14. Умножение матриц

Произведением матрицы A_m×n на матрицу B_n×k называется матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, т.е. элемент c_ij, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B.

1. Ассоциативность:  (A⋅B)⋅C = A⋅(B⋅C)

2. Ассоциативность по умножению:  (μ⋅A)⋅B = μ⋅(A⋅B)

3. Дистрибутивность: A⋅(B+C) = A⋅B+A⋅C, (A+B)⋅C = A⋅C+B⋅C,

4. Умножение на единичную матрицу E_m⋅A_m×n = A_m×n⋅E_n = A_m×n

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. AB≠BA

15. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирование

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами: a_ij^T = a_{ji .}

Свойства:

1. Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица A^T имеет размер m×n;

2. (A^T)^T = A;

3. (k · A)^T = k · A^T;

4. (A + B)^T = A^T + B^T;

5. (A · B)^T = B^T · A^T.

6. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

|A^T| = |A|

Применяется для удобства в решении систем уравнений.

16. Ранг матрицы

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк или столбцов. Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.

Число ненулевых строк матрицы после приведения ее к ступенчатому виду.

Ранг совпадает с числом ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Обозначается rang A, r A, rg A, rk A или rank A (хз как у нас принято)

Лемма 3.2. При элементарных преобразованиях строк матрицы ранг системы ее строк не меняется.

Лемма 3.3. При элементарных преобразованиях строк матрицы ранг системы ее столбцов не меняется. Более того, если некоторая система столбцов является базой системы столбцов исходной матрицы, то та же система столбцов - база системы столбцов преобразованной матрицы.

Рангом матрицы называется ранг системы ее строк (или, равносильно, ранг системы ее столбцов).

17. Теорема об определителе произведения

Теорема 2.6.2.Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, т. е.

.

Доказательство: Зафиксируем в матрице первые k строк. Тогда все миноры порядка k, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, т. е. минора

,

причем дополнительный минор

.

Тогда в силу теоремы Лапласа

,

где — четное число, поэтому .

18. Обратная матрица

Обратная матрица A^-1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице.

Достаточным и необходимым условием для существования обратной матрицы является det A ≠ 0. Алгоритм нахождения A - квадратная матрица:

1. Вычислим определитель матрицы A. Если он равен нулю, то матрица необратима.

2. Построим и транспонируем матрицу алгебраических дополнений матрицы A.

3. Умножим полученную матрицу на 1/|A|.

Алгебраическое дополнение:

Минор - определитель матрицы, из которой исключены i-ая строка и j-ый столбец.

Доказательство: существование и единственность обратной матрицы

Пусть для матрицы А существует обратная матрица А^-1, тогда:

Возьмем определитель обоих сторон:

Так как определитель произведения равен произведению определителей, а определитель единичной матрицы равен единице:

Следовательно, пока определитель изначальной матрицы не равен нулю, у нее существует обратная матрица. Существование доказано.

Далее предположим, что существует первая обратная матрица A^-1 вторая обратная А матрица, назовем ее B^-1:

Тогда, преобразовав B^-1, выходит:

Единственность доказана.