9357

где TC – температура на поверхности тела; xГ, yГ, zГ – координаты точек поверхности тела, например, температура в точках границы тела может быть постоянной TC = const в течение всего процесса теплопроводности.

– граничные условия второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле

температуры

qC = f( , xГ, yГ, zГ).

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и

во времени остается постоянной qC = const.

– граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта

связь представляет собой закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана

величинами. По закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени, вследствие теплоотдачи должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутреннего объема тела,

т.е. по закону Фурье

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент температуры относятся к поверхности тела.

Попытки аналитического решения системы уравнений, даже для ламинарного течения жидкости, наталкиваются на серьезные математические трудности, обусловленные нелинейностью уравнений (1.1) – (1.3) и

зависимостью физических параметров жидкости от температуры. При ламинарном течении жидкости частицы жидкости движутся без

11

перемешивания, слоисто. Поперек потока ламинарно-текущей жидкости тепло передается только теплопроводностью. Турбулентное течение жидкости представляет собой хаотическое движение разных по размерам частиц жидкости с их перемешиванием. Любая физическая величина (температура,

скорость, давление и т.д.), измеренная в фиксированной точке турбулентного потока жидкости, показывает хаотические пульсации около некоторого среднего во времени значения.

1.2. Анализ размерностей Метод основан на том факте, что решение физических задач не должно

зависеть от выбора системы единиц, которая отражается только на численных коэффициентах уравнений, но не на их структуре. Безразмерные характеристики физического процесса подчиняются теореме Бэкингема (π-

теореме)

i = п – т,

где i – наибольшее число безразмерных комплексов; п – число размерных параметров, характеризующих процесс; т – число первичных размерностей.

Анализ размерностей рассмотрим на примере задачи о теплообмене в трубе при турбулентном течении.

Коэффициент теплоотдачи [Вт/(м2•К)] зависит от скорости теплоносителя w [м/с], динамической вязкости μ [Н•с/м2 = кг/(с•м)], удельной теплоемкости с [Дж/(кг•К)], теплопроводности [Вт/(м•К) ], ускорения силы тяжести g [м/с2], диаметра трубы d [м] и плотности ρ [кг/м3 ].

Длину трубы исключим из рассмотрения, так как рассматривается стабилизированный процесс теплообмена. Итого, имеем 8 различных параметров, описывающих процесс. Число первичных размерностей равно пяти

(Ватт, килограмм, метр, Кельвин, секунда). Число безразмерных комплексов,

характеризующих процесс, i = 8 – 5 = 3. Для определения этих комплексов применим алгебраический метод Рэлея. Для упрощения уравнений

12

целесообразно сгруппировать некоторые величины, например, использовать не

линейную скорость, а весовую wρ = w ρ. Тогда

= Awρad6cв μ г д,

Подстановка размерностей в это уравнение дает

Суммирование показателей степени при одинаковых основных единицах

приводит к следующей системе уравнений:

Вт: 1 = в + д ;

кг: 0 = а – в + г ;

м: – 2 = – 2а + б – г –2д ; с: 0 = – а + в – г ;

К: – 1 = – в – д

Совместное решение этих уравнений дает

б = а – 1; г = в – а; д = 1 – в.

После подстановки в основное уравнение получаем

Nu = A∙Rea∙Prв

Постоянные А, а, в должны определяться на основании модельных

экспериментов. Анализ размерностей является первичным звеном изучения

процессов, когда еще не составлены уравнения, описывающие процесс. Успех

дела здесь зависит от правильности определения физических величин,

влияющих на процесс, что часто определяется интуицией исследователя.

Наоборот, включение в рассмотрение величин, несущественных для данного

процесса, приводит к неправильным критериям.

Полученные критерии подразделяются на определяющие и определяемые.

