3. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка

Если систему с двумя неизвестными и двумя уравнениями, вида:

Попытаться решить, выразив x₁ и x₂, выходит:

Если рассмотреть второе слагаемое в обоих уравнениях, то можно заметить, что при домножение на сопряженные коэффициенты, можно достичь:

Домножив на сопряженные коэффициенты, выходит:

Если мы прибавим к первой строке вторую, то мы избавимся от коэффициента при второй переменной:

Выразим x₁ из первого уравнения:

Сначала вынесем x₁ за скобки:

А затем поделим обе части на эту самую скобку:

И как можно заметить, данная операция была проведена для неизвестных коэффициентов и результатов уравнений. Данную операцию можно провести и относительно x₂ что говорит о том, что данная формула подходит для решения любых систем такого вида. Если же представить данную формулу (для x₁) в виде матрицы:

То числитель из формулы можно выделить как:

Главная диагональ (с левого верхнего угла до правого нижнего угла) минус побочная диагональ (с левого нижнего угла до правого верхнего).

Знаменатель тогда будет выглядеть следующим образом:

Что не подходит под вышеупомянутое правило. Но, если заменить первый и третий столбец местами, то выходит:

Что на этот раз подходит под выведенное нами правило.

Для вычисления x₂ знаменатель останется тем же, а числитель будет равен:

В связи с возможностью решить любую систему с двумя уравнениями и неизвестными, было решено назвать знаменатель главным определителем (также определителем второго порядка), а числитель - определитель первой/второй неизвестной.

Обозначаются они следующим образом:

Главный определитель:

Определитель первой переменной:

Определитель второй переменной:

А сами переменные вычисляются соответственно, как:

4. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему двух однородных уравнений с тремя неизвестными:

Предположим, что из трех определителей:

По крайне мере один (например, первый) отличен от нуля. Тогда, перенося члены с x₃ в правую часть и решая уравнения относительно x₁ и x₂, получим:

Где x₃ произвольно.

Введем обозначение

Тогда

Где k - произвольный множитель пропорциональности. Если взять k ≠ 0, то получим решение системы, отличное от очевидного решения x₁ = x₂ = x₃, получающегося при k = 0. Заметим, что определители формул, которым пропорциональны неизвестные системы, получаются из таблицы коэффициентов этой системы:

Путем вычеркивания соответствующего столбца, при этом для среднего неизвестного необходимо еще переставить столбцы в полученном определителе.

Если все три определителя, стоящие в формулах равны нулю, то соответствующие коэффициенты уравнений будут пропорциональны, и, следовательно, системы приведется к одному уравнению:

Откуда, считая, например, a1 ≠ 0, получим:

Где x₂ и x₃ могут принимать любые значения.

5. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера

Попробуем выразить решить данную систему:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

Матрица коэффициентов

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃

Умножим строки следующим образом

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁ |* (a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂)

a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂ |* (a₁₃a₃₂ – a₁₂a₃₃)

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃ |* (a₁₂a₂₃ - a₁₃a₂₂)

И сложим получившиеся строки.

После некоторых операций получиться, что коэффициент при x₂ = 0 и x₃ = 0

Останется x₁ * ( a₁₁a₂₂a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂ +a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁ – a₁₃a₂₂a₃₁) = b₁(a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) + b₂(a₁₃a₃₂-a₁₂a₃₃) + b₃(a₁₂a₂₃ – a₁₃a₂₂)

Коэффициент при x₁ = Δ и называется главным определителем третьего порядка.

Правая часть равенства называется Δ₁.

x₁= Δ₁/ Δ

Аналогично выводится, что

x₂= Δ₂/ Δ и x₃= Δ₃/ Δ

Заметим, что если Δ = 0, то система имеет бесконечно много решений.

Правило треугольника для вычисления определителя: