10298

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) – произ-

вольная точка плоскости П .

M2

M

M3

Рис. 11.7

Тогда три вектора M1M , M1M 2 , M1M 3 будут компланарными и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его к линейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).

11.2. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями(см. рис. 11.8).

A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 .

Рис. 11.8

80

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностидвух плоскостейимеют вид

П1 П2 A1 A2 B1B2 С1С2 0 ;

П1 П2 A1 B1 С1 . A2 B2 С2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие

пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух задан-

ных плоскостей.В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

( A1x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 . (11.5)

Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 , об-

ращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

81

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние отточки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .

Рис. 11.9

Пусть M1 (x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 наданную плоскость(см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B,C :

Найдём координаты точки M1 (x1, y1, z1 ) . Для этого выразим вектор

M1M 0 через найденное расстояние d и единичный вектор | N1 | N , нормаль-

ный кплоскости

| N |

82

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

Отсюда находим M1 ( 1.5,1,0.5) .

83

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном про-

странстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой и

S {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый направляю-

щим вектором этой прямой

Рис. 12.1

Возьмем на прямой L произвольную точку M (x, y, z) . Рассмотрим

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые пара-

метрические уравнения прямой в пространстве

Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t 0 урав-

нения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

84

Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим

уравнениям прямой в пространстве

Заметим, чтона плоскости xOy каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором S {m, n} , имеет вид

x x0 y y0 .(12.4) m n

Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них(12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки пря-

мой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией

прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид

85

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2

не параллельны. Пусть, например,

Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как канонические уравнения этой прямой. В частности, точка ( , ,0) лежит на

этой прямой, а S { , ,1} – её направляющий вектор.

Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 , за-

данных уравнениями (12.5)

а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z 0 ).

Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Очевидно, что направляющим

12.2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

Обозначим через M 2 (x2 , y2 , z2 ) проекцию точки M 0 на данную пря-

мую (см. рис. 12.5). Напомним, что проекцией точки M на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей

через точку M 0 перпендикулярно этой оси.

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем вектор M1M 2 , который коллинеарен вектору S {m, n, p} и имеет длину, рав-

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

88

d | M1M0 M1M2 | | M1M0 M1M0 , S S | . | S |2

Пример. Вычислить расстояние точки M 0 (2, 1,3) до прямой

x y 7 z 2 3 5 2

и найти её проекциюна эту прямую.

Выберем точку на прямой M1 (0, 7, 2) , тогда M1M 0 {2,6,1}. Вычислим скалярное произведение M1M 0 , S 38 , квадрат модуля | S |2 38

В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть двепрямые L1 и L2

заданы каноническими уравнениями

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направля-

ющие векторы этих прямых S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2} не коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих прямых, и, кроме того, точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) различные (см. рис.12.6).

89