9357

P2 Pт2 Pм2 4030 9100 13130Па.

Мощность, необходимая для перемещения теплоносителя:

Разрез 1–1

Рис. 5.9. Пароводяной подогреватель (к примеру 3)

71

6. Планирование экспериментов

Математические модели строятся на основе учета лишь главных свойств объектов исследования. Для реализации сложных теплотехнических устройств всегда необходимо изучить (и оптимизировать) влияние большого количества факторов, не поддающихся аналитическому описанию. Проведение таких исследований возможно лишь опытным путем. При постановке и проведении экспериментальных исследовании в подавляющем большинстве случаев возникают задачи двух типов. Во первых целью эксперимента может быть определение связи между входными воздействиями х1, х2, хl, на исследования, и результатом осуществляемого на объекте преобразования – выходом у1 при заданных уровнях величин z1, z2, zn, характеризующих особенности устройства и работы объектa. Определение вида связи

y1 = f(х1, х2, хl, z1, z2, zn)

необходимо для интерполяции поведения объекта в условиях, не изученных при экспериментах. Во-вторых, целью большинства технических экспериментов на стадии создания и доводки объекта является опытное определение таких (оптимальных значений величин z1, z2, zn, и воздействий

х1, х2, хl,. которые обеспечивают максимум (или минимум) коэффициента преобразования П, необходимого для интерполяции поведения объекта в условиях, не изученных при экспериментах.

Очевидно, что непосредственно по результатам опытов не могут быть выведены математические закономерности. Экспериментальные данные могут быть использованы лишь для проверки и уточнения принимаемых математических моделей путем определения числовых величин констант зависимости

П = F(y1, .... уm, х1, ... xl, z1, .... zn).

Задачи первого типа (интерполяция) требуют использования нелинейных моделей. В тех случаях, когда это возможно, такие модели строятся на основе изучения физических связей между переменными; тогда же, когда физические

72

зависимости аналитически установить трудно или невозможно, прибегают к аппроксимации зависимости нелинейными выражениями.

При осуществлении экспериментов следует иметь в виду, что нелинейные зависимости оцениваются по результатам опытов с переменной в диапазоне изменения аргументов точностью. Поэтому необходимо выбирать переменные интервалы между значениями аргумента так, чтобы оцениваемая зависимость имела одинаковую точность на всем ее протяжении. В идеальном случае точность примерно пропорциональна квадрату числа отсчетов, поэтому если на одном участке криволинейной зависимости точность в два раза меньше, чем на другом, то на первом участке необходимо получить в четыре раза больше точек, чем на втором. Только при этом между каждой парой соседних точек экспериментальной кривой будут заключены одинаковые отрезки. Например,

пусть экспериментальная кривая является функцией одного аргумента

у = f (x).

Для любой непрерывной дифференцируемой функции общее выражение для малого отрезка ∆S кривой будет

Условие постоянства ∆S приводит к соотношению между i-м и (i+1)-м

интервалами изменения х вида

К сожалению, по ряду причин не всегда можно на практике обеспечить обоснованный таким образом выбор шага изменения аргумента при проведении опытов.

Задачи второго типа (оптимизация) успешно решаются без использования выражений, непосредственно вытекающих из физических представлений о процессах в объекте. Современные статистические методы планирования оптимальных экспериментов почти целиком основаны на применении

73

полиномиальных уравнений (регрессии), аппроксимирующих неизвестную зависимость.

Задача оптимизации объекта исследований по результатам экспериментов может формулироваться следующим образом. Известно, что выбранная оценка

функции качества П зависит от многих переменных, причем относительно

некоторых из них нет априорных соображений о значимости воздействий на П.

Ряд переменных во время эксперимента не контролируется; уровни остальных

переменных и П измеряются непосредственно или рассчитываются по

результатам измерений. Требуется определить значения независимых

переменных, обеспечивающие максимум (или минимум) П в области,

ограниченной по заданию или реализуемой в условиях проведении экспериментов.

Для численной оценки зависимость П = F(y1, .... уm, х1, ... xl, z1, .... zn)

аппроксимируется полиномиальным уравнением регрессии. Пользуясь

результатами опытов, можно определить только выборочные оценки коэффициентов регрессии П̂.

Математическая обработка результатов измерении производится с целью определения оценок коэффициентов регрессии и статистического анализа уравнения (11.3) в целом (см. раздел четвертый). Математический аппарат регрессионного анализа построен на основе определенных предпосылок. Для

При этом предполагается, что выполнены следующие условия:

1)результаты наблюдений) представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

2)дисперсия П̂ однородна, т. е. не зависит от условий проведения Опытно, а определяется только точностью измерения П̂ и влиянием

неконтролируемых переменных;

74

3) точность установления и поддержания на заданных уровнях независимых переменных столь высока, что их можно считать неслучайными.

