10298

торого номера N , члены последовательности xn будут находиться в

-окрестности точки a , а члены последовательности yn будут находиться в

-окрестности точки b , т.е.

что противоречит предположению xn yn .

Рис. 16.3

Заметим, что из строгого неравенства для членов последовательности следует, вообще говоря, нестрогое неравенство для их пределов: например,

числа в его десятичном представлении. Предел этой последовательности равен нулю так как

0 n 9 , n n n

т.е. она заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел равный нулю.

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен сумме (разности) их пределов

lim(xn yn ) a b.

n

110

что и доказывает указанное свойство. Здесь мы применили замечательное неравенство

| x y | | x | | y |,

которое для любого числа слагаемых формулируется так: абсолютная ве-

личина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.

Докажем это неравенство для двух слагаемых. Сложив очевидные неравенства

| x | x | x |

| y | y | y | ,

получим

(| x | | y |) x y | x | | y | .

Это двойное неравенство эквивалентно доказываемому неравенству.

4. Предел произведения двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен произведению их пределов

lim xn yn ab .

n

Это свойство следует из неравенств

| xn yn ab | | xn yn xnb xnb ab | | xn ( yn b) b(xn a) |

| xn | | yn b | | b | | xn a | M 2 | b | 2 1 .

5. Предел частного двух сходящихся к конечным пределам последовательностей при условии, что предел делителя отличен от нуля, равен частному их пределов

Доказательство следует из следующей оценки разности

6. Неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (см. рис.16.4). Невозрастающая и ограниченная снизу по-

следовательность имеет предел.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Рис. 16.4

Это свойство будем считать интуитивно ясным и поэтому ограничимся его геометрической иллюстрацией и простым примером. Например, после-

иследствие из свойства 3 всё и доказывают.

16.2.Второй замечательный предел.Применим понятие предела по-

следовательности для определения одного замечательного числа. Рассмотрим последовательность

112

Непосредственные вычисления нескольких первых членов последовательности показывают их ростс увеличением номера:

ничена сверху, например, xn 3, n . Согласно свойству 7 она имеет пре-

дел при n . Предел этой последовательности оказался числом иррациональным, но настолько важным для математики и её приложений, что получил собственное имя

e 2.718281828459045

По традиции предел

Покажем одну из задач, в которой возникает столь необычный предел. Пусть в банк помещён вклад a0 и по нему выплачивается k % в год. Через год величина вклада с учетом начисленных процентов будет следующей:

Это формула сложных процентов, её название сложилось исторически, а в самой формуле нет ничего «сложного». Однако начисление процентов по этой формуле имеет определённые неудобства: начисление процентов по вкладу производится только в конце года. А если вкладчик потребует свой вклад через полгода или через месяц? Нужно чаще начислять проценты. Так, если проценты начислять ежеквартально, то в конце года величина вклада будет равна

Было замечено, что в этом случае вклад растёт быстрее. Рассмотрим упрощённый пример. Пусть начальный вклад равен 100 р. при 100% годовых. Если процентные деньги прибавлять один раз в конце года, то вклад превратится в 200 р. Если это делать поквартально, то в конце первого квар-

тала вклад будет равен 100(1+0.25)=125 р., через полгода 125(1.25)=156.25

р., а в конце года 244.14 p . А если начисление процентов производить ещё

чаще? Например, при ежедневном начислении процентов каждая денежная единица будет умножаться на величину

При непрерывном начислении процентов, т.е. при n мы получаем

Таким образом, даже при таком «фантастическом» проценте (к =100%) в конце года вклад увеличится приблизительно в 2.7 раза.

16.3. Раскрытие неопределённостей. Приведенные выше свой-

ства пределов последовательностей позволяют находить предел, минуя обращение к его определению. Однако на этом пути возникают трудности, связанные с невозможностью непосредственного применения этих свойств. Поясним на примерах. Пусть требуется найти предел отношения двух последовательностей, сходящихся к бесконечности

n yn

Мы не можем непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей. Предварительно необходимо преобразовать это выражение к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи

114

,когда числитель и знаменатель представляют собой комбинации сте-



пенных функций, является деление того и другого на такую степень n , чтобы неопределенность исчезла. Например,

ность yn стремится к . Приведем пример раскрытия такой неопределенности:

115

17.1. Предел функции. Понятие предела функции служит для исследования функции в окрестностях точек, в которых непосредственное вычисление значения функции вызывает трудности, а также при больших значениях аргумента (в окрестности бесконечности). Интуитивно, предел функции – это определенное число (или бесконечность), к которому неограниченно приближается последовательность значений функции, когда последовательность значений аргумента стремится к некоторому числу или к бесконечности. Поэтому предел функции определим через уже изученное понятие предела последовательности.

Пределом функции y f (x) , когда x стремится к x0 , называется число A , если для любой последовательности значений аргумента {xn} , сходящейся к x0 , последовательность соответствующих значений функции yn f (xn ) стремится к A . Это определение как частный случай включает в себя возможность каждому из чисел x0 и A быть бесконечностью.

Согласно определению для вычисления предела функции требуется найти предел последовательности

lim f (xn ) ,

n

сходятся к разным пределам (включая случай, когда один из них не существует), то функция не имеет предела в данной точке. Например, для функ-

Рис. 17.1

В последнем примере видно, что для любой положительной последовательности xn 0 , стремящейся к нулю, соответствующая последователь-

ность значений функции стремится к 1, а для любой отрицательной последовательности xn 0 , стремящейся к нулю, соответствующая последова-

тельность значений функции сходится к -1. Это наводит на мысль определить так называемые односторонние пределы функции, а именно предел слева и предел справа.

Непосредственное вычисление пределов функций осуществляется на основе свойств пределов последовательностей, подробно изложенных в предыдущей лекции. В частности, предел суммы, разности, произведения, частного двух функций равен сумме, разности, произведению, частному их пределов (в случае частного предел знаменателя должен быть отличен от нуля). Эти свойства используются для раскрытия неопределенностей при нахождении предела функции аналогично тому, как это делалось при нахождении пределов последовательностей.

118

17.2. Первый замечательный предел.Продемонстрируем в качестве примера нахождение так называемого первого замечательного предела

значение аргумента x , измеряемое в радианах, будем считать положительным и малым. Рассмотрим часть дуги окружности AFC единичного радиуса.

Рис. 17.2

Площадь сегмента AFC меньше площади прямоугольника ABCD ,поэтому для них имеем неравенство:

Отсюда следует неравенство sin x x ( x 0 ). Полезно представить его графическую иллюстрацию (см. рис. 17.3). Применим это неравенство для оценки площади прямоугольника ABCD

119