К первым относятся безразмерные комплексы, составленные из величин,

входящих в условия однозначности процесса (геометрические свойства

13

системы, физические характеристики, начальное состояние системы и граничные условия). Ко вторым относятся комплексы, не входящие в условия однозначности. Определяющие критерии являются независимыми переменными, а определяемые – зависимыми переменными, причем каждый из определяемых критериев есть функция совокупности определяющих критериев.

В приведенном выше примере числа Re и Рг являются определяющими критериями, а число Nu – определяемым. Если при использовании метода размерностей решение задачи зависит от квалификации исследователя, то система критериев из анализа дифференциальных уравнений получается автоматически путем представления уравнений в безразмерной форме.

1.3. Физическое моделирование

Вследствие сложности процессов и невозможности аналитического решения уравнений конвективного теплообмена при его изучении широко используются методы экспериментального исследования. Экспериментальные исследования конвективного теплообмена проводят, как правило, на моделях.

При моделировании изучение процесса теплообмена на образце заменяется исследованием этого же процесса на модели. Условия моделирования, т.е.

условия, которым должна удовлетворять модель и протекающий в ней процесс теплообмена, дают условия подобия. Если процесс в модели будет подобен процессу в образце, то результаты исследования на модели могут быть применены к образцу. Моделирование включает в себя две самостоятельные задачи. Во-первых, в модели необходимо осуществить процесс, подобный процессу в образце, и, во-вторых, выполнить на модели все необходимые

измерения и наблюдения.

Все величины в уравнениях и условиях однозначности можно

подразделить на три вида:

– независимые переменные – это координаты x, y, z, ;

однозначно определяются независимыми переменными, если заданы величины,

14

условиями однозначности и для конкретной задачи постоянны.

Таким образом, искомые зависимые переменные поле избыточных температур , коэффициент теплоотдачи , проекции скорости на оси координат wx, wy, wz, поле давлений р зависят от большого числа величин.

Они являются функциями независимых переменных и постоянных величин,

входящих в условия однозначности, например,

уравнений (1.1) – (1.3) при заданных краевых условиях, то был бы определен конкретный вид функций f1 и f2. Можно было бы попытаться найти вид функций f1 и f2 опытным путем. Однако не всегда легко проводить и опытное исследование. Для определения влияния на процесс теплообмена какой-либо одной величины остальные величины нужно сохранять неизменными в опыте.

Это условие не всегда можно выполнить из-за большого количества переменных. Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты,

получаемые с помощью какой-либо опытной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образцы). Величины,

содержащиеся в уравнениях (1.1) – (1.3) и условиях однозначности, можно сгруппировать в безразмерные комплексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных величин. Для приведения уравнений (1.1) – (1.3) и условий однозначности к безразмерному виду выберем в качестве масштабов постоянные величины, входящие в условия однозначности: для для времени 0, длины o, для скорости w0, для температуры с.

Обозначим безразмерные величины:

15

гидродинамики и тепломассообмена. Первый из этих комплексов называют

задачах конвективного теплообмена число Нуссельта является искомой величиной, так как в него входит искомая величина коэффициент теплоотдачи.

число характеризует отношение теплоты, переносимой конвекцией, к теплоте,

переносимой теплопроводностью, в направлении течения. Если число Pe 1,

то можно пренебречь переносом теплоты теплопроводностью. И наоборот, если число Pe 1, то можно пренебречь переносом тепла конвекцией по сравнению с переносом тепла теплопроводностью. Безразмерный комплекс

инерции и сил вязкого трения. Число Рейнольдса можно получить, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член,

учитывающий в этом уравнении силы вязкого трения. Число Рейнольдса часто используют для характеристики режима течения жидкости: ламинарного или турбулентного. При числах Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр, инерционные силы уравновешены силами вязкого трения, имеет место упорядоченное ламинарное течение жидкости. При числах Рейнольдса,

больших критического значения Reкр, инерционные силы разрушают

характеризует отношение подъемной силы, возникающей в жидкости вследствие разности плотностей, к силе вязкого трения. Это число широко используют в задачах теплообмена при естественной конвекции жидкости.

