sin (а' — ф' +
М а2 =	Ай2 j [/cas +	ER (х sin (а' — ф' +	ф — ф0) —
	о

— kvJ sin (а' — фо)) ] cos (а' — ф' + ф) ( 1 — а') d\|/

Здесь мы перешли от переменной интегрирования ф к ф7 по

формуле (41.7). В	(41.10) введены обозначения: а = <х(ф7), х 7 =
= х(ф7), а = а(ф7).
В области (Ь),	для которой а0+ ф ^ ф ^ я — фа0 + ф, волокна

при начальном изгибе деформировались пластически; они нача ли разгружаться при ф = 0 .

Аналогично		(41.8)	напряжение о в области (Ъ) запишется
в виде
о(ф) =	kos+ £Д[х(ф ) sin (ф — ф0(ф)) — &х0 sin (ф — ф)1 .
При этом
M i = hR2	f	[A*cr5 +	ER (х sin (ф — Ф0) — /сх0 sin (ф—ф))] sin фйф,
			(41.11)
М\ = hR2	f	[А;а5-\|-£Д (х sin (ф— ф0) — /сх0 sin (ф—Ч>))1cos
	ао+Ф

В области (с), для которой я — ф*0 + ф < ф ^ л + ф1т волокна деформируются упруго, поэтому

о(ф) = ExR sin (ф — ф0);

угол ф4(ф) удовлетворяет условию хД sin (ф! — ф0) = es. При этом волокно с координатой я + ф! имеет деформацию —ев. Очевидно, х 0Я sin ф50 = еа, так как фДО) = фао, Фо(0) = 0.

Суммарные моменты внутренних сил в области (с) равны Л+ф!

М\ =	hR3Ey	j	sin (cp — ф0) sin ф dcp,
		л+;	(4i.i2)
М\ =	hR3Ex	f	sin (ф — Ф0)cos ф d(p.

В области (d), для которой я + ф ^ ф ^ л + а, напряжение о

идеформация е связаны соотношением

о= —kos+ E( 1 — /с)г.

Учитывая при этом (41.2), запишем я+а

M i = hR2	J	[— kas+ E (1 — к) KR sin (ф — ф0)] sin ф dy,
Я+Ф1		< « • « )

M i = hR2	J	[— kos-\|- E (1 — k) v.R sin (cp — cp0)] cos <p dcp.
Я+ф!
В силу равновесия стержня, имеем
2 {M l + M i +	M l + M t) = M, M l + M 2b + M i + M i = 0. (41.14)

Множитель 2 входит в первое соотношение вследствие необходи

мости суммирования и по областям				—я + а ^ ф ^ а , симметрич
ным к тем, которые мы рассмотрели.
	Внося (41.10)— (41.13) в (41.14), получим
	м	= —к ) х' sin (а ' — ф0) sin (а' —		-f ^) (l — а') d\\|/ +
2
	EhR3
	+	ко	у	cos Фо [я — к (а — фх)] +
		77^[cos (—(fso + ф) -f cos фх] +
	+	А'Х		Лх0
		у sin (а — срх) cos (а -f срх — ср0)	----^ lcos гМя — Ф«о— «о) —
	t	— cos (—cpJ0 +	а0 + 'Ф) sin (а0 + ср,0)], (41.15)
к		sin (а' — ср0) cos (а' — ф' ф) (1 — а') dtf' +
	J Y!
	о	к о	х

+[sin (— ср50 -j- t|i) + sin cpx] + — sin cp0 [л — к (а — cpx)] +

+ у sin (а — срх) sin (а + cpx — cp0) — [sin (я — cps0 — а0) +

+ sin (— cpJ0 — oc0 —[- ф) sin (а0 ф«о)]. (41.16)

16 В. В. Москвитин

Система четырех уравнений (41.15), (41.16), (41.3) и приве денное выше

х(г|з)Д sin((p1 (ij)) - ф0(г|э)) = es

(41.17)

содержит четыре неизвестные функции х(ф), фо('ф), а(ф), фДч^). Начальные условия для х(ф) и ф0(ф) определяются начальным изгибом х0 = х (0 ) и условием ф0(0 ) = 0 .

Как отмечалось, приведенная выше система уравнений спра

ведлива при 0 ^	ф ^ ipi,	причем	угол	поворота	ф!		определяется
из условия: при	ф = ф!	область	чисто	упругого	деформирования
(с) исчезает (вырождается). Очевидно
	—Ф*о + я\|>1 = фД^).						(41.18)
Пусть теперь	ф! ^ ф ^ ф2, причем			значение	ф2	определим из
условия, что при ф = ф2 исчезает область ( 6 ):
	а 0 + ф2 =		я + фДфо).				(41.19)
Граница между областями ( 6 ) и i d ) есть ф =						я + ф4(ф); для
функции фДф) при 1\|)^ф 1 справедливо соотношение
Ж х sin (ф! — ф0) — хо sin (ф! — ф)] =					2еа,		(41.20)

выражающее собою условие появления вторичных пластических

деформаций. При ф = ф! соотношение	(41.20) с	учетом	(41.18)
преобразуется к (41.17).			и (d)
При ф !^ ф ^ ф 2 соотношения о ~ е	в областях	(а), (Ь)	и (d)

остаются теми же, что и при ф^ф|. Поэтому мы приведем вы ражения для изгибающего момента без пояснений:

	= — к	[ х' sin (а' — Фо) sin(а' — ф/ 4- ф) (l — а') йф' +
AUlti		g
+	2/го	х		Ах
+	тгд со.чф^Н у cos90\|n—/, (а—Ф01— ^-[со.чф (л + ф! —а0—ф) +
	+ cos (а0 +	Фх) sin (а„ —	+ л\|э)] + у sin (а — 9 t) cos (а +		фх — ф),
					(41.21)
— к j х' sin (а' — фо) cos (а' — ф' +				ф) (1 — а')^ф' —~pi^si'1	Ф1 —
	О
	х		А*х.
	— j sin ф0 [л — 1с(а — фх)1 + —			\|si пф (л + — а 0 — ф) +
+	sin ( а 0 + Ф1 ) sin (а 0 — фх+		А*х
+	sin ( а 0 + Ф1 ) sin (а 0 — фх+		Ф)1 — у	sin (а ~ (Pi) sin (а + фх■— ф) = 0.

Уравнения (41.21) вместе с (41.20) и (41.3) образуют замкну тую систему для определения х(ф), фо(ф), а(ф), фДф). Начальные

значения для них определяются соответствующим решением при


=	xpi на предшествующем этапе.		(а)	и (d);
При		сохранятся только области	(а)	и (d);	в этих обла
стях	соотношения о — е будут теми же,		что	и при	^ ф ^ ф2,

новой будет граница между областями (а) и (d). С целью ее определения заметим, что волокно на этой границе начинает раз

гружаться при yjp=			1 , причем имеет место соотношение
			я + <PiОМ —Ф = <* (%) —Фь			(41.22)
Еще одно уравнение, содержащее ф! и г\|>ь аналогично по своей
природе соотношению				(41.20):
R [х (4 »i) sin (а (ч4 ) — ф0 ( Ь ) ) + * (Ф) sin (q>x (ф) — ф0 (ф)] =						2 es.
						(41.23)
Уравнения равновесия записываются в виде
т ~ з =	J	*' sin (а ' “		Фо) sin (а ' — V + Ч>) (! — « )	+
ziinit	^._т
		2 kas		х
		+ Ж	cos Ф1 + ~2 cos Фо 1л — к (а — ф1)] +
				-f у sin (а — ф1) cos ( а ф 1 — Фо),		(41.24)
Ф			_	_	gьа
— к j	у/ sin (а* — Фо) cos(a' — ф' + ф) ( 1 — а^йф' — ^ ^ s in q ^ —
V-т				кн
х				кн	фх — ср0) = 0.
— *2 sin Фо [я — /с (а — фх)] — у sin (а — (р^ sin (а +					фх — ср0) = 0.

Здесь введена новая переменная т (яр) = ф — грх.

Два интегральных уравнения (41.24), дифференциальное урав нение (41.3) и два конечных уравнения (41.22) и (41.23) (в ко

торых следует фг заменить на ф — т(ф)) содержат пять неизвест ных х(ф), ф0(ф), а(ф), срА(ф) и т(ф). Это система уравнений с запаздывающим аргументом, причем запаздывание т удовлетво ряет условию т(ф2)= ф 2. Начальные данные для неизвестных, как и выше, определяются из условия непрерывности искомых ФУНКЦИЙ При ф « ф2.

Системы иятегродифференциальных уравнений на всех рас смотренных выше этапах могут быть преобразованы к системам дифференциальных и конечных уравнений. Опуская выкладки, мы приведем окончательную постановку задачи [38].