Только при выполнении этих условий могут быть в принципе вычислены оценки коэффициентов регрессии уравнения П, оценка дисперсии (Пв – П̂)2,

характеризующая рассеяние точек относительно найденного уравнения регрессии, оценки дисперсий коэффициентов, характеризующие ошибки в определении величин коэффициентов корреляции между любыми парами коэффициентов регрессии, характеризующие их статистическую взаимозависимость. Наконец, могут быть определены доверительные границы для каждого коэффициента и проверены некоторые исходные гипотезы. Однако подобный подробный анализ результатов в общем случае связан с большими вычислительными трудностями, которые зависят от метода получения экспериментальных данных, или, как сейчас говорят, от плана проведений экспериментов.

Планирование экспериментов – это определение минимально необходимого числа опытов, условий и последовательности их проведения по некоторой заранее составленной схеме. Выбор плана проведения экспериментов, с одной стороны, зависит от свойств объекта исследования и особенностей протекающих в нем процессов а с другой стороны, подчиняется требованиям методов анализа результатов измерений.

Важной особенностью процессов в объекте является возможность повторного воспроизведения всех условий некоторого данного эксперимента.

По существу, все технические эксперименты невоспроизводимы в том смысле,

что ни один объект или прибор после определенных действии не возвращается в точности к идентичному состоянию. Примером тому могут служить испытания по оценке надежности при максимальных нагрузках, когда происходит прогрессивное ухудшение свойств объекта, или такие испытания,

при которых происходит интенсивная коррозия или изменяется структура материала деталей объекта. Для невоспроизводимых экспериментов последовательность проведения опытов однозначна; возможны лишь

75

ограниченное варьирование условиями работы объекта и выбор числа опытов;

независимая переменная изменяется скачкообразно от одного ее предельного значения до другого.

Планы подобных экспериментов получили название последовательных.

При этом всегда существует вероятность получения значительных неучтенных систематических погрешностей, наличие которых затрудняет или даже делает невозможным корректный математический анализ результатов. Однако применение последовательных планов не всегда связано с невозможностью применения иных способов проведения экспериментов. Наконец,

использование последовательного плана может определяться стоимостью,

сложностью или продолжительностью осуществления запуска объекта испытаний.

При исследовании теплотехнических объектов в большинстве случаев невоспроизводимость экспериментов проявляется в виде незначительного изменения свойств или условий проведения опытов гак, что их трудно выявить на фоне случайных ошибок измерений. В этом случае эксперименты можно считать условно воспроизводимыми и с целью исключения систематических ошибок использовать не последовательные, а случайные планы. План эксперимента, по которому изменение независимых переменных выбирается случайным образом, называется рандомизированным. При этом некоторым уровням независимых переменных присваиваются определенные номера.

Выбор последовательности проведения экспериментов назначается по случайной последовательности этих номеров, которая определяется с помощью таблиц случайных чисел или простейшими игровыми способами. Рандомизация

– основной отличительный признак статистического планирования.

Традиционный нестатистический план исследования сводится к постановке опытов в такой последовательности, чтобы при переходе от одного опыта к другому изменялось значение только одной независимой переменной, а

все остальные переменные оставались бы на каком-то фиксированном уровне.

Если между независимыми переменными существует простое математическое

76

соотношение, то можно определить зависимость П от изменяемой

переменной. Затем все переменные, кроме следующей, устанавливаются на постоянных уровнях; с помощью изменения следующей находится зависимость

П. Во всех опытах требуется знать значения зафиксированных переменных и поддерживать их строго постоянными от опыта к опыту. Не говоря о том, что подобный перебор всех переменных практически осуществить трудно,

традиционный (или, как его часто называют, классический) план эксперимента имеет ряд принципиальных недостатков. Во-первых, при обработке результатов в этом случае , дли оценки каждого из коэффициентов регрессии используется только малая часть проведенных опытов. Коэффициенты регрессии оказываются попарно коррелированными, соответствующие эффекты не разделяются. Во-вторых, при большом числе переменных число членов

полинома П слишком велико даже для обработки на вычислительных

машинах. Так, при порядке полинома т = 2 и числе исследуемых переменных

n = 20 только число членов полинома, содержащих парные взаимодействия вида, достигает 190; при т = 2 и n = 60 это число доходит до 1770. В-

третьих, по результатам классического эксперимента трудно оценить дисперсию (Пв – П̂)2, так как влияние неконтролируемых переменных может иметь систематический характер. И, наконец, в этом случае невозможно построить обоснованный критерий выбраковки измерений, содержащих грубые ошибки.

Использование статистических планов проведения экспериментов позволяет устранять влияние неконтролируемых переменных, упрощает обработку результатов при одновременном сокращении объема вычислительных работ, приводит к повышению точности или к сокращению объема экспериментов, при оптимизации объектов позволяет разработать четкую стратегию поиска экстремума функции П.

