10797
.pdf
Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью – его можно сформировать из прямых
(рис. 3.33).
Рис. 3.33
Гиперболический параболоид с уравнением (3.8) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями
α |
|
x |
+ |
z |
|
|
= 2β z |
|
α |
|
x |
|
|
|
− |
y |
|
|
= 2β z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||
|
β |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= α |
|
|
β |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= α |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||||
Поверхность гиперболического параболоида можно также получить «механическим» образом. Пусть
одна парабола z = x2 расположена в плоскости xOz , а другая парабола z = − y2 – в перпендикулярной ей
90
плоскости yOz . «Заставим» теперь нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид (рис. 3.34).
Рис. 3.34
3.10. Завершим обзор поверхностей второго порядка полной их классификацией. Всякое уравнение второго порядка в пространстве с помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведено к одному из видов, соответствующих рассмотренным поверхностям:
91
1) x2 + y2 + z2 a2 b2 c2
2) x2 + y2 + z2 a2 b2 c2
3) x2 + y2 + z2 a2 b2 c2
4) x2 + y2 − z2 a2 b2 c2
5) x2 + y2 − z2 a2 b2 c2
6)x2 + y2 − z2 a2 b2 c2
=1 (эллипсоид)
=0 (точка)
=−1 (мнимый эллипсоид)
=1 (однополостный гиперболоид)
=−1 (двуполостный гиперболоид)
=0 (конус)
7) |
2z = |
x2 |
+ |
|
y2 |
(эллиптический параболоид) |
||
p |
q |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
8) |
2z = |
x2 |
− |
y2 |
|
(гиперболический параболоид) |
||
|
|
|||||||
pq
9)- 17) уравнения кривых второго порядка задают в пространстве девять видов цилиндров второго порядка.
92
3.11. Наиболее интересные задачи, связанные с разобранными вопросами, - это получение формы тел при пересечении нескольких поверхностей. Рассмотрим для примера процесс построения тела, сформированного пересечением поверхностей, заданных уравнениями
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1 |
(3.9) |
|
9 |
|
|
||||
|
4 |
4 |
|
|
|||
и |
x = 0,9( y2 + z2 ) . |
(3.10) |
|||||
Уравнение (3.9) определяет в пространстве эллипсоид вращения с полуосями a = 3, b = c = 2 . Его общий вид изображен на рисунке 3.19. Уравнение (3.10) задаёт параболоид вращения, который, в отличие от изображённого на рисунке 3.29, симметричен относительно оси Ox . Здесь параболы получаются в сечениях координатными плоскостями xOz и xOy
(рис. 3.35), а в сечениях плоскостями x = h , если h > 0 - окружности (рис. 3.36).
Поскольку ось Ox является осью вращения и для эллипсоида, то его сечение плоскостями x = h , если h > 0 , тоже являются окружностями. Можно найти значение h , при котором радиусы окружностей параболоида и эллипсоида совпадут, то есть поверхности пересекутся. Для этого выразим из (3.10)
y2 + z2 = 10 x и подставим в (3.9): 2x2 + 5x −18 = 0 .
9
Из двух решений квадратного уравнения оставляем положительное x = 2 .
93
Рис. 3.35
Рис. 3.36
94
Итак, эллипсоид и параболоид пересекутся при
x = 2 по окружности с уравнением |
y2 + z2 = |
20 |
. |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
Можно изобразить пересечение поверхностей в |
|||||||
координатной плоскости xOz (рис. 3.37) – |
это парабола |
||||||
с уравнением x = 0,9z2 и эллипс |
x2 |
+ |
z2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
4 |
|
|
|
|
||
Рис. 3.37
Обе поверхности можно теперь построить в одних координатных осях (рис. 3.38) и изобразить вид тела, получающегося при их пересечении (рис. 3.39).
Перейдём к следующей задаче. Построим тело на пересечении параболоида вращения с уравнением
4z = x2 + y2 , параболического цилиндра y = 0,5x2 , координатной плоскости xOy , а также плоскости y = 2 . Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 3.40, рис. 3.41
95
Рис. 3.38
Рис. 3.39
96
Рис. 3.40
Рис. 3.41
97
Рис. 3.42
На пересечении поверхностей прорисовывается тело (рис. 3.42), форму которого можно уточнить,
рассмотрев |
сечение |
плоскостями z = 0 |
и |
y = 2 . |
||
Заметим, что точки |
M (2; 2;0) , N (−2; 2;0) и P(0; 2;0) |
|||||
являются |
проекциями |
на |
плоскость |
xOy |
точек |
|
M ′(2; 2; 2) , |
N ′(−2; 2; 2) |
и |
P′(0; 2;1) , принадлежащих |
|||
параболоиду (рис. 3.43).
Ещё один пример - задача получения формы тела на пересечении двух параболических цилиндров с
уравнениями |
z = 4 − y2 и |
y = |
x2 |
, срезанных |
|
||||
|
|
2 |
|
|
координатной плоскостью xOy .
98
Рис. 3.43
Образующие первого цилиндра параллельны оси Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы,
получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 3.44).. В координатной плоскости
xOy парабола |
y = |
x2 |
|
срезается |
прямой |
x = 2 , |
|
||||||
|
2 |
|
|
N (−2; 2;0) . В |
||
завершаясь точками M (2; 2;0) и |
||||||
координатной |
плоскости |
yOz |
в |
сечении |
||
получающегося тела остаётся часть параболы |
z = 4 − y2 |
от вершины K (0;0; 4) до точки |
P(0; 2;0) . |
Окончательную форму тела изображаем рисунком 3.45.
99