16*

Два дифференциальных уравнения
%к sin2 (а — (pi) = Нп cos а cos (а — ф0),		(41.25)
£/с(1 — ф0) sin2 (а — Ф1) = —IIтс cos a sin (а — ф0)		(41.26)
и одно конечное уравнение
[л — к(а — ф!)] cos а + к sin (а —Ф1 ) cos ф1 = 0		(41.27)
справедливы на всем интервале ( X	г\|э ^
Кроме того, на интервале 0 ^ я\|->^	я^ имеет место соотношение
£ sin (ф! — ф0) = 1,		(41.28)
а на интервале я^ ^ я\|) ^ я\|)2 — соответственно
\| sin (ф! — ф0) — Ъоsin (ф4— я\|)) = 2 .		(41.29)
В свою очередь при я\|) ^ я\|)2 справедливы соотношения		(41.22)

и(41.23)

|(г|) — т) sin (а(я|) — т) — ф0(я|э — т)) + £(я|з) sin (фДяр) — ф0(я|з)) = 2 ,

	(41.30)
л + фДя)}) = а(я)5 — т) + т(я\|)).	(41.31)

Значения я]^ и я|:2 определяются соответственно из уравнений

—ф*0+ = фД^п),	(41.32)
ао + ^2 = я + фД'фг)-	(41.33)

Функция т(я|э) удовлетворяет условию х(яр2) = я|э2. Начальные данные для функций £ и а определяются соответственно началь ным изгибом ^о = ^о(7/) и уравнением (41.27), причем ф0(0 )= 0 .

В приведенных соотношениях введены обозначения

ГГ	М	к/?
=	.	” ~1Г *
	n o J iR	Es

Такова постановка задачи о вращении предварительно изогну той упругопластической трубки.

Заметим, что поскольку фДО) = фао, из (41.27) получим урав нение для а 0 = а (0 )

[л — /с(а0 — фв0)] cos а0 + к sin (а 0 — фв0) cos ф30 = 0 .

Числовые значения для угла а0 таковы: если при начальном из

гибе	областью	упругих		деформаций	можно пренебречь	(фа0 «	0 ),
то,	например,	при	к =	0,9 угол а0	составляет около	129°;	при
к = 0,95 угол		осо =	138°

Приведенная выше система уравнений достаточно сложна, по этому мы ограничимся указанием в следующем параграфе пре дельных асимптотических решений, приведением численных ре зультатов и некоторых других решений.

§ 42. Предельное состояние. Приближенное решение. Численное решение

Рассмотрим вопрос о существовании предельного состояния

при изгибе		трубки с последующим вращением		при of»		<». Обо
значим	соответствующие предельные		значения	через	£°, ф£, ф?,
x°t а0.	При	этом производные д(г\|?)	и ф0(ф) должны		стремиться
к нулю.
Из	уравнения (41.25) следуют два решения			а0 = л/2 и а0 =
= ф? +	я/2.	Первому случаю соответствует предельное				упругое

состояние, которое нас не интересует. Уравнения (41.26), (41.27) и (41.30), (41.31) перепишутся теперь в виде

		kl°cos2 (ф? — ф2) =				Я л sin ф2,		(42.1)
sin (ро [ ( 2 +		к) ^ + к (ф? —		Фо) -г к cos (ср? —			ср?) sin (ф? —	ф ,)] —
				— к cos2 (ф? — ф2) COS фо = 0,				(42.2)
		£°[1 -f sinfo? — ф2)] = 2 ,						(42.3)
			л + ф? = а0 -f т°.					(42.4)
Исключим		из (42.3) и (42.1):
	2fccos2 (ф? — ф?) =			Я л	sin ф? [ l + sin (ф? — ф£)].			(42.5)
Отсюда							V2
		cos фо = \i	( 2kY				V2
		cos фо = \i	( 2kY		cos4 ( ф? — Фр)			(42.6)
		L	'Ял'		(1 4- sin (ср®— ЯР2))2
Здесь	предположено,		что	ф£ < я/2.		Кроме	того, неравенство
ф!5> 0 следует из (42.1).
Внесем (42.6) в (42.2), введя обозначение 6 = ф?— ф£,
2 — А +	—	+ — sin 26 — Я (1 +			sin 6 )	1 —		г/з = 0.
	Я	Я	х		'			(42.7)
								(42.7)

Уравнение (42.7) относительно б имеет решение при всех разумных значениях Я и к. После определения 6 искомые вели

чины найдутся по формулам
5° = 1 +	sin б’	sin	= ш ( 1 — sin6)>
Ф ® = 6 +	ф?, а0 = Y		+ ф2, т° = ^ + 6.
На рис. VII.2 и	VII.3	представлены графики отношения

|°/|о и Фо в зависимости от величины Я при различных значе-

ниях к. Эти зависимости	для всех к <	1	имеют максимум при
некоторых значениях Н. В	случае к = 1	(идеально пластический
материал) при стремлении	безразмерного		изгибающего момента

Н к максимально возможному значению 4/я отношение £°/£о стремится к бесконечности, а Ф? стремится к л/2. Отметим еще, что с увеличением Н отношение £ ° / £ 0 асимптотически стремится к единице, a cpS — к нулю.

Рис. VI 1.2. График относительных предельпых значений кривизны оси стержня в зависимости от величины относительного изгибающего момента.

Рис. VII.3. График предельпых значений угла <р{}в зависимости от величины относительного изгибающего момента.

Преобразуем теперь исходную систему уравнений с целью построения в дальнейшем приближенного решения при любых

значениях ф.	у = а —фь
Введем новую переменную	у = а —фь	При	этом из	(41.27)
находим
л — ку	tg фх =	ctg у +	к	(42.8)
tga = —ctgy — к sin2 у’	tg фх =	ctg у +	л ку'	(42.8)

Если ввести еще новую функцию и = и(у) соотношением

u = ( V - 1)'\

(42.9)

то из (41.25) и (41.26) с помощью (41.28), (41.8) можно получить следующее уравнение для и(у):

U —					Ял sin у		du
U —							dy
	U2 sin2 у-\-к sin 2у (л — ку) + (л — Ау)2)^ 2						dy
				_	Ял [(л — ку)2 — к2sin2 у] (и cosy —- sin у)			(42.10)
					[A-2sin2 у + A*sin2Y(n — ку) +		(л — А-у)2]3^2	(42.10)
					[A-2sin2 у + A*sin2Y(n — ку) +		(л — А-у)2]3^2
	В свою очередь уравнение (41.25) преобразуется к виду
		Ъ =		- Н л	________ cos у ]/ * g 2 — 1	— sin у
		Ъ =		- Н л
откуда				I [к2 sin2 Y+A*sin 2у (л — ку) + (л — Ау)2]^ 2
откуда
							2, V o
* =	—	ЯлJ	f	» (V) Р	l,8in T+* sin 2v (л~ Ау) +		(л~ Ау)2' 2 dy.	(42.11)
Y		ЯлJ		vr/tfy	м cos у —	у	r	v	7

Таким образом, если найдено решение и{у) нелинейного диф ференциального уравнения первого порядка (42.10), то функция

\|(у) находится из (42.9), причем соотношение		у ~ г\|? определя
ется из (42.11).
Функцию фо('у) можно теперь определить из (41.28):
Фо (у) = arctg ^ctgv -f	— arcsin	(42.12)

а функции фДу), а(у) — из (42.8).

Приведенное параметрическое представление для искомых функций справедливо лишь при так как при этом было существенным образом использовано соотношение (41.28). Аналогичным образом можно поступить и в случае г|з > tfi, однако соответствующие соотношения получаются весьма громоздкими.

Воспользуемся теперь приведенным выше параметрическим представлением и рассмотрим приближенное решение в случае, когда величина Н мало превосходит единицу (малые пластические области). При этом величина y = a — <fi также будет мала. Пре небрегая величиной 2ку по сравнению с я, уравнение (42.10) можно записать в виде

( и — jfiT sin y)du + Н{—и cos у + sin y)dy = 0,	(42.13)
откуда
uz— 2H(u sin у + cos у) = C.	(42.14)

Постоянная С определяется начальным условием
С = UQ— 2Я (u0 sin у0 + cos у0).
Из (42.14) следует
и = Я sin у + (Я 2 sin2 ч + 2Я cos 4 + C)i/2,	(42.15)

причем перед скобкой выбран знак «плюс», поскольку анализ показывает, что 7 есть убывающая функция ф, а функция и с увеличением ф возрастает.

Внося (42.15) в (42.11), получим

I I cos 7	— 1	— arcsin	I I cos 7 — 1
ф = —{у — 7 о) + arcsin	i)1/2		(//2 + c + 1 ) 1/2
(//2+ c +

(42.16) В итоге решение становится известным. Заметим, что можно ана логичным образом построить конечные формулы в другом пре дельном случае, когда при начальном изгибе пластическая об ласть почти полностью охватывает поперечное сечение.

Рис. VI 1.4. Изменение относительной кривизны оси стержня и угла фо в за висимости от угла поворота.

Приведем теперь некоторые численные результаты, построен ные с помощью ЭВМ, для всевозможных значений ф > 0. На рис. VII.4. представлен график £(ф) и ф0(ф) при таких значениях параметров, когда наблюдается монотонное увеличение кривизны £ и угла ф0. Предельные значения здесь составляют £ ° / £ 0 = 1,514 и фо = 38,82°. На рис. V II.5 приведены не монотонные кривые £(ф) и ф0(ф). Здесь предельные значения равны £ ° / | 0 = 1,213, <р2= 28,55°

Вообще же были проанализированы численные результаты, найденные при значениях безразмерного параметра Я от 1 до 3,5, при этом параметр упрочнения к варьировался от 0,5 до 1. Сделаны следующие выводы.

1. Подтверждается гипотеза о существовании предельных со стояний при всех значениях к < 1 в случае при этом в за висимости от значений параметров стремление §(г|г) и ф0(г|)) к пре

дельным значениям £° и Фо может быть мопотонным и немоно тонным.

Рис. VI 1.5. Изменение относительной кривизны оси стержня и угла ср0 в за висимости от угла поворота.

2. При некоторых связанных между собою значениях Н и к отношение £ °/ § 0 может при определенных углах поворота стано виться меньше единицы, однако и в этом случае при г|) -*■ °о \ стремится к своему предельному значению £°. Угол поворота плоскости изгиба ф0(гр) всегда заключен в пределах 0 ^ <р0 < л/2 .

3. Наблюдается значительное изменение производной функ ции в начале второго этапа. Скорость стремления £(ф) и ф0(гр) к своим предельным значениям убывает с ростом к (с умень шением упрочнения материала).

§ 43. Разгрузка. Деформация упругопластической трубки при неизменной в процессе вращения кривизне

Пусть в процессе вращения трубки было достигнуто предель

ное состояние (§	42), после чего, начиная с некоторого значения
ф = г\|)0 в трубке	осуществляется разгрузка вследствие уменьше

ния изгибающего момента и отсутствия вращения. Определим Соответствующие остаточные напряжения п деформации.

В процессе упругой разгрузки в каждой точке трубки спра

ведливо соотношение
а — а' = Е(е — е'),	а' = ±Aras + £*(1 — Аг)е7,

где а', е7 — напряжения и деформации перед началом разгрузки. Поэтому

о = ко* + Е( е — Are0 , а = —ко3+ Е(г — Are'),

(43.1)

причем в области я/ 2 + ф о ^ ф ^ я + Ф? имеет место первое со

отношение, а в области я + ф5^ ф ^ Зя/2 + фо — второе. В этих уравнениях

	е° = х°Я,		е ' = x°i? sin (ф — ф2) , е == хД вт(ф — ф0).							(4 3 .2 )
	Как	и раньше,		все величины,	отмеченные		верхним		индексом
0 , относятся к предельному состоянию.
	Если через М обозначить текущий изгибающий момент в про
цессе разгрузки, то из условия равновесия, согласно									(4 3 .1 ) и
(43.2),		следует
—^	=	2Aos cos ф? +		— ER cos ф0 +	kERx0 (sin ф£ — cos ф?) —
2	hR			2
	— 1^ r L [ sin			cos (ф® — Фо) + cos Фо ( т +			ф2— ф!		)],	(43.3)
— 2kassin <р? — у			ER K sin <p0 + kERn0 (cos (p® +				sin (p®) —
—		[cos tpj cos (cp? — cpS) — sin q>2 ( j				+ <p? — <p?		=	0.	(43.4)
Из	(43.4) находим
				isincp0 = ^,	£=					(43.5)
где через А обозначена постоянная
A = ^ [ — 2 sin <pj +				1° cos <pS —	1° [cos cp? cos (tpj — (p®) +
				+ sin фо [ у		+ Фо — ф“		+ S° sin cp? j.

Заметим, что x sin ф0 есть кривизна линии, которая представ ляет собой проекцию осевой л и н и и трубки на плоскость Охг. Таким образом, из (43.5) следует, что при разгрузке изменение кривизны происходит только в плоскости хгОхз.

Из уравнения (43.3) получаем

Scostp0 = Н + В,	(43.6)
ЛО hR1 ’
где постоянная В равна
в = — Y [ 2 cos <pj + 1 ° sin cpS — у z° (sin tp? cos (cp? _	cp®) +

+ cos cp®[ Y -f cpj — cp5 j j — i° cos tpj j.

Из (43.5) и (43.6) имеем

tg Фо = ТГ^В'

S - [Л* + (Я + В)'-}4*,

и для остаточных значений (Я = 0) справедливы формулы

0	А	°	1 /
tg<Po =	! ,	1 =	{Л* + В *)'\

Эти формулы определяют искомые величины. Из них, в частно сти, следует

^Ф 0 = Я+_5

tg cp Q

В ^ ’

т. е. в процессе разгрузки угол ф0 поворота плоскости изгиба возрастает.

Очевидно, что условие возникновения в процессе разгрузки вторичных пластических деформаций будет Н' — Н > 2, где Я ' — величина относительного изгибающего момента перед началом разгрузки.

Рассмотрим теперь задачу о вращении упругопластической трубки при условии, что в процессе вращения кривизна осевой линии остается неизменной. При этом изгибающий момент Л/(ф) в процессе вращения будет изменяться по закону, который тре буется определить.

Поскольку предполагается, что х = 0, из (41.3) следует

х cos (а — ф0)(1 — ф0) = 0.

(43.7)

Так как 1 — ф0 ^ 0 , из (43.7) получаем

а — ф0 = л/2 , а (0 ) = л/2 , а(ф) = ф0(ф).

Выпишем соотношения а ~ е для различных областей попе речного сечения. В области я/2 + ф0 < ф л/2 + ф (первая зона) волокна испытывают разгрузку с момента пересечения луча с уг лом ф0 + л/2 , причем значение деформации перед началом раз грузки есть е' = хЯ. При этом

о = kos + Ж е — кг'), г = хЯ sin (ф — ф0).

(43.8)

В области ф + л / 2 ^ ф ^ л —ф0з + ф (вторая зона) волокна при начальном изгибе деформировались пластически, они начали раз гружаться с момента ф = 0. В этой области

о = kos+ Же — кгt), et = хЯ sin ф.

(43.9)

В области я — cps0 + ф ^ Ф ^ я + cpi (третья зона) волокна де формируются упруго до данного значения ф. Угол (pt = фДф) на ходится из условия появления пластических деформаций

KR sin (ф! — ф0) = е5, фво = ф!(0 ).

(43.10)

В этой области

о = E KR зт(ф — ф0).

<43.11)

В области л + ф! ^ ф ^ ф0 + Зл/2 (четвертая зона) волокна де формируются пластически, здесь

о = — kos + E{ 1 — k)e.

(43.12)

Учитывая (43.8), (43.9), (43.11) и (43.12), запишем условия равновесия

Здесь, как и раньше, | = хД/е„ Н = M/(noahR2). К конечным уравнениям (43.13), (43.14) присоединяется соотношение (43.10)

£ sin (ф! — ф0) = 1 .	(43.15)
Выписанные соотношения справедливы при	0 < ф < Ф1 , при
чем величина ф4 определяется из условия
— ФS0 + Ф1 == фДфО.	(43.16)

При ф = ф! исчезает зона упругого деформирования (третья), поэтому при ф > ypi сохранятся лишь три зоны. Для первой и чет вертой зон соотношения о ~ е сохраняются, остаются прежними и уравнения границ. В области л/2 + ф < ф ^ я + ф! соотношение о ~ е сохраняется, однако уравнение для определения угла фДф) будет другим:

|[sin (ф! — ф0) — sinitpi — ф)] = 2 .

