10797

Рис. 1.4

Рис. 1.5

10

Рис. 1.6

Рис. 1.7

11

Далее каждый пространственный слой, отражённый на рисунке 1.5, заменяется соответствующим цилиндром, формируя «ступенчатое тело» (рис. 1.7). Его объём получается при суммировании объёмов маленьких цилиндров:

υn = π f 2 (ξ1 ) x1 + π f 2 (ξ2 ) x2 + ... + π f 2 (ξn ) xn .

Объём υn ступенчатого тела даёт определённое приближение объёма υ(V ) тела вращения. Переходя при dn → 0 к пределу последовательности объёмов ступенчатых тел, получим точное значение объёма.

объём υ(V ) можно записать определённым интегралом

b

υ(V ) = π ∫ f 2 (x)dx

a

1.4. Итак, определённый интеграл позволяет вычислять объём тел вращения. Однако бутылка, которую я рассматривал, не относится к такому виду геометрических тел: её сечение не круглое, а овальное, – так задумал отец (рис.1.8). В связи с этим возникли дополнительные нюансы. Я стал осознавать, что необходимо учиться вычислять объём в более сложных ситуациях: когда сечение тела имеет произвольную форму. Естественно было для этой задачи использовать основной принцип формирования определённого интеграла – составление интегральных сумм.

12

В качестве пространственного тела B теперь будем рассматривать проектируемую бутылку. Введём

Каждой точке zi соответствует плоскость, параллельная координатной плоскости xOy , уравнение

промежуточную точку ξi . Сечение бутылки плоскостью z = ξi будем обозначать Di , а его площадь - Q(Di ) . Отличие от прежней задачи состоит в том, что область Di - не круг, а фигура произвольной формы (рис. 1.10).

соответственно, υ(Bi ) . Произведение площади основания на высоту даёт υ(Bi ) = Q(Di ) zi .

Исходное пространственное тело B заменяется при этом «ступенчатым телом» (рис.1.11), объём υn которого получается при суммировании объёмов маленьких цилиндров: υn = υ(B1 ) + υ(B2 ) + ... + υ (Bn ) = = Q(D1 ) z1 + Q(D2 ) z2 + ... + Q(Dn ) zn

13

Рис. 1.8

Рис. 1.9

14

Рис. 1.10

Рис. 1.11

15

Чем меньше будет величина отрезков zi , тем лучше υn приблизит искомый объём. Точное значение υ(B) объёма бутылки получим при рассмотрении предела последовательности объёмов υn ступенчатых тел, если n → ∞ , а диаметр разбиения dn → 0 .

Поскольку сечения меняются, имея различный вид в зависимости от высоты, меняется и их площадь. Тем самым, можно рассмотреть функцию Q(z) ,

i=1

Q(z), а объём υ(B) записывается определённым интегралом от неё:

d

υ(B) = ∫Q(z)d z .

c

Таким образом, обоснована формула, которую можно использовать для определения объёма проектируемой бутылки с произвольной формой сечений.

Бутылка имеет овальное сечение, меняющееся в зависимости от высоты. Для дальнейших вычислений необходимо было ввести параметры, характеризующие конкретную форму сечений и определить зависимость этих параметров от высоты бутылки. То есть требовался язык описания овальных форм математическими формулами.

16

ГЛАВА 2

КРИВЫЕ - УРАВНЕНИЯМИ или

АППАРАТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Мы пришли к тому, что нужно математически задать сечение бутылки. Для этого, в первую очередь, нужно конкретизировать его форму. Я предложил отцу сделать сечение в виде одной из кривых второго порядка – эллипса.

До изучения основ аналитической геометрии на первом курсе я представлял эллипс как овал или сплющенную окружность. Теперь мне предстояло математически описать данную фигуру. Математическое описание означает описание формулами. Как из геометрических объектов могут появиться формулы?

соответствующую этому уравнению прямую на плоскости через её точки пересечения с осями координат (рис. 2.1). По существу, нам уже частично привито аналитическое восприятие некоторых геометрических объектов. При этом работает сопоставление их с записями уравнений, в которых неизвестные x и y означают координаты точек,

принадлежащих рассматриваемому объекту.

Вообще, чтобы математически описать геометрический объект, нужно сначала чётко выразить наше представление о нём. То есть начинать нужно с его определения.

17

Рис. 2.1

2.1. Например, окружность определяют как множество точек, равноудалённых от заданной точки, которая называется центром. Отсюда непосредственно получается способ построения: если конец нерастяжимой нити длины R закрепить в точке O , натянуть нить остриём карандаша, то при движении получится окружность радиуса R с центром в точке O .

Чтобы получить уравнение, надо ввести какуюлибо систему координат и найти соотношение для координат точек, лежащих на окружности. Произвольную точку окружности обозначим M . Начало декартовой системы координат расположим в центре окружности. Координаты точки M в этой системе координат обозначим x и y . Именно эти

переменные должны войти в уравнение.

Согласно определению окружности, OM = R . Из прямоугольного треугольника, в котором OM является гипотенузой (рис. 2.2), получаем

x2 + y2 = R2 . Видим, что это уравнение второго порядка, поскольку в него входят вторые степени текущих координат x и y .

18

Рис. 2.2

2.2. Двигаясь логически к математическому описанию эллипса, нужно рассмотреть его определение. Здесь исходными являются уже две точки F1 и F2 на

плоскости. Множество всех точек M плоскости, сумма расстояний от которых до F1 и F2 есть величина постоянная, и называется эллипсом.

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Постоянную сумму длин F1M и F2 M принято обозначать через 2a . Таким образом, для любой точки M эллипса выполняется равенство F1M + F2 M = 2a .

Из определения эллипса непосредственно вытекает способ его построения: если концы нерастяжимой нити длины 2a закрепить в точках F1 и

F2 , затем натянуть нить остриём карандаша, то при

движении острия оно будет вычерчивать выпуклую замкнутую линию (овал) (рис. 2.3).

Расстояние F1F2 между фокусами обозначается 2c . Сумма расстояний от произвольной точки M до двух фиксированных точек F1 и F2 , очевидно, не может

19