ВМ1
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
з вищої математики
для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання
( 1-й семестр ) 2 частина
2005
2
Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання ( 1-й семестр ) 2 частина. /Укл.: Левицький І.А., Нагорний Ю.І., Онуфрієнко Л.М., Слюсарова Т.І., Штефан Т.О. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2005 - 66 с.
Укладачі:
Левицький І.А., к.т.н., доцент Нагорний Ю.І., к.т.н., доцент Онуфрієнко Л.М., к.ф.-м. н. Слюсарова Т.І., асистент Штефан Т.О., асистент
Рецензент: Онуфрієнко В.М., к.ф.-м.н., професор
Відповідальний за випуск: |
доц.. Гальченко Л.В. |
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ
Протокол № 8 від 23.03.05 р.
|
3 |
|
|
ЗМІСТ |
|
|
|
Стор. |
1. |
Границя функції |
4 |
1.1 |
Аудиторні завдання. |
4 |
1.2 |
Індивідуальні завдання |
8 |
2. |
Неперервність функції |
14 |
2.1 |
Аудиторні завдання. |
14 |
2.2 |
Індивідуальні завдання |
15 |
3. |
Диференціальне числення функції однієї змінної |
22 |
3.1 |
Аудиторні завдання. |
22 |
3.2 |
Індивідуальні завдання |
24 |
4. |
Функція кількох змінних. |
45 |
4.1 |
Аудиторні завдання. |
45 |
|
Індивідуальні завдання |
50 |
|
Література |
66 |
4
1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
1.1 Аудиторні завдання
Завдання
Відповідь:
Завдання
Відповідь:
Завдання
Відповідь:
Завдання
2x 2 −5x + 3
lim x 2 + 4 .
x→+∞
Відповідь:
Завдання
Відповідь.
Завдання
Відповідь:
Завдання
1. Знайти границю. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
x 2 −5x +1 |
. |
|
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
3x + 5 |
|
|
|
||
− |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Знайти lim |
x 2 |
− 6x +8 |
. |
|||||||
|
x |
2 |
− 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
||
− |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Знайти границю lim |
x +13 |
− 4 |
. |
||||
x |
2 |
− |
9 |
||||
|
|
x→3 |
|
|
|||
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4. Знайти границю раціональної функції
|
2. |
|
|
sin 5x |
|
|
||||
5 |
|
. Знайти границю lim |
. |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2x |
|
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
. Обчислити lim |
tgx |
. |
|
|
|
|||
sin 3x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
cos 5x − cos 7x |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
. Обчислити lim |
. |
|||||||
|
|
x |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
Відповідь: 12 .
5
Завдання 8. Знайти границю степенево-
|
4x + 3 |
3x+4 |
||
показникової функції: lim |
|
|
. |
|
4x −5 |
||||
x→∞ |
|
|
необхідно показник степеню домножити і поділити на
вираз 4x8−5 , маємо:. Відповідь: e6 .
1.2Індивідуальні завдання
1.2.1Обчислити границі функції в точці
1. |
lim |
x |
2 |
|
+ 5x −3 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
sin 3 |
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
arcsin |
2 |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2x sin 5x |
|||||||||||||||
5. |
x→π / 2 |
|||||||||||||||
lim |
1 − cos 5x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π / 6 |
|
|
|
xtg2x |
|
|
|
|
|
||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
9 + x −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
||||
9. |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
4x |
+ 5 x+3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
x→0 |
|
|
|
4x −1 |
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 + cos 2x |
|||||||||||||
13. |
x→π / 2 |
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→π / 6 sin(x +π / 2) |
|||||||||||||||
15. |
lim |
cos 2x −1 |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
17. |
x→π / 4 |
|
|
5x + 6 |
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
5x +1 − 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+15 |
|
|
|
|
|||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
x + 4 −5 |
||||||||
|
|
|
x |
3 |
+ 64 |
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
2 |
+11x +10 |
|
||||||||
|
lim |
|
3x |
|||||||||
|
2 |
−5x +14 |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
x |
|
|||||||
6. |
lim |
ln(x + 3) |
|
|
|
|||||||
|
ln(x − 4) |
|||||||||||
|
x→6 |
|
||||||||||
8. |
lim(3x − 2)1/ x |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
lim |
|
3 − |
x + 4 |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
2 − |
x + 9 |
||||||||
12. |
lim |
cos(x +π ) |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
x→π / 4 arcsin 2x |
|||||||||||
14. |
lim |
|
4x3 − 2x 2 + 5x |
|||||||||
|
|
|
|
|
3x |
2 |
+ 7 |
|
||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
lim(2x −1)ln x |