(43.17)

Уравнения равновесия при if > ifi запишутся в виде


Я “2“ = 2 /с cos		(sin if — sin ф0) +
+ ~Y \| cos (p0 \|n _	k	+ cp0 — 4>i)] — j f		cos 'l’ (-\| - + Фх — 'ф) +
+	Щ- sin cpx [cos ((pj — ф) — cos (<px — <Po)], (43.18)
2k sin cpx — k%(cos ip — cos cp0) + -у- sin ip				+ <Pi — xp) —
— -j-sin<p0 n — к			+ <Po — <Pijj +

+ - y cos cpx [cos (cpx — ip) — cos (<px — фо)] = 0. (43.19)

Таким образом, при ip, ^ ip 1р2 имеем три уравнения (43.17), (43.18) и (43.19) для определения трех неизвестных функций ЯОф), <po(if) и cpi(if). Уравнение для определения if2 будет

л/2 +	if2 = л +	cpi(if2).	(43.20)
При if > if2 сохраняются	только	две зоны — первая и четвер
тая — с границами л/2 + ф0 ^ ф ^ л + <р4 и л + ф! < ф ^			ф0 + Зл/2,
причем угол ф! определится из уравнения
Ш + sin (ф! — ф0)] = 2.			(43.21)
Соотношения а ~~ г сохраняются прежними, поэтому

Я2 к cos фх — к%(cos фх — sin <р0) +

cos Фо|л — к ^

+ ф0 — ф^| — 1 1 . sin <рг cos (фх — ф0 , (43.22)

2 * sin ф Н—

si nср0

л — к ( ^

+ ф0 — ф ^ —

— к\ (sin фх — cos ф0

1—

cos ф! cos (фх — ф0 =

(43.23)

Как

видим, в определяющие

соотношения

(43.21),

(4 3 .2 2 )

(43.23)

не

входят угол

if, поэтому при if > if2

напряжения и

де

формации не будут изменяться в процессе вращения.

Введем новую переменную б по формуле

б = ф£— ф0. При

этом иа (43.21), (43.22)

и (43.23)

находим

^ ~

Г+^ПГб’

Н 2 (Н - sin б)3= (2 -

к + —

- L sin 26Y + f-y Y (1 -

sin б)2.

(43.24)

Из первой формулы по заданному значению £ находится б, после чего определяются величины У/, ф 0, ерь

Заметим, что формулы '(43.24) совпадают с соответствующими формулами для предельных значений^0, фЦ и ф ? в случае враще ния с постоянным моментом (§ 42). Отсюда следует, что задача о вращении трубки при постоянном изгибающем моменте и при достаточно большом угле поворота и задача о вращении трубки при неизменной кривизне и конечном (ф ~ л ) угле вращения сво дится к решению одной и той же системы конечных трансцен дентных уравнений. И еще, изгибающий момент при вращении трубки с неизменной кривизной уменьшается от Н0 до такого значения, которое вызывает предельную кривизну £° в случае вращения с неизменным изгибающим моментом.

§ 44. О предельном состоянии упругопластического сплошного стержня в случае изгиба и последующего вращения

Как мы видели, постановка и решение задачи о вращении предварительно изогнутой упругопластической трубки встречает определенные трудности. Задача значительно осложняется, если рассматривать не тонкостенную трубку, а стержень сплошного по перечного сечения. В этом случае области поперечного сечения с различными соотношениями между напряжением и деформаци ей становятся двумерными, увеличивается и число этапов по уг лу вращения, на которых определяющие уравнения имеют раз личный вид. Сами уравнения становятся более сложными, уве личивается их число (на одном из этапов их будет семь).

Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь предельного состояния, возникающего с увеличением угла вращения в случае неизменного изгибающего момента, причем приведем соответству ющие соотношения без вывода.

Как и в случае тонкостенной трубки, искомые функции будем отмечать верхним индексом 0 .

В предельном состоянии угол поворота плоскости изгиба Фо связан с величиной а0, имеющей тот же смысл, что и в случае тонкостенной трубки (см. (41.3)), соотношением

cpS = a° —

(44.1)

Вспомогательный угол Ф? выражается через относительную

кривизну \|° = хД/е., п угол фо:
\|° sin (ф ° — ф®) = 2 —	(44.2)

Условия равновесия приводят к двум соотношениям

Я " Т = " Т cos Ф1

— % cos <Г? — X

cos ( ф° — ф®) sin ф° +

cos фЛ[я -

А (-£- + фЛ-

ф?)] +

A sin

_ _ L + JL_j _

— ~1

г С05( ф” — ф« ) С05ф« ~ ^

+ 4 ’

(44-3)

к sin ср? ( —

— /j|- cos (ф? — фЛ) COS ф? —

—

I f s*n ф®[п ~

^ ( ~

ф®— ф°)

^ cos ф®( \ -----j

Н~

cos (ф? — ф2) sin фЛ ~ '

У '°

4 = 0.

(44.4)

Используя (44.2), соотношения (44.3) и (44.4) преобразуем со

ответственно к виду

# 2

_ k2( —_____ —+

—

Y +

— l/g® — 1

1°

2 (i® +

15|02

I 3

so +

3i®3J

L^°

1° ( я

( 2 - к )

AarcsinJ-^- — l j j ] ,

(44.5)

8А- /

1 .

1 \

(44.6)

ф®= arcsm

Конечные соотношения (44.5) и (44.6) определяют искомые величины £° и ер? в предельном состоянии. Качественно зависимо сти £,°/%о~Н и фЛ ^ Я имеют те же особенности, что и в случае тонкостенной трубки (рис. V II.2, VII.3).

Заметим, гцо и до наступления предельного состояния качест венные особенности, которые были выявлены при исследовании вращения трубки, свойственны и сплошному упругопластическо му стержню. Соответствующие эксперименты выполнены, в част ности, 10. Ю. Словенасом и В. А. Каганом [243].

Г Л А В А V III

ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 45. Вводные замечания

Как известно, при циклическом изменении пластических де формаций нарушение прочности происходит при относительно не большом числе нагружений (малоцикловая усталость, § 52). По этому возникает необходимость расчета упругопластических си стем таким образом, чтобы допустить возможность изменения пластических деформаций только при ограниченном числе первых циклов, полагая при этом, что с увеличением числа нагружений система как бы приспособится к упругому изменению деформа ций. Оказалось, что такое поведение упругопластических систем, вообще говоря, возможно, оно именуется в литературе приспособ ляемостью (shakedown) упругопластических систем.

Не вдаваясь здесь в исторические подробности (см. по этому вопросу, например, [50, 163, 207, 310]), отметим, что с так назы ваемой физической приспособляемостью мы уже встречались в § 14 при анализе предельного состояния, которое возникает с уве личением числа нагружений в циклически упрочняющихся сре дах. После наступления предельного состояния соответствующей площадью петли пластического гистерезиса можно пренебречь и считать, что при последующих нагружениях не происходит изме нения пластических деформаций.

Физическая приспособляемость есть свойство циклически уп рочняющегося материала, она не связана с деформацией той или иной конструкции. Приспособляемость же в конструкции может возникать и в случае циклически идеальных материалов (конст рукционная приспособляемость), когда упругопластические свой ства материала не изменяются с увеличением числа нагружений. Для данной конструкции возможность возникновения приспособ ляемости определяется внешними нагрузками, точнее, существует интервал изменения внешних сил, при котором пластические де формации будут изменяться только при ограниченном цикле на гружений. Для иллюстрации сказанного приведем простейший пример.

Полый цилиндр А со вставленным внутрь стержнем В дефор мируется осевой силой Р с помощью абсолютно жестких плит D (рис. V III.1). Материалы стержня и цилиндра различны, причем

пределы текучести материалов при растяжении отличаются от пределов текучести при сжатии. Все величины, относящиеся к цилиндру, будем отмечать индексом 1, относящиеся к стержню — индексом 2.

Анализ напряжений удобно производить графически [268] на плоскости напряжений Oi ~ о2 (рис. V III.2). Уравпешге равно весия

о Л + G 2F 2 =	Р,	(45.1)
уравнение совместности деформаций	ei = е2 и уравнение	связи
а ~ е полностью определяют
напряжения и деформации при
изменении Р по любой прог
рамме.
Р

Р
Рис. V III.1. Полый цилиндр	Рис. V1II.2. Схема осевого цикличе
А , стержень В и жесткие пли	ского нагружения цилиндра и стерж
ты D при циклических нагру	ня на плоскости Oi ~ а2.
жениях.

При увеличении Р от нуля до некоторого значения Ра в систе ме возникнут лишь упругие деформации. Точка с координатами

Oi, о2 (точка напряжений) будет	двигаться вдоль прямой 0а,
уравнение которой следует из 6i =	е2 при условии Oi = £ 'le1, о2=
== i?2e2:
а1	<*2	(45.2)
		(45.2)

что вместе с (45.1) определяет напряжения Oi и о2.

Пусть при Р = Ра в цилиндре появились пластические дефор мации. Из (45.1) и (45.2) при условии o1 = oft находим

Ра = 0+ (Vx + Z ^ ) .

17 В. В. Москвитин

Уравнение (45.1) при Р = Ра определяет на плоскости щ ~ а2 прямую аа4, поэтому можно еще записать Ра = F2 • алО.

