Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

= φ( − , − )

Пример 1.3. Найти общее решение уравнения

+ ( − √2 − 2) = 0.

Решение:

Пример 1.4. Найти общий интеграл уравнения

Будем решать систему методом подстановки:

11

1 − 22 = 1 + 2

постоянная, то домножив ее на -1, получим произвольную постоянную, следовательно

что определяемая этим уравнением поверхность,

проходит через окружность

2 + 2 = 2, = 0.

12

= 2

уравнении сделаем обратную замену: 2 + 2 + 2 = 2

-сфера с центром в начале координат и радиусом R.

Задачи для самостоятельного решения:

Найти общий интеграл уравнения:

1.+ + ( − ) + ( − ) = 0

2.+ (1 − 2) + ( − ) + ( − ) = 0

3.( 2 + 2) + 2 = 0

4.+ + =

5.2 + =

13

Найти общий интеграл уравнения и его частное решение, предполагая, что определяемая им поверхность проходит через заданную линию:

6.+ = 0, 2 + 2 = 2, =

7.+ = −2 , 2 + 2 = 16, = 3

8.1 + 1 = 4, 2 = , = 0

9.2 + = , 2 = , = 0

10.2 + = 2, − = 0, − = 0

14

2. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1Тип и канонический вид уравнения.

Пусть (, ) - функция двух независимых переменных и пусть 11, 12, 22, , , , – заданные функции переменных x и y.

Дифференциальное уравнение вида:

11 + 212 + 22 + + + = ( , )

(2.1)

называется линейным уравнением в частных производных второго порядка.

Если функции 11, 12, 22, , , , зависят не только от переменных x и y, но и от искомой функции

и, то уравнение (2.1) называется квазилинейным.

называется характеристическим. Кривые, которые описываются уравнением φ(, ) = С, где φ – решение

15

уравнения (2.2), называются характеристиками

уравнения (2.1).

Классификация уравнений второго порядка

Тип уравнения (2.1) определяется знаком выражения

∆= 122 − 11 22:

1) Если ∆> 0 в некоторой области D, то

уравнение (2.1) относится в этой области к уравнениям

гиперболического типа. В этом случае

характеристическое уравнение (2.2) эквивалентно двум уравнениям:

этих уравнений являются вещественными и

приводит уравнение гиперболического типа к каноническому виду:

16

уравнение (2.1) относится в этой области к уравнениям

параболического типа. В этом случае уравнения (2.3) и (2.4) совпадают между собой. Общий интеграл

φ( , ) = 1 определяет одно семейство кривых.

Замена переменных φ( , ) = ξ, ψ( , ) = η, где

ψ( , ) − произвольная, дважды дифференцируемая,

не выражающаяся через φ( , ) функция, приводит уравнение параболического типа к каноническому виду:

уравнение (2.1) относится в этой области к уравнениям

комплексно – сопряженным и определяет два

части любого из двух общих интегралов уравнения

17

характеристик, приводит уравнение эллиптического типа к каноническому виду:

ξξ + ηη = 1 ξ + 1 η + 1 + 1(2.7)

Методика приведения уравнения в частных производных к каноническому виду:

1)Определяем коэффициенты 11, 12, 22

2)Вычисляем выражение ∆= 122 − 11 22 , делаем вывод о типе уравнения.

3)Находим общие интегралы уравнения

(2.2)

4) В уравнении (2.1) делаем замену переменных, используя при этом правила дифференцирования сложной функции:

= ξ ξ + η η, = ξ ξ + η η= ξ 2 ξξ + 2ξ η ξη + η 2 ηη + ξ ξ + η η

= ξ ξ ξξ + (ξ η + ξ η ) ξη + η η ηη + ξ ξ + η η

= ξ 2 ξξ + 2ξ η ξη + η 2 ηη + ξ ξ + η η

18

5) Подставим полученные производные в уравнение (2.1).

Уравнение (2.1) может изменять свой тип при переходе из одной области в другую.

Если же коэффициенты уравнения постоянны, то его тип остается неизменным во всей плоскости ОХУ.

В этом случае возможны дальнейшие упрощения уравнения – после его приведения к каноническому виду.

В частности, в уравнениях гиперболического типа (2.5) и эллиптического типа (2.7) можно избавиться от первых производных, используя подстановку (ξ, η) = ν(ξ, η) αξ+βη и выбирая надлежащим образом параметры α и β.

В уравнениях параболического типа подобным образом удается обратить в нуль коэффициенты при одной из производных первого порядка и при самой искомой функции.

Пример 2.1. Привести к каноническому виду уравнение

+ = 0.

Решение:1. 11 = 1, 12 = 0, 22 = 1

19