10298

Ft ( (t)) F ( (t)) (t) f ( (t)) (t) .

Применяя формулу Ньютона – Лейбница к обоим интегралам в первом из

b

равенств (34.1), получим, с одной стороны, f (x)d x F (b) F (a) , а с дру-

a

гой

f ( (t)) (t)d t F ( (t) F ( ( )) F ( ( )) F (b) F (a) .

Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределённом интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведёт к упрощению: какую замену переменной следует применять –это мо-

жет подсказать лишь опыт.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным

Опыт вычисления неопределённых интегралов «подсказывает» замену переменной x(t) a sin t . Она удовлетворяет перечисленным выше условиям:

34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Аналогом криволинейной трапеции в полярной системе координат будет криволинейный сектор. Это фигура, ограниченная лучами , и кривой AB , заданной уравнением ( ) , определяющим для каждого

240

значения угла расстояние от начала координат до соответствующей точки кривой AB (см. рис. 34.3).

Рис. 34.3

Предполагается, что функция ( ) непрерывна в промежутке, . Будем сначала решать задачу вычисления площади криволинейного сектора OAB приближённо. Для этого разобьём отрезок , на n частей

1 2 n n 1 .

Тогда «большой» криволинейный сектор разобьётся на n «узеньких» секторов. Обозначим k k 1 k . Заменим каждый «узенький» криволи-

нейный сектор круговым сектором,радиус которого примем равным ( k ) , k [ k , k 1] . Площадь кругового сектора радиуса R и с центральным углом равна

Sсект. 12 R2 .

Поэтому площадь сектора OAB приближённо выражается интегральной суммой

S1 n 2 ( k ) k .

2 k 1

Переходя к пределу при n , причём так, что длина максимального из

частичных отрезков max( k ) стремится к нулю, получаем

k

241

Замечание. Если начало координат находится внутри области, ограниченной замкнутой кривой ( ) , 0 2 , то площадь вычисляется по

формуле

S 1 2 2 ( )d .

2 0

Пример 1. Вычислить площадь круга, граница которого задана уравнением x2 y2 R2 . Ясно, что достаточно найти площадь четверти круга

(см. рис.34.4).

Рис. 34.4

Если вычисленияпроводить в декартовой системе координат, то получается «плохой» интеграл

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную одним витком спирали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярнойсистеме координат её уравнение имеет вид a , a 0, a const

. Один виток спирали получается при повороте луча на угол 2 .Искомая площадь выражается интегралом

242

Рис. 34.5

34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, за-

данными параметрически. Интерпретируя определённый интеграл площадью криволинейной трапеции, мы предполагали, что кривая y f (x) за-

дана в явном виде. А как быть, если границы фигуры заданы параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде – это частный случай её параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :

В выборе параметра мы располагаем большой свободой. Например, при вычислении площади эллипса мы представляли его уравнение в параметрическом виде следующим образом:

Такимобразом, замена переменной в определённом интеграле – это, по сути, переход к другой параметризации кривой y f (x) . Поэтому, если часть

кривой, площадь под которой нас интересует, задана параметрически, то применяется формула

Пример 3. Найти площадь, ограниченную астроидой, заданной уравнениями

243

Астроиду можно рассматривать как траекторию фиксированной точки окружности, катящейся изнутри по окружности радиуса a и имеющей радиус a / 4 (см. рис. 34.6). В силу симметрии фигуры, вычисляем четвёртую часть её площади

Y t=pi/2

Рис. 34.6

После применения формул понижения степени тригонометрических функций получим

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.

244

35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a,b] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей и

через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.

«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен

сумме объёмов таких цилиндров

n

V S (xk ) xk

k 1

Точное значение объёма получим, увеличивая число n точек деления от-

резка [ a,b] . При этом длина наибольшего из отрезков max( xk ) должна

k

стремиться к нулю, т.е. находим предел интегральной суммы

245

Рис. 35.2

Через фиксированную точку x 0, R проводим плоскость, перпендику-

лярно оси Ox . Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого

оси Ox . Найдём объём полученного тела вращения.

Рис. 35.3

Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого

246

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вращая относительно оси Ox окружность x2 ( y a)2 r2

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при враще-

мы предполагали, что подынтегральная функция f (x) непрерывна, а промежуток интегрирования [ a,b] конечной длины. Распространим понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть функция

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной

(см. рис. 35.5).

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначеобстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

1 dx (35.2)

0 x

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу

1 dx

x .

248

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

Если в промежутке [ a,b] функция f (x) непрерывна, за исключе-

нием крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ), то не-

собственный интегралс бесконечными разрывами определяется как предел

В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточно

249