При дальнейшем нагружении (Р > Ра) цилиндр будет дефор мироваться пластически, тогда как в стержне деформации еще некоторое время останутся упругими. Если материал цилиндра не обладает упрочнением (/с±= 1), точка напряжений будет двигаться при этом вдоль прямой аЪ\ если же обладает линейным упроч нением — вдоль некоторой прямой аЪ', уравнение которой

		(О < * ! <		! ) .	(45.3)
При к{ = 1 имеем ох =	а£, г 1 =	е2 =	а2/Е2.	В любом	случае со
ответствующая сила равна Р ъ=		Obt	Р2.
Пусть теперь сила Р	после достижения значения Рь начинает

уменьшаться. При этом в стержне и цилиндре будет происходить разгрузка, при которой напряжения и деформации связаны соот ношениями

ой — <Ti = £ i(e^ — e j, a.i = E.1e3, (45.4)

где г[ — деформация в цилиндре перед началом разгрузки. Из ус ловия 8i = е2с учетом (45.4) находим

(45.5)

Как видим, разгрузке на плоскости щ ~ с2 соответствует пря мая, параллельная Оа, причел! эта прямая проходит через точку Ъ в случае идеальной пластичности {kv= 1) и через точку Ъ' в слу чае линейного упрочнения.

Заметим, что на рис. V III.2 прямая 0 0 ', параллельная аал, соответствует Р = 0. Поэтому остаточные напряжения после пол

ной	разгрузки определяются коордннаталш точки О' в случае
=	1 и точкой Oi в случае к{ < 1.

Если теперь прикладывать сжимающую нагрузку, то до появ ления новых пластических деформаций точка напряжений будет

продолжать	двигаться	вдоль ЪО' при к{ = 1 и вдоль	b'Ot при
&! < 1. При	Р = Рс в	стержне появятся пластические	дефорлга-

цни и при Р > Р с точка напряжений будет двигаться вдоль пря

мой cd в случае идеальной пластичности	(kt =	1)	и вдоль прялюй
c'd' в случае линейного упрочнения (к{ <	1).	Р = Pd разгружать
Будем теперь после достижения значения
систему до Р = 0, а зател! вновь деформировать			систему силой

Рь. При этом ни в цилиндре, ни в стержне не возникнут новые пластические деформации, силе Рь на плоскости Oi — о2 будет со

ответствовать точка е при к{ = 1	и точка	е'	при к{ <	1. Анало
гичным образом можно убедиться	в том,	что	разгрузка	и любое

последующее нагружение силой Р, изменяющейся в пределах

Р а ^ р ^ Рь,

(45.6)

будут происходить без изменения пластических деформаций. Таким образом, хотя при первом цикле нагружений силой

(45.6) в рассмотренной системе появились пластические деформа ции, любое последующее нагружение этой силой не вызывает изменения пластических деформаций, поэтому говорят, что при этом система приспособилась к упругому изменению деформаций, что возникло состояние приспособляемости.

Заметим, что если бы рассмотренная система с самого начала деформировалась только упруго, то, например, силе Рь на плоско сти напряжений соответствовала бы одна и та же точка, незави симо от истории нагружения. При наличии же пластических де формаций, как мы видели, сила Рь может вызывать различные напряженные состояния. Иначе говоря, если упругое состояние определяется только текущими значениями внешних сил, то уп ругопластическое состояние зависит еще и от истории нагружения. Поэтому условия, при которых возникает приспособляемость, же лательно формулировать не в действительных напряжениях, а в напряжениях, возникающих в рассматриваемой системе при усло вии ее чисто упругого деформирования. Такие условия формули руются з теоремах о приспособляемости, которые приведены в следующем параграфе, а сейчас продемонстрируем сказанное в случае однопараметрических внешних сил для тел произвольной геометрии.

Пусть внешние силы за время деформации изменяются про порционально одному общему параметру

F t - IF U Rt = lR h

(45.7)

п пусть при первом нагружении возникли области пластических деформаций. После достижения параметром £ значения > О начинается разгрузка и последующее знакопеременное нагруже ние, характеризуемое минимальным значением £ = £" < 0 . Если воспользоваться формулами (12.13), то легко убедиться, что если все масштабные коэффициенты ап= 2 (циклически идеальный материал), то при любом последующем нагружении силами (45.7)

при условии		напряжения н деформации будут изме
няться в пределах
			e y < e i j < e y ,		(45 .8)
Г	'		-Г	гг	п
где Oij,	sn	соответствуют значению s = s , a Ojj,			— значению
	Так что, если при § =		возникли вторичные пластические

деформации, то при любом последующем нагружении			силами
(45.7) и I	будет	происходить циклическое изменение
пластических	деформаций,	т. е. не возникнет состояние	приспо-

17*

собляемости. Отсюда следует, что условием приспособляемости в рассматриваемом случае является условие отсутствия пластиче ских деформаций при полной разгрузке и последующем нагруже нии усилиями обратного знака.

Пусть при первом	нагружении	условие отсутствия пластиче
ских деформаций есть
< w (\| s) sS os,		а = (st]slj)'b,	(45.9)

где Отах — максимальная величина модуля напряжений о при уп ругом нагружении рассматриваемой системы. Это условие опре деляет значение £s, до достижения которого система будет дефор мироваться упруго,

| .< / (о в).

(45.10)

При этом, согласно теореме о переменном нагружении (§ 12), ус ловие отсутствия пластических деформаций при полной разгруз ке и последующем переменном нагружении будет

^ / (2 о‘ ).

(45.11)

Таким образом, система будет приспособляться, если параметр |, определяющий закон изменения внешних нагрузок, изменяется в пределах

Г - /(2о0 < Е < Г ,

(45.12)

причем для построения функции /(ав), определяемой условием (45.10), достаточно знать решение задачи о чисто упругом дефор мировании рассматриваемой системы.

Если внешние силы изменяются по закону пульсирующих цик

лов, то	= 0, и из (45.11) находим
	V < /(2ов).		(45.13)
В свою	очередь значение	ограничивается условиями	проч

ности элементов конструкции при нагружении из естественного состояния. Поэтому при£ " = 0 параметр характеризующий нагрузку, при которой возникает приспособляемость, находится как наименьшее значение из (45.13) и из того значения кото рое определяется условием прочности при первом нагружении.

В ряде случаев бывают заданы внешние силы F i, i?*, харак теризуемые значением параметра При этом система будет приспособляться, если параметр \ изменяется в пределах

Г + /(2ов), (45.14)

что следует из (45.11).

Мы рассмотрели случай циклически идеального материала, для которого масштабные коэффициенты ап, входящие в выражения обобщенного принципа Мазинга, равны 2. Для циклически раз-

упрочняющихся материалов (ап< 2) приведенные оценки также справедливы, в них следует только вместо 2 внести величину а2. Например, условие (45.12) перепишется в виде

V - /(а2&) < 6 < V.

Рассмотрим теперь случай циклически упрочняющихся мате риалов (ап> 2) и поставим задачу: определить экстремальные значения внешних нагрузок, после определенного числа циклов приложения которых в данной системе не будут изменяться пла стические деформации, причем число N допустимых циклических изменений пластических деформаций выбирается таким образом, чтобы переход к упругим деформациям наступил задолго до воз никновения малоцикловой усталости. В случае циклически упроч няющихся материалов напряженное состояние будет меняться от цикла к циклу и при нагружении с номером N определится фор мулами (12.13)

= о'и — 2		(— 1)к .
	Ь = 2
Отсюда очевидно, что пластические деформации после N нагру
жений не будут изменяться в том случае, если
maxoN ^ .a Nas,	GN =		(Sij	) .
Используя при этом (45.10), получим
V - V	<	/(a*Ge)		(45.15)
и, в своюочередь,
6' — /	(	(	4 5	. 1 6 )
Поскольку число N предполагается заданным и функция ап =
= а (п) известной, условие (45.16)		определяет интервал изменения
параметра \|, при котором после N нагружений наступит приспо
собляемость. Если же задан интервал £' —				изменения парамет

ра £, то условие (45.15) (в случае равенства) определит число N нагружений, после которого пластические деформации не будут изменяться.

§ 46. Теоремы о приспособляемости

Пусть уцругопластическая система находится под действием объемных Ft и поверхностных сил, изменяющихся в любой последовательности, и пусть эти силы вызывают в рассматривае мой системе напряжения Сц и деформации е^. Если для любой программы нагружения величины G{j и s{j могут быть найдены, то определение условий приспособляемости не вызывает трудно стей, в том числе и для упрочняющихся материалов. Однако ис следование приспособляемости упругопластических систем ока

зывается возможным и без анализа действительных напряжений и деформаций, возникающих при сложных циклических нагруже ниях, достаточно иметь решение лишь соответствующей задачи при упругом деформировании. Такая возможность представляется, если воспользоваться приводимыми ниже теоремами о приспо собляемости.

Теорема Блейха — Мелана формулируется следующим обра зом: пусть ofj — фиктивные напряжения, возникающие в рассмат риваемом теле при его упругом деформировании силами Fu R{; если при этом может быть найдена какая угодно система само-

(0)

уравновешенных напряжении о*/ такая, что сумма напряжении

о\з = CFif + ofj,

(46.1)

не зависящих от программы нагружений, вызывает в каждой точ ке рассматриваемого идеально пластического тела только упругие деформации для всевозможных комбинаций нагрузки в определен ных пределах, то при этих нагрузках рассматриваемое тело при способится к некоторому состоянию (вообще говоря, отличному от

а*®*), т. е. при последующих нагружениях указанными нагрузками пластические деформации останутся неизменными.

