Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

является эллиптическим во всей плоскости ХОУ.

2. ( )2 + ( )2 = 0 ( )2 = −( )2

3.ξ = 0, ξ = 1, η = 1, η = 0,

ξ = ξ = ξ = η = η = η = 0= ηη, = ξξ

4.ηη + ξξ = 0

Пример 2.2.Привести к каноническому виду уравнение

− 9 + + = 0

3 + = 2

3 − = ξ, 3 + = η

4.ξ = 3, ξ = 3, η = −1, η = 1, = 3 ξ + 3 η,

= −3 ξ + η

20

ξ = ξ = ξ = η = η = η = 0

1

= 2 ξξ + 2 ξη + 2 ηη

Задачи для самостоятельного решения

Привести уравнение к каноническому виду:

1.+ 2 − 3 + 2 + 7 − 3 = 0

2.− 2 + − 3 + 2 − 5 = 0

3.2 + 6 + 8 + + 5 − 2 = 0

21

4.+ 2 + 2 + 6 + 6 − 3 = + 2

5.− 2 + + − + =

2 2

6.2 + 2 − − = 0

7.sin2 − 2 sin + 2 = 0

8.2 + 2 + 2 = 0

11

9.2 + 2 = 0

10.2 + 2 2 − + 2 = 0

2.2Общее решение уравнений с частными

производными второго порядка

Общим решением называется решение,

зависящее от произвольной функции. Здесь проявляется отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых общее решение зависит от произвольных постоянных.

Количество произвольных функций в наиболее общем решении совпадает с порядком уравнения n, а

количество переменных каждой функции равно n−1.

22

Общее решение дифференциальных уравнений.в

частных производных задает целый класс (семейство)

функций. Для выделения из этого класса единственного решения необходимы дополнительные условия. В качестве таких условий выступают обычноначальные условия (относящиеся к одному какому-то моменту времени) играничные условия

(условия, заданные на границе изучаемой области).

Интегрирование уравнения с частными производными – задача сложная, зачастую не решаемая аналитическими методами, однако иногда после приведения к каноническому виду уравнение настолько упрощается, что его оказывается возможным проинтегрировать, не задавая дополнительные условия.

Методика решения:

1)Определить тип уравнения.

2)Составить уравнение характеристик и найти и найти его общие интегралы.

3)Привести уравнение к каноническому виду.

= ξ ξ + η, = ξ ξ + η uη

= ξ2 ξξ + 2ξ η ξη + η2 ηη + ξ ξ + η η

23

= ξ ξy ξξ + (ξ η + ξ η ) ξη + η η ηη + ξ ξ + η η

= ξ2 ξξ + 2ξ η ξη + η2 ηη + ξ ξ

+η η

4)Если уравнение является уравнением

параболического типа, то дважды проинтегрировать

полученное уравнение по одной переменной, считая

вторую переменную константой, сделать обратную замену; если уравнение является уравнением гиперболического типа, то дважды проинтегрировать полученное уравнение по одной, затем по второй переменной, считая вторую константой, сделать

обратную замену и выразить ( , ) (константы

интегрирования являются функциями от второй переменной); если уравнение является уравнением эллиптического типа с каноническим видом ξξ +ηη = 0 , то есть полученное уравнение является уравнением Лапласа, то общее решение запишем в виде: = Re ( 1).

Общее решение уравнения эллиптического типа так же можнозаписать в виде:

= φ( 1) + ψ( 2) или = Re ( 2) или

24

= Im ( 1) , или = Im ( 2) , где φ, ψ, некоторые аналитические функции.

Пример 2.5. Найти общее решение уравнения

+ 2 + + + = 0

Решение:

параболическое.

2)( )2 − 2 + ( )2 = 0 → ( + )2 = 0 →

ξ= − , η =

3)ξ = −1, ξ = 1, η = 0, η = 1

= ξξ + 2 ξη + uηη

Подставляем полученные производные в исходное

уравнение:

ξξ − 2 ξξ − 2 ξη + ξξ + 2 ξη + ηη − ξ + ξ + η

= 0 → ηη + η = 0 4) ∫ ηη η = − ∫ η η → η = − + Ф(ξ) →

∫− + Ф(ξ) = ∫ η

25

−ln(− + Ф(ξ)) = η + φ(ξ) → ln(− + Ф(ξ)) = −η + φ(ξ)

Пример 2.6. Найти общее решение уравнения

2 − 2 + 2 + + = 0

Решение:

Уравнение параболического типа во всей плоскости

ХОУ.

2)2 2 + 2 + 2 2 = 0 →

+ = 0 →

3)ξ = , ξ = , η = 0, ηy = 1

26

= ξ, = ξ + η, = 2 ξξ,

= 2 ξξ + 2 ξη + ηη

= ξξ + ξη + ξ η ηη + η = 0

η η φ(ξ)

4) ∫ η = − ∫ η → ln η + lnη = lnφ(ξ) → η = η

= φ(ξ)lnη + ψ(ξ)

( , ) = φ( )ln + ψ( )

Пример 2.7. Найти общее решение уравнения

2 − 2 − 2 = 0

Решение:

1) 11 = 2, 12 = 0, 22 = − 2, ∆= 122 − 11 22 = 2 2

Уравнение относится к гиперболическому типу во всех точках плоскости OXY, не лежащих на координатных осях.

3)ξ = , ξ = , η = − 2 , η = 1

27

Пример 2.8. Найти общее решение уравнения

2 − 2 − = 0

28

Решение:

1) 11 = 2, a12 = 0, a22 = −2y, ∆= a212 − a11a22 = 4y

Уравнение относится к гиперболическому типу в полуплоскости > 0 , к эллиптическому типу в полуплоскости < 0 и к параболическому типу на оси

= 0.

2)2 − 2 = 0

ξη = 0

= φ(ξ) + ψ(η)

( , ) = φ( + 2√ ) + ψ( − 2√ )

29