10298
.pdfВ последнем случае, если дополнительно b1 b2 , то |
прямые L1 и L2 сов- |
|
падают. |
|
|
Пусть теперь прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями |
||
A1x B1 y C1 0 , |
A2 x B2 y C2 0 . |
(10.2) |
Сведём вычисление угла между прямыми к вычислению угла между нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым.
Поэтому, если угол между векторами N1 |
A1, B 1 и N2 A2 , B 2 ост- |
|||
рый, то (см. рис.10.3). |
|
|||
y |
|
L2 |
||
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
O |
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
Рис. 10.3 |
|
|
|
|
||
Если же угол между нормальными векторами тупой, то |
(см. |
|||||||
рис. 10.4). Поскольку cos cos , то |
cos | cos | . Таким образом, для |
|||||||
вычисления угла между прямыми получаем формулу |
|
|||||||
cos |
|
| A1 A2 B1B2 | |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 2 B 2 |
A 2 |
B 2 |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
70
Рис. 10.4
В частности:
L1 L2 A1 A2 B1B2 0 ;
L |
|
L |
A1 |
|
B1 |
. |
|
||||||
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
A2 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
, |
(10.3) |
|
A2 |
B2 |
C2 |
|||||
|
|
|
|
то эти прямые совпадают.
Обратим внимание на связь полученных условий взаимного расположения прямых с условиями разрешимости системы (10.2) двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы
|
A1 |
B1 |
A B A B . |
|||
|
A2 |
B2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
Если 0 , то, как известно, система имеет единственное решение, ко- |
||||||
торому соответствует точка пересечения прямых |
L1 и L2 . Если 0 , то |
выполнено условие параллельности этих прямых. При этом возможны два случая. В первом, когда выполнено условие (10.3), прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (координаты любой точки прямой дают решение системы). Отметим, что условие (10.3) означает, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы, т.е.
A1 |
B1 |
C1 |
A1 |
B1 |
|
1, |
||
rang |
|
|
|
rang |
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
и согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна. Во втором случае, когда в условии (10.3) не выполнено второе равенство, прямые параллельны, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, и система несовместна.
10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися пря-
мыми. Иногда при решении задач не следует спешить с нахождением точки пересечения двух прямых, решая систему уравнений (10.2), а лучше вос-
пользоваться понятием пучка прямых, проходящих через точку пересе-
чения этих прямых (в частности, когда нужно найти прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых, и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых
A1x B1 y C1 0 , |
A2 x B2 y C2 0 |
имеет вид
( A1x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0 . |
(10.4) |
Действительно, уравнение (10.4) – уравнение прямой. Так как точка пересечения этих прямых M 0 (x0 , y0 ) принадлежит каждой из этих прямых,
то ее координаты обращают в ноль обе скобки в (10.4), а, значит, при любомпрямая (10.4) проходит через точку M 0 .
10.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть требуется вычислить рас-
стояние отточки M 0 (x0 , y0 ) до прямой |
Ax By C 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
0 |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
Рис. 10.5 |
|
Пусть M1 (x1, y1 ) – проекция точки M 0 на прямую (см. рис. 10.5). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B .
72
d |
|
ПрN M1M |
0 |
|
|
N ,M1M 0 |
|
|
|
A( x0 x1 ) B( y0 |
y1 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
| N | |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax0 By0 Ax1 By1 |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как точка M1 (x1, y1 ) принадлежит прямой, то Ax1 By1 C , поэтому окончательно получим
|
|
d |
|
|
Ax0 By0 C |
|
. |
(10.5) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A2 B2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдём координаты точки M1 (x1, y1 ) . Для этого выразим вектор M1M 0 |
|||||||||||
через найденное |
|
расстояние d и |
единичный |
вектор N / | N |, нормальный |
|||||||
кпрямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M 0 |
d |
|
N . |
|
|
|
(10.6) |
||||
| N | |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формулы (10.5) видно, что знак проекции вектора M1M 0 определяется- |
|||||||||||
знаком выражения Ax0 By0 C , |
|
т.е., если |
Ax0 By0 C 0 , то |
M1M 0 N и в формуле (10.6) нужно взять знак плюс.
Пример.Найти проекцию точки M 0 (1,8) на прямую 3x 4 y 4 0 Вы-
числяем расстояние точки |
M 0 до прямой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
|
3 1 4 8 4 |
|
|
|
| 25 | |
5 . |
||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||
|
32 42 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Попутно выясняется, что M1M 0 N , поэтому формула (10.6) даёт равен- |
||||||||||||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|
{1 x ; 8 y } |
5 |
{3; 4}. |
|||||||
0 |
|
|
||||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, приравнивая координаты векторов, получаем координаты точки
M1(4, 4) (см. рис. 10.6).
73
3x - 4y +
4 = 0
Рис. 10.6
10.4. Линейные неравенства. В заключение этой лекции выясним геометрический смысл неравенства
Ax By C 0 . |
(10.7) Построим прямую |
Ax By C 0 |
(10.8) |
и нормальный к ней вектор N A, B .Нас интересует множество точек M (x, y) , координаты которых удовлетворяют неравенству (10.7). Возьмём на прямой (10.8) произвольную, но фиксированную точку M 0 ( x0 , y0 ) .