Доказательство этой теоремы, приводимое ниже, принадлежит Койтеру [310].

Для доказательства теоремы рассмотрим остаточные напряже ния и остаточные деформации e?j, которые в случае отсут ствия зон вторичных пластических деформаций определяются со отношениями

	Oij = o tj — ofj,				e°ij =	Eij — efj,			(46.2)
причем напряжения		o f	и деформации e$, в отличие от напря
жений	Oij и e?j,	определяются только текущими внешними си
лами	и Ri.
Составим выражение фиктивной упругой энергии
	w =	-§ -1 ( ° « -			№	~	е« )е) dv>		(46-3)
		V
где	и 6(ij)e — упругие деформации,					связанные с соответствую
щими напряжениями			и o f	обобщенным законом Гука:
ei7- = 2G		1 +	V	J 0 )e __		2G	a < ° > -	hk	(46.4)
ei7- = 2G		1 +	V	bi,	—	2G	1 +	V	(46.4)
В (46.3) интеграл берется по всему объему тела.
Пусть \| — некоторый параметр					(например, время),			характери
зующий	процесс нагружения. Поскольку						разности	o f	— а® и

е\) — е(^)всвязаны линейными однородными соотношениями (46.4)

и так как величины		и		не зависят от параметра нагруже
ния	производная W по \|, согласно				(46.3), будет равна
	d W					(46.5)
						(46.5)
Пластические слагаемые			e?j действительных			деформаций e<j
и остаточных деформаций			е?;-	совпадают, поэтому
		о?. —		I о?.
		сг<?--		С,гз-р
или, учитывая (46.2), находим
		Об	8 ij	р	Ф
		6ij =	8 ij	Ejj	£ jj.
При этом выражение (46.5) перепишется в виде
						(46.6)
	Воспользуемся теперь принципом возможных перемещений,
согласно которому
	( Fiduidu +		\| Riduids = \ OijdEijdu.			(46.7)
	v		s		v
Разности напряжений		o?j —		соответствуют нулевым внешним
силам, а разности деформаций				£ц — sfj удовлетворяют услови

ям совместности деформаций, так как этим условиям удовлетворя ет каждое слагаемое в отдельности. Поэтому, применяя к указан ным разностям соотношение (46.7), получим

d v = 0 .

При этом из (46.6) следует, что

d W

(46.8)

Из энергетического постулата Друккера [299] для упругоплас тической среды, не обладающей упрочнением, следует

или, согласно (46.1) и (46.2),

Учитывая это неравенство, из (46.8) находим, что dW!d\ < < 0, т. е. при изменении в процессе нагружения пластических де формаций производная от W по | отрицательна. Сама же вели чина W , согласно (46.3), не может быть отрицательной. Отсюда следует, что должен наступить момент, когда defj/d| станет равной нулю, т. е. процесс изменения пластических деформаций должен в конце концов прекратиться. Это требовалось доказать.

Из формулировки и доказательства приведенной выше теоре мы следует, что при выполнении определенных условий возника ет состояние приспособляемости, однако остается открытым во прос — после какого числа нагружений возникнет это состояние, иначе говоря, теорема о приспособляемости, например, не гаран тирует, что предельное состояние не возникнет до наступления приспособляемости. Это обстоятельство приходится учитывать при определении допустимых нагрузок.

Для оценки нагрузок, при которых возникает приспособляе мость, оказывается также полезной теорема Койтера [310], кото рую мы приведем без доказательств: упругопластическая система никогда не приспособится, если можно найти любой цикл скоро сти пластической деформации d e f j / и внешних сил F<(|), Д,-(|), изменяющихся в определенных пределах, для которого

И в свою очередь система приспособится, если можно найти такое число ц < 1, что для всех циклов скорости пластических де

формаций d£ij/dl и внешних сил Л-(|), #Д|), заданных в опре деленных пределах, выполняется условие§

§ 47. Учет сил инерции

В работе [270] приведено доказательство теоремы типа теоре мы Блейха — Мелана для случая динамического нагружения уп ругопластического тела, материал которого не обладает упрочне нием и удовлетворяет постулату Друккера (§ 46).

Формулируются начальные условия, включающие в себя: рас пределение начальных перемещений, распределение начальных скоростей, наличие в теле поля самоуравновешенных напря жений.

Теорема формулируется следующим образом: пусть среди всех систем начальных условий имеется по крайней мере одна систе ма, при которой внешние силы Ri(t) вызывают только упругое поведение тела в каждый момент динамического процесса нагру жения. Тогда упругопластическое тело, находящееся под дейст вием нагрузок, приспособится к упругому изменению деформа ций, причем приведенное условие является достаточным условием приспособляемости. Оно становится и необходимым для сил ДДг), изменяющихся со временем периодически, т. е.

/?*(*) = l ( t + nt0) = i(t).

Доказательство этой теоремы аналогично приведенному выше доказательству теоремы Блейха — Мелана, поэтому мы его здесь не приводим и отсылаем интересующихся к первоисточнику. При ведем только оценку величины пластических деформаций при до стижении состояния приспособляемости.

Воспользуемся постулатом Друккера, введя коэффициент за паса V, т. е. приняв a‘Ij = vofj, где ofj — напряжение, не вызыва ющее за рассматриваемый процесс нагружения изменения пласти ческих деформаций (см. (46.1)). При этом

( O i j — v a ® )> 0 ,

откуда
Wo = ayefj <	(oij — a®) e£.
Учитывая это соотношение,	подсчитаем работу, затрачен

ную за время от начала нагружения £°до момента £*, отвечающе го достижению состояния приспособляемости,

**<*

w 0 - j w 0dt	J {ои - afj)	=
Jo	t0
	= 7 = 1	l W ( t * ) - W (**)] <	W (*°),

где W определяется формулой (46.3), если ие учитывать влияние инерции.

Отсюда следует, что для получения оценки сверху пластиче ской деформации, накопленной до достижения состояния приспо собляемости, следует подсчитать затраченную работу И70 н

приравнять ее величине

7 = 1 W i n

Учету сил инерции при исследовании приспособляемости ста тически неопределимых упругопластических систем с конеч ным числом степеней свободы посвящена работа [391.

В случае вынужденных колебаний упругой системы с конеч

ным (/г) числом степеней свободы под действием нагрузок
/*«) = Рк +	sin y.t			(47.1)
имеет место формула (§ 30) для нормальных координат
л	/__	Ярь	\
zft = aksin (сoht + <pfc) + т	Pfc +	------ г sin	>
[l	■	l ~ e"	>	(47.2)
[l

8 k ~

где coh— собственные частоты упругой системы, jх — частота из менения внешних параметров; величины аки срл зависят от началь ных условий. Учитывая (30.31) и (47.2), запишем формулу для текущих координат

щ = 2	sin	+ Ф*) + 2	?к- г	( р * +	т	sia	(47-3)
8=1		5=1		\	1	&S	/
Зная (47.3), можем записать выражение для напряжений
	п	__
	PH = 2	PH,кsin (tOftf +	(pft) +	Cij +	Xcij sin p*.		(47.4)
	h=l

Здесь индекс i соответствует произвольному сечению рассмат риваемой системы.

Обозначим через %е такое значение X, что при %> %е в системе возникают пластические деформации. Согласно теореме, приведен ной в начале этого параграфа, существует такое значение > А,*, что при Хв<Х <% а вынужденные колебания с появлением пласти ческих деформаций после некоторой начальной стадии перейдут в чисто упругую фазу; для этого достаточно найти такое упругое решение (47.4) и указать какую-либо систему самоуравновешенных напряжении Р ц » что сумма Рц + рц не выходит за предел текучести. При фиксированных К неизвестными в этой задаче бу дут p(iV и ак1 фА. Однако при определении Аа = max А, можно счи тать величины акнулями (фАпри этом не войдут в решение) и тем самым значительно облегчить решение задачи. Это утверждение осповано на теореме, приведенной в [39].

§ 48. Приложение. Приспособляемость при качении жесткого цилиндра по поверхности упругопластического полупространства

Воспользуемся теоремой Блейха — Мелана (§ 46) и приведем пример определения приспособляющих нагрузок в случае пов торяющегося качения абсолютно жесткого цилиндра по полупро странству (случай плоской деформации) из идеально пластиче ского материала. Соответствующие оценки приведены в [308].