|||||||||||
|
x→e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
lim |
(3x − 2) |
5x |
|||||||||
|
x−1 |
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
19. |
lim |
x2 |
+ 3x − 2 |
|
20 |
lim |
|
arcsin 3x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cosπx |
|
||||||||||||||||||
21. |
x→1 |
|
|
22. |
x→0 |
|
2x −1 |
|||||||||||||||
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 −5 |
||||||||||||
|
lim |
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|||||||||||||
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
3 − x |
|||||||||||||||
23. |
x→1 |
x |
24. |
x→4 |
|
|
||||||||||||||||
lim |
4 |
−3x x+2 |
lim sin 2 3xctg 2 5x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
x→0 |
3x + 2 |
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
3x 2 + 5x − 2 |
|
lim |
|
x 2 |
+ 4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
27. |
x→4 |
|
|
|
28. |
x→0 |
cos 2x |
|||||||||||||||
lim |
1 − cos 5x |
|
lim |
x |
3 |
|
+12 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
tg |
2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ln x |
||||||||||||||||||
29. |
x→π |
|
|
30. |
x→1 |
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x |
lim |
|
|
arcsin 3x |
|
|||||||||||
|
|
1 + x + 1 − x |
|
|
2x |
2 |
+ 6x −1 |
|||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
x→0 |
|
1.2.2 Границя раціональної функції в точці. Знайти границі
1. |
lim |
|
|
x2 −5x +6 |
|
2. lim |
|
x3 + 2x2 − x − 2 |
|
||||||||||||||||||||||
x |
3 |
−3x |
2 |
+2x |
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
− 4x − 4 |
||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
x →−2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
lim |
x3 −6x2 +11x −6 |
4. lim |
|
|
|
|
|
|
x3 −7x +6 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
+4x |
2 |
+ x |
−6 |
|
x |
3 |
−2x |
2 |
−5x +6 |
||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
lim |
x3 −3x2 −4x +12 |
6. lim |
|
|
x3 |
−2x2 − x +2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
−3x |
2 |
− x |
+3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
−3x |
2 |
+2x |
||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
x2 −9 |
|
|
|
|
8. lim |
|
|
|
|
x3 −6x2 +11x −6 |
||||||||||||||||
x |
2 |
−2x −3 |
|
|
|
x |
3 |
−9x |
2 |
+20x −12 |
|||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
10. lim |
3x +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
2 |
−3x +2 |
|
|
x |
3 |
+8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11. lim |
x3 −1 |
|
|
|
|
|
12. lim |
|
x3 +3x2 −9x −2 |
|
|||||||||||||||||||||
3x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− x −6 |
||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. lim |
x |
3 |
−27 |
|
|
|
|
14. lim |
x |
2 |
−6x +8 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5x +4 |
|||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
3x −9 |
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
x |
15. |
lim |
|
x4 −16 |
|
||||||||||
x |
2 |
−3x +2 |
||||||||||||
|
x→2 |
|
||||||||||||
17. |
lim |
x |
4 −16 |
|||||||||||
x −2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
lim |
|
x |
2 |
−2x |
|
||||||||
|
4x |
2 |
+ x |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|||||||||||
21. |
lim |
|
|
x3 −1 |
|
|||||||||
x |
2 |
+5x −6 |
||||||||||||
|
x→1 |
|
||||||||||||
23. |
lim |
x3 |
+3x2 +2x |
|||||||||||
|
x |
2 |
− x −6 |
|||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
||||||||||
25. |
lim |
x |
2 |
− x −2 |
|
|||||||||
x |
2 |
|
−2x |
|||||||||||
|
x→2 |
|
|
|||||||||||
27. |
lim |
x |
4 |
−2x2 +1 |
||||||||||
|
|
|
x |
2 |
−1 |
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
x −3
29. lim x2 −8x +15
x→3
7
16. |
lim |
|
|
x3 +27 |
|
|
|
|
|
||||||||
2x |
2 |
+3x −9 |
|||||||||||||||
|
x→−3 |
|
|
||||||||||||||
18. |
lim |
x3 −3x2 −4x +12 |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
−2x −3 |
|||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20. |
lim |
|
x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→3 |
|
−2x −3 |
||||||||||||||
22. |
lim |
x2 − x −2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. |
lim |
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→−1 |
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26. |
lim |
|
x3 + 3x 2 − 4 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
28. |
lim |
|
3x2 +2x −1 |
|
|||||||||||||
9x |
3 |
|
+ |
|
9x |
2 |
− x −1 |
||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
30. |
lim |
x3 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→2 |
2x −4 |
|
|
|
|
|
|
1.2.3Границя раціональної функції на нескінченності.
