10797

быть меньше расстояния между точками F1 и F2 : MF1 + MF2 ³ F1F2 . Будем предполагать, что это неравенство строгое, то есть 2a > 2c , или a > c .

Для получения уравнения необходима система координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через точки F1 и F2 , считая её

направленной от F1 к F2 ; начало координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 2.4).

20

В этой прямоугольной декартовой системе

эллипса, нужно в записи его определения заменить расстояния MF1 и MF2 между точками их выражениями через координаты:

( x + c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 = 2a .

По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса. Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Но для практического использования в таком виде уравнение неудобно. Попробуем преобразовать его. Для этого сначала уединим в уравнении первый радикал

( x + c)2 + y2 = 2a − ( x − c)2 + y2 .

Возведём в квадрат обе части полученного равенства

( x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,

раскроем скобки и после сокращения получим

a( x − c)2 + y2 = a2 − cx .

21

Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём

a2 x2 − 2a2cx + a2c2 + a2 y2 = a4 − 2a2cx + c2 x2 ,

откуда (a2 − c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ) .

Мы отмечали, что a > c , значит a2 − c2 > 0 , и можно ввести в рассмотрение новую величину

b = a2 − c2 , чтобы придать уравнению другой вид:

b2 x2 + a2 y2 = a2b2 .

Это уравнение называется каноническим уравнением

эллипса.

Особенностью уравнения является то, что оно содержит x и y только в чётных степенях, поэтому

если точка ( x, y ) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки ( x; − y ) , (−x; y ) , (−x, − y ) .

Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и O y , также относительно начала координат.

Оси симметрии эллипса называются его осями, а точка пересечения осей – центром эллипса.

22

Точки, в которых эллипс пересекает свои оси,

называть осями эллипса). Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой четверти график

a

относительно осей координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунках 2.3, 2.4 и 2.5. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат

23

внутри прямоугольника, образованного прямыми x = a , x = −a , y = b , y = −b .

Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение ε расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси называется

превращается в окружность с уравнением x2 + y2 = a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше

отношение b и тем больше эллипс вытянут. a

Уравнение эллипса (2.1), как и уравнение окружности, является уравнением второго порядка. Предполагая в дальнейшем использование других видов кривых второго порядка, перейдём к их рассмотрению.

2.3. Логика рассуждений для изучения новой линии будет прежней. Начинаем с определения, не зависящего от системы координат.

Пусть даны точки F1 и F2 на плоскости. Множество всех точек M , разность расстояний от которых до F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой.

24

Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2

F2 M − F1M = 2a (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Из рассмотрения суммы сторон треугольника

Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис.2.7). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а координаты фокусов будут соответственно: F1 (−c;0) , F2 (c;0) .

25

Рис. 2.7

Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями через координаты, получим

( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = ±2a .

Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения

( x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,

раскроем скобки и после сокращения получим

xc − a2 = ±a( x − c)2 + y2 .

Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:

(c2 − a2 ) x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ) .

26

Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Так как уравнение (2.2) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно

начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.

Положив y = 0 в уравнении (2.2), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (−a;0) , A2 (a;0) , которые называются вершинами гиперболы.

соединяющий точки B1 (0; −b) и B2 (0;b) , называется

мнимой осью (число b – мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 2.8).

27

Рис. 2.8

Из уравнения (2.2) следует, что если x < a , то y не имеет действительных значений, то есть, у гиперболы нет точек с абсциссами −a < x < a . Должно

расположены справа от прямой x = a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x = −a , образуя левую ветвь.

неограниченная правая ветвь. При x → −∞ от значения x = −a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис.2.9).

28

Рис. 2.9

Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к нулю (рис. 2.10).

Рис. 2.10

29