Напомним, что согласно теореме Блейха — Мелана приспособ ляемость будет иметь место, если можно указать какую-либо си стему самоуравновешенных напряжений о $ х которая вместе с

напряжениями Оц при чисто упругих деформациях образует си стему напряжений (46.1)

	Oij =	оi f +	<y?j,	(48.1)
не выходящих за предел текучести.
Напряжения	определяются		известным решением	Герца,
которое в комплексной форме имеет вид
°п +	0?з =	093 =	2РоRe

° S - o g + 2 t a S = p , !S b J f J e - 6 , sh£

£ = хх + ix2, 5 =

— ix2.

Контактное давление р(хк) равно

Р =	2 Р	APR (l — v2)
Р =	па *	Е

<482>

(48.3)

В формулах (48.2) и (48.3) р0 — максимальное контактное дав ление, Р — нормальная нагрузка на единицу длины вдоль оси х3 (рис. V III.3), R — радиус цилиндра, Е — модуль Юнга, v — коэф фициент Пуассона, 2а — ширина полосы контакта.

Максимальное касательное напряжение возникает на оси сим

метрии	= 0) на	глубине х2 = 0,78а, а его величина равна
% =	0,304р0. Если	теперь воспользоваться условием текучести

Треска — Сен-Венана, то можно найти значение р0, при котором будет достигнут предел текучести при чистом сдвиге т8:

Ро — 3,3тв.

(48.4)

В случае критерии Губера — Мизеса имеем соответственно

Ро = 3,1т,.

(48.5)

Минимальное же значение р0 следует из критерия максималь ного приведенного напряжения (21.16х):

	лф		Ф		пф		Ф	„ф
max \|	ф	»	Ф		°\г	»	Ф	aii	= 2T s,
max \|		»	о°-		з*	»	о3 -	—	= 2T s,
			о°-		з*
	ф		ф	I	ф	I	ф
	Оц = O l			+	02 +		а3 1
где o f, o f, o f — главные напряжения. При этом
			р0=		2,7тв.				(48.6)
Если вместо тв ввести предел					текучести			при чистом растяже
нии ов, то	1,676о8^			р0 ^		1,80оа,			(48.7)
	1,676о8^			р0 ^		1,80оа,			(48.7)

причем минимальное значение р0 соответствует критерию Трес ка — Сен-Венана, а максимальное — условию приведенных нап

ряжений.

Следующий шаг при использовании теоремы Блейха — Мелана — это выбор самоуравновешенных напряжений о $ . Если за систему напряжений сг^ вы брать остаточные напряжения, которые сохраняются в иссле дуемом упругопластическом полупространстве после удале ния нагрузки Р, то можно убе-

т ( 0 )

диться, что Оц имеют вид

		= / 1	(^2)»	а22^ = 0?	^12^ =	0»
				= /(.),	(48.8)
		где fi, /2 мы будем считать за
Рис. V II 1.3. Действие жесткого	ци	данными функциями.
		Теперь		остается	составить
линдра на поверхность упругопла		суммы	напряжений		(48.1)	и
стического полупространства.
		воспользоваться каким-либо ус

ловием пластичности, выраженным в главных напряжениях,
/(^1, о!, Оз)<т®.					(48.9)
В нашем случае
11 -4 (.5 +«?, + О	± 4 K.S+ <& -			+ 4»?,тч
О2 J

(48.10)

Примем сначала за (48.10) условие Треска — Сеи-Венана, ко торое в нашем случае запишется в виде

1 / я	s\2 ^	2
Wl	°2/	T'S 1

или с учетом (48.10)

(48.11)

Из (48.11) следует, что а12 не должно превышать т«. Если же в некоторой точке |of21= т5,то в этой точке должно быть выпол нено условие

			0?1 +		ой» — о ?2 = о.		(48.12)
Из решения (48.2) можно убедиться, что шах							достигается в
точках	Xi =	± 0,867а,	хг =	0,500а. В		этих точках	значения сг^
равны
о?! =	-	0,299р0,	а?2 =	-	0,433р0,	а?2 - ± 0,250р0. (48.13)
Внеся	Пп и of* из (48.13) в (48.12), найдем						= — 0,134р0.
При указанных значениях On* of2,						и o ff условие (48.11) удов
летворяется, если				р0 < 4,00тя,			(48.14)
				р0 < 4,00тя,			(48.14)

причем можно проверить, что при выполнении (48.14) условие (48.11) не будет нарушено ни в одной точке полупространства. Таким образом, условие (48.14) определяет предел приспособляе мости.

Если воспользоваться критерием Губера — Мизеса или усло вием пластичности Максимальных приведенных напряжений, то получим значение р0, близкое к (48.14) [308].

Заметим, что полное усилие Р, как это следует из (48.3), про

порционально Ро. При этом из (48.14) при условии, например, (48.5) находим

Рприсп __ 4

р —

Упр

т. е. при повторяющемся качении жесткого цилиндра по упруго пластическому пространству изменение соответствующих пласти ческих деформаций Со временем прекратится, если нагрузка на цилиндр не превышает примерно 70% той, при которой появля ются первые пластические деформации.

Г Л А В А IX

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 49. Влияние предшествующей однородной деформации

При исследовании устойчивости упругопластических систем может оказаться существенным учет влияния предыстории нагру жения. С этой точки зрения представляет интерес оценка влияния на величину критической нагрузки изменения упругопластических свойств материала в процессе циклического нагружения, с одной стороны, и остаточных (начальных) напряжений, сохранившихся после предшествующего нагружения, с другой; в общем случае оба эти фактора проявляются одновременно.

В этом параграфе рассматривается вопрос, причем лишь в об щих чертах, о влиянии предварительного циклического нагруже ния, при котором возникают однородные по координатам поля напряжений и деформаций, на величину соответствующей крити ческой нагрузки. Рассмотрение начнем со случая устойчивости стержня после предшествующего растяжения или сжатия.

Пусть прямой стержень, сечение которого имеет две оси сим метрии, сжимается силой Р. При значении Р = Р кр стержень те ряет устойчивость, причем нас будет интересовать лишь случай I Оц I = P*p/F > о„ где F — площадь поперечного сечения стержня.

Введем систему координат х2, xz, ось xt направим вдоль центральной продольной оси стержня, ось х2 пусть расположена в плоскости изгиба. Если воспользоваться критерием Энгессера — Кармана, то значения критических сил для стержней с различ ными закреплениями концов будут определяться соответствую щими формулами Эйлера с заменой в них модуля Юнга Е на мо дуль Кармана К 0, имеющий выражение [81]

(49.1)

Здесь введены следующие обозначения:

Л/2

(49.2)

h! /1/2

Через h обозначена высота поперечного сечения, через Ь(х2) — его ширина. Величины F 0, S0 и /0 суть площадь, статический мо мент и момент инерции площади части поперечного сечения, в ко торой вследствие потери устойчивости происходит догрузка воло

кон;	эта часть сечения ограничена прямой х2 = х\.			Величина х\
удовлетворяет уравнению
	х% +	= 0.			(49.3)
Определив отсюда xl, из		(49.2) найдем /0 и S0,	а	по	формуле
(49.1) определим модуль К 0 как функцию Пи =			P ^ IF ,		посколь
ку производная dGu/d&u берется на диаграмме Оц ~				8ц	в точке,
где	\|сгп \|= ОпР.
Если, например, концы		стержня жестко закреплены,			то сог

ласно известной формуле Эйлера при упругой потере устойчивос

ти Ркр = 4кгЕ1/12 (I — длина	стержня). Поэтому	при потере ус
тойчивости за пределом упругости
P KV =	A- ^ I K 0{Pkv).	(49.4)

Для стержня прямоугольного сечения с площадью F = bh пз (49.2) следует

При этом из уравнения (49.3) находим

2xS	= («о — 1)1/г — а, «о	Е + Е '
h	= («о — 1)1/г — а, «о	Е — Е "
Выражение (49.1)	для модуля Кармана	при этом преобразуется
к виду
	4Е Е '	(49.5)
		(49.5)

0О/я + т/я')2

Вслучае линейного упрочнения Он = — kcs+ £41 — й)ец, по этому £ ' = (1 — к)Е, и из (49.5) находим

4Е (1 - к)

(49.6)

2 (1 + у Г ^ к ) - к

Как видим, в этом случае модуль Кармана К 0 есть величина по стоянная.

Мы использовали выше критерий Энгессера — Кармана. Если же воспользоваться известным критерием Шенли [278], то для определения критической силы при потере устойчивости за пре-

делом упругости следует в соответствующих формулах Эйлера за менить модуль Юнга Е на модуль упрочнения Е ' Например, для стержня с жестко закрепленными концами вместо формулы (49.4) находим

	Р кр =	^ Г Е '( Р 1<р),	(49.7)
а для случая линейного упрочнения
	Рнр =	-р- E l (1 — к).	(49.8)
Заметим, что	всегда Е ' ^	К 0, поскольку для	упругопластиче
ских материалов	Е ' < Е.

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости стержня при усло вии, что перед осевым сжатием стержень испытал растяжение до напряжения а1Х, удовлетворяющего условию а ц < 2о$. Про следим прежде всего, какие здесь возникают возможности, на примере линейно упрочняющегося материала. Во-первых, вслед ствие эффекта Баушингера предел текучести материала при сжатии а '3 = 2as— Оц > 0 будет меньше предела текучести оа материала в исходном состоянии. Поэтому, если в исходном состоянии стер жень теряет устойчивость, оставаясь упругим, и если при этом вы-

полняется условие о$<С an < c rs, то после предварительного растя жения стержень потеряет устойчивость за пределом текучести. Для определения соответствующей критической силы следует вос пользоваться одним из приведенных выше методов. Указанное ус ловие можно записать в виде

	2сг, — < т ц < ^ р - < а .,				(49.9)
а для рассмотренного	выше		стержня с жестко		закрепленными
концами и прямоугольным поперечным сечением оно будет
2es	(Т	«гг2	Ь2	М )-
	l U	c f l L ^ e

Во-вторых, предшествующее пластическое растяжение изменя ет, вообще говоря, упругопластические свойства материала, и при последующем сжатии, например, коэффициент упрочнения примет значение к" Фк. (Как отмечалось, для циклически упрочняю щихся материалов к" < &, для циклически разупрочняющихся к " > к). При этом

	Е" = { 1 - к " ) Е,	4Z? (1 — к " )
	Е" = { 1 - к " ) Е,	Ко = 2 (1 + У Г = П Й ) - к " '
		Ко = 2 (1 + У Г = П Й ) - к " '

Поэтому при использовании и критерия Энгессера — Кармана, и критерия Шенли критическая сила будет отличаться от той, при которой происходит потеря устйчивости при сжатии стержня из исходного состояния, причем она будет больше для циклически упрощающихся материалов и меньше — для циклически разупрочняющихся.

Качественно совершенно аналогичная картина наблюдается для материалов с произвольным упрочнением. Для описания упру гопластических свойств при переменном нагружении воспользуем ся, например, обобщенным принципом Мазинга, согласно которо-

пи

му соотношение сгп ~ еп при сжатии после разгрузки из состоя

ния Пц, еХ1 имеет вид

Оц = о1г — аФ

(49.10)

гДв <X ii=0' (г'п) есть уравнение диаграммы растяжения, а — мас штабный коэффициент. Из (49.10) находим

ЕГ	_ ф 7! 11	(49.11)
* 1 1	\

где точкой обозначена производная по аргументу. Определим из (49.10) разность

и подставим ее в (49.11), сделав замену ап = — Ркр/F) в итоге получим

E" = Q Ы .+ 1 К^ Р.\	Щ\|) = Ф (Ф 1Х(Б)). (49.12)
Для определения критической силы остается в соответствую
щих формулах Эйлера заменить модуль Юнга Е на найденный

выше модуль упрочнения Е " , если используется критерий Шеили, или на модуль Кармана (49.1), если используется критерий Энгессера — Кармана, поменяв в последнем модуль Е ' на модуль

упрочнения Е "	в соответствии с формулой (49.12). Как видим,
в случае сжатия	стержня после его предшествующего	растяже-
	/	/
ния до напряжения axi критическая сила зависит от		(Хц и от

масштабного коэффициента а, который, напомним, больше 2 для циклически упрочняющихся материалов, равен 2 для циклически идеальных и меньше 2 для циклически разупрочняющихся.

18 В. В. Москвитян

Проиллюстрируем сказанное на примере материалов со сте пенным упрочнением, для которых согласно (49.10)

(0 < у < 1).

Используя выражение (49.12), определим Е " :

Вслучае критерия Шенли для рассмотренного выше стержня

сзакрепленными концами найдем выражение для Р кр:

Модуль Кармана для стержня прямоугольного сечения опре делится по формуле (49.5), после чего для Р 1фнаходим

Возникает еще вопрос — как может повлиять на величину критической силы стержня его предварительное сжатие за предел текучести до напряжения ап . Если параметры стержня таковы, что соответствующее критическое напряжение a£i = P ^ IF мень-

ше \сти|, то такой стержень потеряет устойчивость, оставаясь упругим, т. е. соответствующая критическая сила определится по формуле Эйлера, хотя при сжатии стержня из исходного состоя

ния он при условии	будет терять устойчивость за пре
делом текучести. Если же		то	критическая сила опре
делится с помощью	приведенных	выше	методов	исследования
упругопластической	устойчивости,	причем	в этом	случае пред

шествующее сжатие никакого влияния на величину критической нагрузки не окажет.

Рассмотрим теперь, аналогично приведенному выше, вопрос о влиянии на величину критической нагрузки произвольного чис ла п предшествующих циклических нагружений за предел теку чести и начнем с интересного случая устойчивости стержней из циклически разупрочняющихся материалов. Пусть такой стер жень испытывает знакопеременные нагружения растяжения — сжатия с постоянной амплитудой напряжений, причем предполо жим, что максимальная сила Р при сжатии образца меньше кри тической для стержня в его исходном состоянии, т. е. при первых нагружениях не происходит потери устойчивости. С увеличением числа п переменных нагружений в случае циклически разупроч-

пяющегося материала модуль упрочнения Е п будет уменьшаться, вследствие чего будет уменьшаться и величина критической силы ^>кр>подсчитанная и по критерию Энгессера — Кармана, и по кри терию Шенли. И как только Ркр достигнет при п = тгкр амплитуды Р, при сжатии произойдет потеря устойчивости. Таким образом,

стержень из	циклически	разупрочняющегося		материала	может
оставаться прямолинейным при пер
вых циклах	растяжение — сжатие,
а затем потерять устойчивость, хотя
при каждом цикле величина макси
мальной сжимающей силы Р остает
ся одной и той же. Сказанное схема
тически иллюстрируется рис. IX.1.
Для определения числа нагруже
ний тгкр, после которого возникает
потеря устойчивости при		заданном	Рис. IX.1.	Влияние	цикличе
значении сжимающей силы Р, сле			Рис. IX.1.	Влияние	цикличе
значении сжимающей силы Р, сле			ских нагружений на величину
дует воспользоваться какими-либо			критической силы для раз-
соотношениями между напряжением			упрочняющихся материалов.

Oil и деформацией е^, учитывающи

ми изменение упругопластических свойств с увеличением нагру жений. Воспользуемся, например, соотношениями (0.12), с кото рыми мы уже встречались:

			-п—Х		(-1 )п-14е,			-i)n (oSrx-			g&)
е?1 =	е?Г1 + —		JU		(-1 )п-14е,			-i)n (oSrx-			g&)
е?1 =	е?Г1 + —		Е		+		1)°	1-г	2а.		H
			Е		(я ~		1)°		2а.		H
											(49.13)
Здесь	^	=		т * =		1 -г		Из (49.13)		находим
		gn __ dau									(49.14)
			dzn								(49.14)
			dzn	+				' (—Dn К г 1-		qn ) j ’
			11 1	+				' (—Dn К г 1-		qn ) j ’
					2 ( n	- l ) a 4		2a.
где точкой, как и выше, обозначена призводная по аргументу.
Пусть		для определенности					сжатие стержня			происходит при

всех четных значениях п. Учитывая при этом (49.14), используя,

например, критерий	Шенли и приравнивая			Р Кр =	— сгпР = Р,
находим соотношение для искомого числа /гкр:
Р =			Ро +	.	(49.15)
I	1-		Ро +	Р
	1-	чОС f —1	2asF
		2 > к р -1 )°

Здесь г] — числовой множитель в сответствующей формуле Эйле ра, зависящий от условия закрепления концов стержня (в рас-

18*

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.2023325.85 Кб0Ценные издания в библиотеке З. И. Файнбурга.pdf
#
20.11.202314.98 Mб14Центробежные компрессоры..pdf
#
20.11.20234.06 Mб2Цивилизация и культура. Проблемы личности.pdf
#
20.11.202325.76 Mб4Циклическая прочность и ползучесть металлов при малоцикловом нагружении в условиях низких и высоких температур..pdf
#
20.11.202314.22 Mб0Циклическая прочность металлов..pdf
#
20.11.202333.39 Mб0Циклические нагружения элементов конструкций..pdf
#
20.11.202315.21 Mб0Цилиндрические зубчатые колеса..pdf
#
20.11.20239.69 Mб1Цифровая обработка сигналов в измерительной технике..pdf
#
20.11.20234.24 Mб10Цифровая обработка сигналов..pdf
#
20.11.202346.71 Mб2Цифровая фотография обработка фотоснимков на домашнем компьютере..pdf
#
20.11.20238.95 Mб4Цифровая экономика в социальных сетях..pdf

(«) = 2 Akfi sin (<м + Vh),

£? + rfcj = 5i(0).