24. Построение кольца многочленов от одной переменной
Кольцо многочленов от одной переменной: кольцо, образованное многочленами от переменной x, с коэффициентами k из другого кольца K.
Обозначается как K[x] и называется кольцо многочленов над K.
Кольцо (в общей алгебре) - множество R, на котором заданы две бинарные операции: сложение и умножение.
Задать операции: множество содержит в себе как и входные элементы, так и результат операции.
Бинарные операции: на входе два элемента, на выходе один.
Многочлен от одной переменной называют выражение:
Зададим операции сложения и умножения:
Ввиду перенятых коэффициентов из K, K[x] перенимает все свойства кольца K, такие как:
Если K - коммутативное кольцо, то K[x] - тоже коммутативное кольцо ;
Если K содержит единицу, то и K[x] содержит единицу ;
Если K не имеет делителей нуля, то и K[x] не имеет делителей нуля.
Коммутативное кольцо - кольцо, в котором операция умножения коммутативна: xy = yx.
Делитель нуля: такой элемент a кольца, что для ab = 0 (левый делитель нуля) или ba = 0 (правый делитель нуля), для ненулевого b. Ноль кольца называется несобственным делителем нуля; соответственно, элементы отличные от нуля и являющиеся делителем нуля называются собственными делителями нуля.
Эти свойства можно проверить, сопоставив элементы из K с элементами из K[x]:
Существование противоположного элемента:
Остальные свойства можно проверить аналогичным способом.
25. Алгоритм деления с остатком
Для многочленов существует алгоритм деления с остатком.
Для любых многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x), что:
Где q(x) - частное от деления f(x) на g(x), а r(x) - соответственно остаток.
Притом для новых многочленов будут справедливы следующие свойства:
Степень многочлена r(x) будет строго меньше степени многочлена g(x) ;
q(x) и r(x) - являются единственными.
Степень многочлена - наивысшая степень аргумента среди его слагаемых.
Доказательство свойств:
1. Зададим оба многочлена:
Если m > n, то q(x) = 0, r(x) = f(x).
В ином случае:
Данный
многочлен имеет степень n1,
старший коэффициент a1n.
А этот многочлен имеет степень n2, старший коэффициент a2n.
Таким образом, степени многочленов f1(x), f2(x) … убывают:
А формула для вычисления k-го многочлена:
Если по этой формуле вставить значение для f(x) до fk(x), пропуская все промежуточные, получаем:
Как мы видим, наивысший коэффициент у r(x) меньше, чем у g(x).
2. Пусть существуют как минимум еще одни q’(x) и r’(x):
Приравняем правую часть данного равенства с правой частью первого:
что
эквивалентно:
Если частные и остаток не являются единственными, то:
Степень правой части будет меньше степени g(x)
Степень левой части будет больше степени g(x)
Хотя по обе стороны должны находится одинаковые выражения.
Выходит, наше изначальное предположение о существовании многочленов помимо q(x) и r(x) было неверным.
26. Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида - эффективный алгоритм по нахождению Наибольшего Общего Делителя.
Пусть даны f(x) = f, g(x) = g. При делении f на g получается остаток r1:
То же самое можно сказать и при делении g на r1.
То же самое можно сказать и при делении r1 на r2.
Продолжаем, пока дойдем до rk - общего делителя для f и g.
НОД найден.
Теорема: если d(x) = d является НОДом f и g, то можно найти такие u(x) = u и v(x) = v, что будет выполнятся:
При этом:
степени f и g > 0 ;
степень u строго меньше степени g ;
степень v строго меньше степени f.
Доказательство:
Из алгоритма выше можно сделать вывод, что:
d = rk ;
u1 = 1 ;
v1 = -qk ;
Тогда:
Идя в обратном направлении по Алгоритму Евклида, получается:
В конце концов выходит:
Предположим, что степень u больше или равна степени g - поделим u на g:
Подставляя в предыдущее равенство:
Степень правого многочлена строго меньше f ;
Степень левого многочлена больше f, так как фигурирует f умноженный на g.
Вышло противоречие - значит, наше предположение, что степень u больше или равна степени g - было неверно.