17

характеризует соотношение в потоке жидкости сил давления и сил инерции. В

уравнении движения это число входит только под знаком производной.

Следовательно, для рассматриваемого процесса существенно не абсолютное значение давления, а его изменение.

При неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные комплексы могут быть получены путем соответствующего комбинирования старых комплексов. Однако при этом число переменных под знаком функции в зависимости определяемых комплексов от определяющих не должно измениться. Если разделить число Пекле на число Рейнольдса, то получим новую переменную, называемую числом Прандтля

Pe ν μ cp Pr . Re a λ

Число Прандтля целиком составлено из физических параметров

жидкости, а поэтому и само является физическим параметром. Все жидкости в зависимости от числа Прандтля можно подразделить на три типа. Жидкости,

для которых Pr 1, это все капельные неметаллические жидкости. В случае теплообмена при течении таких жидкостей, толщина гидродинамического пограничного слоя больше толщины теплового пограничного слоя. Жидкости,

для которых Pr 1, это все газообразные среды. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя приблизительно равна толщине теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr 1, это все

металлические жидкости. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя меньше толщины теплового пограничного слоя.

Безразмерные величины θ, X, Y, Z, Wx , Wy , Wz , Nu, Re, Gr, Pr,Eu являются

теперь новыми переменными. Их можно подразделить на три группы:

независимые переменные – это безразмерные координаты X, Y, Z;

В результате этого соотношения (1.6) и (1.7) можно записать в виде

– определяющие – это числа, составленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности

Числа подобия, составленные из заданных параметров (постоянных)

математического описания процесса, называют также критериями подобия.

Очевидно, при равенстве чисел подобия модели и натурного объекта уравнения конвективного теплообмена в них совпадут, а следовательно при выполнении условий подобия можно ожидать, что и процессы тепломассообмена будут одинаковыми.

Сформулируем общие условия подобия процессов конвективного теплообмена в виде трех правил:

1.Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи безразмерными дифференциальными уравнениями.

2.Безразмерные условия однозначности подобных процессов должны быть численно одинаковыми.

3.Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.

П е р в о е у с л о в и е п о д о б и я требует, чтобы на модели и образце процессы имели одинаковую природу и описывались тождественными безразмерными дифференциальными уравнениями.

19

В т о р о е у с л о в и е п о д о б и я требует, чтобы на модели и образце

процессы имели численно одинаковые безразмерные краевые условия.

Отмечалось, что краевые условия или условия однозначности включают в себя:

геометрические условия, физические условия и граничные условия. Поэтому на модели необходимо осуществить геометрическое и физическое подобие с образцом, а также подобие граничных условий.

Т р е т ь е у с л о в и е п о д о б и я требует, чтобы на модели и образце одноименные определяющие критерии имели одинаковые численные значения.

При этом определяемые одноименные безразмерные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые численные значения.

Так как физические свойства жидкости зависят от температуры, что при выводе уравнений конвективного теплообмена не учитывалось, кроме плотности, то точное моделирование не всегда возможно. Поэтому используют методы приближенного моделирования. К ним относится, например, метод локального теплового моделирования. Он состоит в том, что подобие процессов осуществляют лишь в том месте, где исследуется теплоотдача. Например,

теплоотдача пучка труб в потоке жидкости исследуется на одной трубе, а

остальные служат только для придания модели формы, подобной образцу.

Опытные данные, полученные на модели, обрабатываются в числах подобия. Допустим, было получено в результате анализа, изложенного выше,

что в экспериментально изучаемом процессе

Nu F(Re,Pr).

По данным измерений подсчитываются значения Re и Pr и

соответствующие им значения Nu. Зависимость между числами подобия обычно представляется в виде степенных функций, например

Nu c Ren Prm ,

где c, n, m являются постоянными безразмерными числами, которые определяются либо графически путем построения в логарифмических координатах степенной функции, либо расчетным путем на ЭВМ. Такого рода степенные функции применимы лишь в тех пределах изменения аргумента, в

20