Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

где ( , , ) - заданная непрерывная на S функция,

называется задачей Дирихле.

Рассмотрим на плоскости ОХУ круг с центром в начале координат радиусаR. Пусть на его окружности задана некоторая функция = (φ), гдеφ - полярный угол. Найдем функцию ( , φ) , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

Решение задачи можно найти методом разделения

переменных (методом Фурье), полагая

= Ф(φ) ∙ ( ). Подставляя эту функцию в уравнение

(2.24), получим

2Ф(φ) ∙ "(r)+rФ(φ)∙R'(r)+Ф"(φ) ∙ ( ) = 0 или

Ф"(φ) = − 2"( )+ ′( ) = − 2 . Ф(φ) ( )

Левая часть этого равенства не зависит отr, а

правая от φ, следовательно, они равны постоянному

50

числу, которое обозначили через − 2. Таким образом,

находим два дифференциальных уравнения

Второе уравнение является уравнением Эйлера.

Его решение найдем в виде ( ) = . Подставив выписанную функцию в уравнение (2.26), найдем два частных линейно независимых решении λ и −λ. Тогда общее решение уравнения (2.26) запишется в виде =

уравнения при любом значенииλ, отличном от нуля.

Еслиλ = 0, то уравнения (2.25) и (2.26) принимают вид

Φ(φ)=0, rR( ) + ′( ) = 0.

Откуда получаем 0 = ( 0 + 0φ)( 0 + 0 ln ). Так как решение должно быть периодической

функцией от φ с наименьшим положительным периодом 2π , то в найденном выражении для

51

0 0 = 0 . Далее функция ( , φ) должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому 0 = 0и λ = 0.

Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (2.27). Сумма должна быть периодической функцией от φ. Для этого λ должно принимать целые значения. Итак,

( , φ) = 20 + ∑∞=1( cos φ + sin φ) (2.28)

Постоянные и находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для ( , φ) значение = , получим

(φ) = 20 + ∑∞=1( cos φ + sin φ) .

Найденная сумма является рядом Фурье для функции (φ) на интервале(– π, π). Следовательно,

и должны определяться по формулам

Таким образом, ряд (2.28) с коэффициентами,

определенными по формулам (2.29), будет решением

52

поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по r иφ.

Методика решениязадачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге:

1)Найти коэффициенты ряда по формулам

(2.29).

2)Записать решение в виде (2.28)

Пример 2.12.Найти решениезадачи Дирихле для

уравнения Лапласа в круге:∆ = 0, 0 ≤ < 2, |=2 = 2 + 1.

Решение:

1) 0 = 1 ∫− (2 + 1) = 1 ( 2 + )|− = 2

Иногда, если ( ) уже разложена в ряд Фурье,

решение задачи упрощается:

∆ = 0, 0 ≤ ≤ 0, |=0 = ( )

Решение задачи Дирихле:

∞

разложимf(x) в ряд используя тригонометрические формулы:

54

sin3 = 34 sin − 14 sin 3 , cos3 = 34 cos + 14 cos 3 ,

Пример 2.13. Найти решениезадачи Дирихле для

Решение:

1)(1, ) = 0 + ∑∞=1( cos + sin ) = sin3φ = 34 sin − 14 sin 3 ,

2) ( , ) = 34 r sin − 14 3 sin 3

Задачи для самостоятельного решения

Найти решениезадачи Дирихле для уравнения Лапласа

вкруге:

1.∆ = 0, 0 ≤ < 1, | =1 = 3 + 1

2.∆ = 0, 0 ≤ < 3, | =3 = + 10

3.∆ = 0, 0 ≤ < 2, | =2 = 2 + 10

4.∆ = 0, 0 ≤ < 5, | =5 = 12

55

5.∆ = 0, 0 ≤ < 4, | =4 = 8 + 1

6.∆ = 0, 0 ≤ < 2,

−2 sin2 φ − cosφ + sin φ

9.∆ = 0, 0 ≤ < 5,

| =5 = cos3 φ + sin35φ

− 4 cos2 φ + sin2 φ + 10

10. ∆ = 0, 0 ≤ < 3, | =3 = 9 cos3 φ − 4sin3φ − 2 cosφ + 5 sin φ

56

СОДЕРЖАНИЕ

1.Уравнения в частных производных первого порядка………………………………………...…3

1.1.Общие понятия……………………….……..3

2.Уравнения в частных производных второго порядка ………………………………………...16

2.1.Тип и канонический вид уравнения……..16

2.2.Общее решение уравнений с частными производными второго порядка……….….23

2.3.Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)…………………………….…..32

2.4.Решение уравнения колебания струны методом разделения переменных (методом Фурье)………………………………………36

2.5.Решение уравнения теплопроводности.….45

2.6.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге…………………………….50

57