77

6.1. Процесс технического исследования Процесс исследования любого технического объекта может быть

разделен на ряд этапов, выполнение которых должно согласовываться между собой и подчиняться общей цели. К ним относятся: формулирование задачи,

которая должна решаться; разработка условий подобия моделируемых процессов; разработка плана необходимых экспериментов; техническая подготовка к проведению экспериментов; осуществление экспериментов и проведение измерений; обработка и анализ результатов измерений; оценка качества решения поставленной задачи.

Формулирование задачи экспериментального исследования включает в себя ряд вопросов, решение которых определяется возможностью достижения соглашения между сторонами, заинтересованными в результатах исследований.

Необходимо определить физические особенности процессов в объекте исследования, выбрать выходные параметры, входные воздействия,

варьируемые величины, сформулировать свойства образцового процесса,

установить вид оценки" совершенства основного процесса.

Предварительная оценка задачи облегчается разработкой исходной математической модели изучаемого процесса. Построение математической модели начинается с формализованного описания объекта, в которое включаются элементарные процессы, наиболее существенные для объекта.

Среди них могут быть уравнения, отражающие основные физические законы,

теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процессов и т. д. Полезно (а во многих случаях просто необходимо) преобразовать размерные переменные уравнений в безразмерные относительные формы. Относительные величины могут вводиться по разным правилам, например:

78

Любое из этих правил приводит к безразмерным величинам. Абсолютные значения , получаемые по приведенным формулам, отличаются друг от друга, но достаточно использовать лишь одно какое-либо правило при составлении уравнений математической модели, чтобы при осмысливании результатов был возможен обратный переход к размерным величинам. На практике чаще всего используются два первых выражения для .

Последующее объединение уравнений в систему приводит к получению общего математического описания объекта. Даже качественный анализ приближенной математической модели позволяет обоснованно подойти к постановке задачи исследования и одновременно служит основой осуществления последующих этапов.

Разработка условий подобия изучаемых процессов, т. е. представление связи изучаемых переменных в виде связи между безразмерными комплексами

– критериями подобия, может производиться как по математической модели процессов в объекте (анализ уравнений), так и путем анализа размерностей величин, существенных для рассматриваемого процесса.

Разработка условий подобия позволяет проводить физические исследования на моделях уменьшенных масштабов, что весьма желательно с экономической точки зрения, однако следует иметь в виду, что использование моделей малых размеров может привести к появлению у модели свойств, не присущих объекту моделировании. И, наоборот, некоторые свойства объекта при переходе к модели могут оказаться настолько ослабленными, что их проявление уже нельзя будет зарегистрировать. Типичным примером такого изменения свойств является изменение удельного влияния пристеночных эффектов в различных тепловых и смесительных аппаратах. Степень влияния этих эффектов на процессы, происходящие в объеме аппарата,

пропорциональна отношению поверхности аппарата к его объему, т. е. обратно пропорциональна его размерам. С уменьшением размеров возможно существенное возрастание пристеночных эффектов и как следствие – изменение общих свойств аппарата.

79

Вопрос о том, как в опыте на модели может быть осуществлен процесс,

подобный тому что и в образце, приводит к формулированию условий,

необходимых и достаточных для подобия двух явлений. Эти условия выражаются как требование, чтобы все критерии подобия, характеризующие свойства модели, имели данные значения, и, следовательно, в случае совокупности п параметров произвольно могут быть выбраны лишь (n – r)

параметров, r – число критериев подобия. Таким образом, реальные преимущества, создаваемые переходом к модели, зависят от соотношения между общим числом параметров и числом ограничительных уравнений.

Использование критериальных переменных в моделях натурного масштаба позволяет значительно сокращать количество режимов процессов при исследованиях за счет того, что вместо варьирования размерных параметров происходит варьирование комплексов включающих в себя по нескольку размерных величин. Кроме того, в ряде случаев возможно использование не натурных (агрессивных, токсичных) рабочих тел, а моделирующих их свойства заменителей. Примером того могут служить гидравлические исследования в диапазоне заданных чисел Рейнольдса.

Наконец, использование критериальных связей для описания явлений в теплотехнических объектах приводит на стадии обработки результатов измерений к получению более простых полуэмпирических или эмпирических формул, действительных для широкого диапазона изменения размерных величин. В инженерной практике широкое распространение получили критериальные формулы степенного вида: . Применение таких формул следует рассматривать как чисто расчетный прием использования простых выражений- В случаях рекомендаций этих формул необходимо указывать границы диапазонов зависимых критериев, в которых проводилась проверка постоянства констант А и а1, а2, . . . аn.

Разработка планов экспериментов позволяет избежать искажений результатов исследований, вызванных неконтролируемыми факторами, и

построить стратегию исследования, основанную на последовательности четких,

80