Ax+By+C=0
Рис. 10.7
Поскольку Ax0 By0 C 0 , то, выражая отсюда C и подставляя в (10.7), получим, что левая часть этого неравенства (10.7)равна скалярному произведению вектора N A, B на вектор M 0M
N , M 0M A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .
74
Итак, неравенству (10.7) удовлетворяют все точки плоскости, для которых угол между векторами N и M 0M – острый. Из рисунка 10.7 видно,
что все такие точки принадлежат одной полуплоскости. Чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей «отвечает» неравенству (10.7), достаточно проверить его выполнение для какой-нибудь одной точки из любой полуплоскости. Если координаты этой точки ему удовлетворяют, то и координаты всех точек полуплоскости, в которой выбрана «пробная» точка, будут его решениями, если нет – то нужная полуплоскость – другая.
75
Лекция 11. Плоскость
11.1. Различные виды уравнения плоскости. Перейдем теперь к изу-
чению уравнений плоскости в пространстве. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем плоскость П , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.
Рис. 11.1
Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) П и возьмем вектор, перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой плоскости. Пусть это будет вектор N A, B,C . Очевидно, что для произволь-
ной точки M (x, y, z) П |
векторы M0M x x0; y y0; z z0 и N пер- |
|
пендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю |
||
|
N , M 0M 0 |
|
или в координатах |
|
|
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 . |
(11.1) |
|
Это и есть уравнение плоскости |
П , проходящей через заданную |
точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно заданному вектору N A, B,C
.Раскрывая в (11.1) скобки, получим уравнение
Ax By Cz D 0 , |
(11.2) |
где для краткости обозначено D Ax0 |
By0 Cz0 . Уравнение (11.2) назы- |
вают общим уравнением плоскости. Обратим внимание, что уравнение плоскости является линейным уравнением относительно переменных x, y, z
, а коэффициенты при них – соответствующие координаты нормального вектора к этой плоскости.
76
Обратно, покажем, что уравнение вида (11.2) определяет плоскость и построим её. По данным числам A, B,C построим вектор N A, B,C и введем радиус-вектор r x, y, z . Тогда уравнение (11.2) можно представить в виде
N,r D 0 или | N | ПрN r D .
Отсюда
ПрN r | DN | ,
|
|
|
|
|
т.е. все радиус-векторы r |
|
x, y,z |
|
, координаты которых удовлетворяют |
уравнению (11.2), имеют одну и ту |
же проекцию на вектор N A, B,C . |
Это означает, что точки M (x, y, z) принадлежат плоскости, перпендикулярной вектору N A, B,C и отстоящей от начала координат на расстояние | p | , где
p |
D |
|
|
|
D |
|
. |
|
| N | |
|
|
|
|||||
A2 B2 C2 |
||||||||
|
|
|
|
|
Отсюда следует алгоритм построения плоскости по заданному уравнению (11.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора N A, B,C и отложим на ней от начала координат отрезок OP дли-
ной | p | в направлении вектора N A, B,C , если p 0 , или в противоположном направлении, если p 0 . Через конец этого отрезка P проводим перпендикулярно ему требуемую плоскость.
Рис. 11.2
Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Пусть один из коэффициентов перед переменными в уравнении (11.2) равен нулю (например, C 0 ). Тогда нормальный вектор этой плоскости
77
N {A, B,0} . Это значит, что он перпендикулярен оси O z , а плоскость параллельна этой оси
z
O
y x
Рис. 11.3
Теперь пусть два каких-нибудь коэффициента перед переменными в уравнении (11.2) равны нулю (например, A B 0 ). Тогда нормальный
вектор N {0,0,C} перпендикулярен плоскости xO y , а плоскость параллельна этой координатной плоскости
z
O
y
x
Рис. 11.4
Рассмотрим ещё случай, когда в уравнении (11.2) D 0 . Это означает, что точка (0,0,0) принадлежит плоскости
Ax By Cz 0
или, другими словами, эта плоскость проходит через начало координат. Для наглядного представления расположения этой плоскости найдем
её следы, т.е. линии пересечения с координатными плоскостями(см. рис.
11.5).
78
Ax By 0 |
, |
Ax Cz 0 |
, |
By Cz 0 |
. |
|||
|
z 0 |
|
y 0 |
|
x 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
By+C
z=0
Ax+By=0
Рис. 11.5
Из общего уравнения плоскости легко получить так называемое урав-
нение плоскости в отрезках
|
x |
|
y |
|
z |
1, |
(11.3) |
|
a |
b |
c |
||||
|
|
|
|
|
|||
где (a,0,0) , |
(0,b,0) |
и (0,0,c) – точки пересечения плоскости с координат- |
ными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax By Cz D и далее,
предполагая, что D 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на D , получим уравнение (11.3), в
котором a DA , b DB и c CD величины отрезков, которые плоскость
«отрезает» от осей координат (см. рис. 11.6).
z
c
b
y
x a
Рис. 11.6
79