- •(Алина) Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства).
- •(Карина) Интегрирование по частям и замена переменной.
- •(Геля) Интегрирование рациональных функций.
- •(Алина) Интегрирование иррациональных функций , биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •(Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Суммы Дарбу и их свойства.
- •(Карина) Критерий интегрируемости по Риману.
- •(Геля) Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Свойства интеграла Римана.
- •(Карина) Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •(Карина) Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •(Геля) Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •(Алина) Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •(Карина) Предел функции.
- •(Геля) Повторные пределы.
- •(Алина) Непрерывность функции в точке.
- •(Карина) Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •(Геля) Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •(Алина) Равномерная непрерывность.
- •(Карина) Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
- •(Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
- •(Алина) Производная сложной функции.
- •(Карина) Производная по направлению и градиент.
- •(Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •(Алина) Дифференциалы высших порядков.
- •(Карина) Формула Тейлора.
- •(Геля) Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •(Алина) Неявные функции, теорема об обратной функции.
- •(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
(Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
1) Интеграл от рациональной функции, зависящей от sinx и cosx
Теорема (1) вычисляется в элементарных функциях
Док – во: Универсальная тригонометрическая подстановка
Подставим в (1):
Интеграл (1) вычисляется в элементарных функциях ч.т.д.
Замечание: использование элементарной подстановки обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых специальных случаях используют другие замены.
Специальные случаи:
I.
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Заменяем
(1) =
Замена:
вычисляется в элементарных функциях
II.
Замена:
Доказывается аналогично
III. члена по обеим переменным
Таким образом
(1) интеграл вычисляется в элементарных функциях
Замена
(Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.
Выберем некоторые разбиения
Существует конечный предел (и он не зависит от выбора Т и выбора точек )
f не является ограниченной на f не является ограниченной на какой-то из
Для ограниченной бином считает, что f не ограничена на
Рассмотрим
С другой стороны,
(Алина) Суммы Дарбу и их свойства.
f R[a;b] => f ограничена на [a;b] Далее будем полагать, что f ограничена на [a;b] Введем обозначения: mx = inf f(x) -минимум x [xk;xk+1]
Mx = sup f(x) -максимум x [xk;xk+1] Образуем следующие суммы: s(T) = mk*Δxk - нижняя сумма Дарбу
S(T) = Mk*Δxk - верхняя сумма Дарбу
Свойства сумм Дарбу:
Доказательство:
s(T) ЧТД
Доказательство:
Для нижней суммы Дарбу док-во аналогино
20 10 20
ЧТД
Множество всех нижних сумм Дарбу ограниченно сверху
Множество всех нижних сумм Дарбу ограниченно снизу
Опр. называется нижним интегралом Дарбу, а верхним интегралом Дарбу.
40
Опр. Прямой суммой множеств Х1, Х2, называется множество
Утверждение(Лемма)
Если множество Х1 и Х2 ограниченны, то
50
Доказательство:
ЧТД
Для нижней суммы Дарбу доказательство аналогично
(Карина) Критерий интегрируемости по Риману.
Теорема
Доказательство:
Не зависит от T и )
Перейдём к
Перейдём к
(Крайние части неравенства
0
ЧТД
Следствие 1
Если
Следствие 2
Если
Следствие 3
Рассмотрим