10797
.pdf
Аналогично, после выполнения поворота системы координат на угол j = 900 уравнение
|
y2 |
− |
x2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
b2 |
a2 |
|
|
|
|||
|
|
|
x′2 |
|
y′2 |
|
||
в новой системе приобретёт вид |
|
− |
= 1. |
|||||
|
b2 |
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Оно определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется
сопряжённой по отношению к гиперболе (2.2). Асимптоты у этих гипербол одни и те же (рис. 2.23).
Рис. 2.23
50
Для знакомого уравнения параболы y = x2 выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 2.24) и
получим в новых координатах уравнение xў= yў2 ,
соответствующее тому выбору осей, который использовался ранее при выводе канонического уравнения.
Рис. 2.24
Для |
приведения уравнения |
xy = 3 |
к |
каноническому виду рассмотрим поворот на угол
j = 450 . |
Подставив |
в |
формулы |
(2.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
cos 450 = sin 450 = |
|
2 |
и |
проделав соответствующие |
||||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
преобразования, получим в новой системе координат каноническое уравнение равносторонней гиперболы
xў2 - yў2 = 1. Её асимптотами являются исходные оси
6 6
координат O x и Oy (рис. 2.25).
51
Рис. 2.25
После проделанной работы мне захотелось понять, имеет ли какую-либо математическую трактовку моё интуитивное представление об эллипсе как о «смятой» окружности. Можно ли деформировать кривые, описывая это формулами?
Все рассмотренные ранее преобразования не искажают фигуру. А мне нужно было сжать окружность. Для этого могли помочь преобразования, не сохраняющие углы и расстояния между точками. В частности, формулами
мп xў= x
п
н (2.9)
ппоyў= ky
52
при 0 < k < 1 задаётся сжатие, а при k > 1 - растяжение. Прямолинейность при этом сохраняется. Например, после преобразования
м |
ў |
|
|
п |
x = x |
||
п |
|
|
|
п |
|
|
|
н |
|
1 |
|
п |
ў |
y |
|
пy = |
|
||
п |
|
2 |
|
о |
|
|
|
уравнение 2x + y = 6 приобретает вид xў+ yў= 3 . |
И |
|||||||
то, и другое — уравнения прямой. |
|
|||||||
Применим преобразование сжатия к окружности |
||||||||
с уравнением |
x2 + y2 = R2 , подставив в него x и |
y , |
||||||
выраженные из формул (2.9): |
|
|
|
|||||
|
|
xў2 + |
|
yў2 |
= R2 . |
|
||
|
|
|
k 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xў2 |
|
yў2 |
|
|||
Получим |
|
|
+ |
|
|
= 1. |
|
|
|
R2 |
k 2 R2 |
|
|||||
Обозначив a = R и b = kR , приходим в новых координатах к каноническому уравнению эллипса
xў2 |
+ |
yў2 |
= 1 (рис. 2.26). Таким образом, мои |
|
|
|
|||
a2 |
b2 |
|||
|
|
предположения подтвердились.
Аналогичным преобразованием можно любой эллипс растянуть в окружность.
53
Рис. 2.26
54
ГЛАВА 3
БУТЫЛКА НА ЯЗЫКЕ ФОРМУЛ или
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1. Следующий шаг к решению исходной задачи представляет собой переход к аналитической геометрии в пространстве. Если здесь задана прямоугольная декартова система координат, то положение любой точки однозначно определяется тремя числами - её координатами. Начнём с самого простого: рассмотрим линейное уравнение, включающее три текущие координаты x y и z :
|
Ax + By + Cz + D = 0 . |
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
Оно задаёт в пространстве плоскость и называется
общим уравнением плоскости. Коэффициенты уравнения представляют собой координаты вектора
{ |
} |
|
|
N = A; B;C |
, |
перпендикулярного к плоскости и |
|
называемого |
вектором нормали |
к ней. Если все |
|
коэффициенты |
уравнения (3.1) |
ненулевые, плоскость |
|
пересекается со всеми осями координат. |
Точку |
пересечения плоскости с осью Ox обозначим |
M x . Её |
координаты |
найдём, |
приняв |
y = z = 0 |
в |
уравнении |
|||||
(3.1): M x (- |
D |
;0;0) . Аналогично точки пересечения с |
||||||||
|
||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другими осями - это |
M y (0;- |
|
D |
;0) и |
M z |
(0;0;- |
D |
) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
||
(рис. 3.1).
55
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда в уравнении (3.1) |
||||||||
коэффициент |
A = 0 . |
Тогда |
|
вектор |
нормали |
||||
N = |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
0; B;C |
|
оказывается перпендикулярен оси Ox , а |
|||||||
плоскость |
By + Cz + D = 0 , тем самым, - параллельна |
||||||||
этой оси. Аналогично – |
при нулевых коэффициентах B |
||||||||
или C (рис.3.2). |
|
|
|
|
|
||||
|
Если равны нулю два коэффициента перед |
||||||||
переменными уравнения (3.1), например, |
A = B = 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
N = |
{ |
} |
|
|
то |
вектор |
|
нормали |
0; 0;C |
перпендикулярен |
||||
координатной |
плоскости |
xOy , |
а |
сама |
плоскость |
||||
Cz + D = 0 – параллельна ей. Аналогично – при двух других нулевых коэффициентах перед переменными
(рис. 3.3).
56
Рис. 3.2
57
Рис. 3.3
58
Если в уравнении (3.1) D = 0 , то оно задаёт плоскость, проходящую через начало координат. Для её построения достаточно рассмотреть прямые, которые получаются при пересечении плоскости с координатными плоскостями (рис.3.4).
Рис. 3.4
Допустим, что нулевыми оказываются коэффициент при одной из переменных и свободный коэффициент. Например, A = D = 0 . В этом случае уравнение (3.1) приобретает вид By + Cz = 0 и задаёт
плоскость, проходящую через ось Ox . Для её построения достаточно добавить ещё одну прямую – например, линию пересечения плоскости с координатной плоскостью yOz . При B = D = 0 или
C = D = 0 ситуации аналогичны (рис. 3.5).
59