- •(Алина) Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства).
- •(Карина) Интегрирование по частям и замена переменной.
- •(Геля) Интегрирование рациональных функций.
- •(Алина) Интегрирование иррациональных функций , биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •(Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Суммы Дарбу и их свойства.
- •(Карина) Критерий интегрируемости по Риману.
- •(Геля) Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Свойства интеграла Римана.
- •(Карина) Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •(Карина) Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •(Геля) Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •(Алина) Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •(Карина) Предел функции.
- •(Геля) Повторные пределы.
- •(Алина) Непрерывность функции в точке.
- •(Карина) Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •(Геля) Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •(Алина) Равномерная непрерывность.
- •(Карина) Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
- •(Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
- •(Алина) Производная сложной функции.
- •(Карина) Производная по направлению и градиент.
- •(Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •(Алина) Дифференциалы высших порядков.
- •(Карина) Формула Тейлора.
- •(Геля) Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •(Алина) Неявные функции, теорема об обратной функции.
- •(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
(Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
(Алина) Производная сложной функции.
1 переменная:f(g(x))'=f '(g(x))*g'(x). n=2. f(x,y) опр. в области X ⊂ . , t ∈ (a,b). (x(t),y(t)) ∈ X. Рассмотрим h(t)=f(x(t),y(t))(функция 1 переменной): t ∈ (a,b) . Теорема 1. Если x(t),y(t) диф. в ∈ (a,b), f(x,y) диф. в т. =(x( ),y( )), то h диф. в т. и h'( ) = Доказательство: Зададим Δt в точке . f(x, ) , получат приращения Δx,Δy. h'( )= Δf( ) = f диф. в точке Δf( )= Δx+ Δy+ Δx+ Δy, где , . = + + + = )x’( )+ y’( ). Ч.т.д. n>=2. t=( ,…, ). x=( ,…, ). = ( ,…, ). … = ( ,…, ). Рассмотрим h(t)=f(x(t)),т.е. f( ,…, ). = ( ,…, ). … = ( ,…, ). Теорема 2. Если диф. в ∈ G. ∀ f диф. в точке =x( ), то h диф. в точке и . Без док.-ва. Следствие(инвариантность формы первого дифференциала). Вид диф.-ла функции f( ,…, ) не зависит от того, является ли ,…, независимыми переменными или функция. = +…+ .(1) Док.-во: а)Если ,…, -независимые переменные (1)-верно. б)Пусть = ( ,…, ). … = ( ,..., ). df(x(t))= * +…+ * = = * = =(1). Ч.т.д.
(Карина) Производная по направлению и градиент.
f(x,y)
f – дифференцируема в точке ( (
(
Движение вдоль Oy
||e||=1
Опр. Если существует , то он называется производной по направлению функции f в точке
Обозначение:
Теорема 1:
Если f дифференцируема в точке , то
Д:
f(x,y)=f( , ,
, чтд.
Опр. Градиентом функции f в точке называется вектором
Следствие (Т1):
Теорема 2:
Пусть f – дифференцируема в точке , тогда наибольшая если (одинаково направлены)
Д: = = , ,
Наибольшее, если cosφ=1
Следствие: gradf( вектор направленный сторону наибольшего роста функции.
(Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
(Алина) Дифференциалы высших порядков.
Зададим новые приращения и вычислим дифференциал от :
Будем считать, что производные второго порядка существуют, а смешанные непрерывны
Опр. Дифференциал от первого дифференциала, вычисленный с теми же приращениями называют дифференциалом второго порядка функции f
Обозначают:
Опр. Дифференциал от дифференциала k-1–го порядка, вычисляемый с теми же приращениями, что и предыдущий, называется дифференциалом k–го порядка функции f.
Обозначают:
Опр. если у функции существуют все частные производные до k-1–го порядка включительно, дифференцируемы в точке , то называется k раз дифференцируемой в точке Если при этом все частные производные k–го порядка непрерывны в точке , то называется k раз непрерывно-дифференцируемой в точке
Теорема:
Если дифференцируема в каждой точке области D, тогда