9. (Геля) Достаточные условия интегрируемости по Риману.

10. (Алина) Свойства интеграла Римана.

Если a>b, то по определению считают, что

1⁰

Доказательство:

ЧТД

2⁰ Линейность интеграла Римана

Если f, g R [a;b], то

а) f+g R [a; b]

б) k - const

kf [a; b]

Доказательство:

ЧТД

4⁰ Если f, g R [a; b], то f*g R [a; b]

Доказательство:

В (3) перейдём к sup (x’ ) и к inf (x” )

ЧТД

5⁰ Если a < b, и f(x) 0, то

Доказательство:

ЧТД

6⁰ Если a < b, f, g R[a; b] и f(x) g(x), где x [a; b], тогда

Доказательство:

ЧТД

7⁰

8⁰ Адаптивность интеграла

Если f интегрируема по Риману на большем из отрезков [a; b], [a; c], [c, b], то

9⁰ Если a < b, f , f(x) 0 на [a; b] и x0 [a; b], в которой f непрерывна и

f(x0) > 0, тогда

10⁰ Теорема о среднем

Если f (где m,M - некоторые числа) на x , то

а) :

b) Если дополнительно f непрерывна на [a; b], то с :

Геометрический смысл:

11⁰ Вторая теорема о среднем:

Если

11. (Карина) Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть

x принадлежит этому промежутку

Свойства:

непр. на [a, b]

Доказательство:

Покажем,

M

,

,

Если f непр. на [a, b], то дифф. на этом же отрезке и

Доказательство:

ЧТД

Если f непр. на отрезке [a, b], то

Формула Ньютона - Лейбница:

Теорема 1: Если f непр. на [a, b], а F - первообразная ф-и, то

ЧТД

Определение: Функция называется непрерывно дифференцируемой на некотором множестве E, если в каждой точке множества E функция имеет непрерывную производную.

12. (Геля) Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям.

13. (Алина) Простые фигуры и их свойства.

Опр: Простая фигура – конечное объединение не перекрывающих ячеек

Свойства:

простые фигуры, не перекрываются простые фигуры.

простые фигуры, не перекрываются простые фигуры.

Замечание верны для любого конечного числа простых фигур.

простые фигуры простые фигуры.

14. (Карина) Мера простых фигур и ее свойства.

Пусть p - простая фигура, т.е.

Свойства: (P и Q простые фигуры*)

1.Для каждой простой фигуры P

2. Если P и Q не перекрываются, то

3. Если P=Q, то

4. Если P и Q могут перекрываться, то

15. (Геля) Мера Жордана и ее свойства.

16. (Алина) Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.

①

Теорема 1:

Если

Док-во:

①

Теорема 2:

Если

Док-во: а)

б) - принимает отрицательные числа (<0) ограничена на [a;b]

получается параллельным переносом

17. (Карина) Вычисление площади криволинейного сектора.

-криволинейный сектор

Теорема 3:

Если

Док-во:

-криволинейный сектор

Теорема 3:

Если

Док-во:

S(T) s(T)<ε

mA≤mE≤mB (⇒mE= ,чтд〗

18. (Геля) Кривые.

19. (Алина) Вычисление длины кривой.

Теорема 1:

Если С: то

Лемма:

Если

Док-во(Леммы):

Док-во (Теоремы 1):

=

похожа на интегральную сумму для (1)

Интегральная сумма для (1):

Покажем, что

- непрерыв. на [a;b]

пусть

Таким образом

Следствие 1: (Кривая задача явно)

по Т1:

Следствия 2: (кривая задача в полярных координатах)

по Т1:

=