Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

В) < 0

12 = ± 2 √−

= Re ( + 2√− )

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения:

1.− 2 + + 2 − 2 = 0

2.+ 4 + 4 − − 2 = 0

3.+ 4 − 5 = 0

4.− 2 − 3 = 0

5.− 2 + 3 = 0

6.2 − 2 = 0

7.+ 2 + 5 = 0

8.+ 2 − 1 = 0

9.Найти общее решение уравнения в первой и четвертой четвертях плоскости OXY

2 + 2 2 − + 2 = 0

10.Найти общее решение уравнения в верхней полуплоскости плоскости OXY

30

1+ − 2 = 0

2.3 Решение уравнения колебания струны

методом характеристик (методом Даламбера)

Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Математической моделью струны является прямая. Поэтому задача «найти решение уравнения свободных колебаний струны» можно сформулировать так же: «решить волновое уравнение на прямой».

Постановка задачи:

= 2 (2.8)

|=0φ( )(2.9)

свободных колебаний, уравнения (2.9) и (2.10)

называются начальными условиями, φ( ) и ψ( )

заданные функции, 2 - параметр, характеризующий

l 2 = ρ , где ρ - линейная плотность струны, для процесса электрических колебаний в электрических

динамических усилий вдоль стержня. Следовательно,

одно и то же уравнение описывает совершенно различные физические задачи потому, что эти задачи имеют один и тот же характер поведения искомых величин.

Приведя уравнение (2.8) к каноническому виду, получим ξη = 0 , где ξ = − , η = + . Общее решение запишется в виде

= Φ1(ξ) + Φ2(η), где Φ1, Φ2 – произвольные функции.

Общее решение уравнения (2.8) в исходных переменных имеет вид

= Φ1( − ) + Φ2( + ).

Подобрав функции Φ1 и Φ2 так, чтобы функция

( , ) удовлетворяла начальным условиям (2.9) и

32

(2.10), приходим к решению задачи в форме Даламбера:

Методика решения:

1)Из краевых условий определить параметр a,

функции φ( ), ψ( )

2)Подставить определенные в пункте 1)

функции и параметр aв решение в форме Даламбера и вычислив интеграл, записать ответ, по возможности, в виде одной функции или произведения функций.

Пример 2.9. Найти решение волнового уравнения на прямой

Решение:

2.4.Решение уравнения колебания струны методом

разделения переменных (методом Фурье)

Решение, найденное методом разделения переменных (иногда его называют методом Фурье),

получают обычно в форме бесконечного ряда, отрезок же этого ряда дает приближенное решение уравнения.

Процесс колебаний струны длиной l,

закрепленной в точках = 0 и = , причем смещение точки относительно положения равновесия зависит от х и от времени t: = ( , ), формулируется в виде задачи: «решить уравнение колебания закрепленной струны». Так как математической моделью закрепленной струны является отрезок, то справедлива формулировка задачи: «решить волновое уравнение на отрезке».

Постановка задачи:

= 2 (2.8)

|=0 = |= = 0(2.11)

{ |=0 = φ( ) (2.12)|=0 = ψ( )

35

где φ( ) и ψ( )заданы на отрезке [0, ], причем

φ(0) = ψ(0) = 0.

Уравнение (2.8) называется уравнением свободных колебаний (волновым уравнением),

уравнение (2.11) называется граничным условием, а

уравнения (2.12) называются начальными условиями.

Решение будем искать методом Фурье.

Представим решение в виде произведения двух функций

= ( ) ( )(2.13)

одна из которых зависит только от х, а другая только от t (разделение переменных).

Так как левая часть полученного уравнения не зависит от х, а правая от t, то равенство (2.14)

36

возможно лишь в том случае, когда обе части равны одной и той же постоянной величине, которую будем обозначать «−λ»

Уравнение (2.15) является линейным однородным уравнением второго порядка. Следует выяснить при каких значениях λ оно имеет ненулевые решения,

удовлетворяющие граничным условиям (2.11).

Числовые значения λ называются собственными значениями (числами), а соответствующие им ненулевые решения – собственными функциями,

поэтому рассматриваемый метод иногда встречается под названием метода собственных функций, а

поставленную задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим три случая:

действительные корни 1,2 = ±√− и общее решение

2)λ = 0. Тогда уравнение (2.15) примет вид

" = 0 , а решение будет иметь вид = 1 + 2 .

Удовлетворяя граничным условиям (2.11), получим

0 = 10 + 2; 0 = 1 + 2 . Откуда следует, что 1 =2 = 0 и ( ) ≡ 0.

3)λ > 0 . Характеристическое уравнение

2 + λ = 0 имеет чисто мнимые корни 1,2 = ± √λ и

38