1. |
lim |
4x 2 + 5x −3 |
|
2. |
lim |
3x3 + 6x + 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
6x |
2 |
−8x |
+1 |
|
4x |
4 |
−3x |
3 |
−1 |
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
x − x2 −3 |
|
4. |
lim |
2x3 + 6x2 + 3x −1 |
|||||||||||||||||
3x − x |
3 |
+ |
4x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
+ 4 |
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
x5 −6 |
|
|
|
|
6. |
lim |
|
4x2 −3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
− x |
6 |
+3 |
|
|
|
3 − x − x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
8. |
lim |
x 2 + 6x + 5 |
|
|||||||||||
|
x |
3 |
−6x − 4 |
|
3 − 2x − x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
9. lim |
11 |
+ x − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
+ 4x −3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
+8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. lim |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. lim |
3x2 − 2x + 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x −5x |
2 |
|
+ 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. lim |
x − x3 − x5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 − x |
2 |
− x |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17. lim |
x3 + x 2 + x + 3 |
|
|||||||||||||||||||
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
+ 5 |
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
19. lim |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21. lim |
x |
7 |
+ x |
5 |
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4x |
7 |
+ x |
4 |
|
+ 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
23. lim |
|
x − x2 + 4x3 |
|
||||||||||||||||||
1 − x −3x |
2 |
+ |
5x |
3 |
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
25. lim |
0,7x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,7 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27. lim |
1 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 − x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
29. lim |
|
|
x3 + 27 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
27 − x |
2 |
|
− 4x |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8
10. lim
x→∞
12. lim
x→∞
14. lim
x→∞
16. lim
x→∞
18. lim
x→∞
20. lim
x→∞
22. lim
x→∞
24. lim
x→∞
26. lim
x→∞
28. lim
x→∞
5x2 + x +1
x 2 + 0,3
x 2 − x4 + x6
3x3 + 7x6 − x7 x9 + x3
x6 + x2
7x6 + 6x5 +1
3x2 + 4x −3x6 3x 2 + 4
x − 2
7x2 + 6x + 5
|
3x2 + 4x +1 |
|
|
|
||||||
|
x6 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 − x6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
7x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 −9x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3 |
|
|
|
x |
2 |
|||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
− 4 |
3x + 2 |
|
|||||||
3x |
|
|
||||||||
|
3x 2 |
+ 6x + 9 |
|
|
||||||
|
|
x 2 |
+ 3 |
|
|
|
|
30. lim |
x2 +3x +5 |
||||
x |
7 |
+ 4x |
6 |
+1 |
|
x→∞ |
|
|
1.2.4. Границя ірраціональної функції. Знайти границі
1. |
lim |
x2 + x +1 −1 |
|
x→0 |
x |
3. |
lim |
1+ x − 1− x |
|
x→0 |
2x |
2. |
lim x2 − |
25 |
|
|
x→5 |
x − |
5 |
4. |
lim |
1−2x + x2 −(x +1) |
|
|
x |
||
|
x→0 |
|
5. lim |
|
|
|
x +1 |
|
|||
|
6x |
2 |
+3 |
+3x |
||||
|
x→−1 |
|
|
|||||
7. lim |
|
5 + x − 2 |
||||||
|
x→−1 |
|
2x + 3 −1 |
|||||
9. lim |
3 − |
|
5 + x |
|||||
|
x→4 |
1− |
|
5 − x |
||||
11. |
lim |
1 + 2x −3 |
||||||
|
x→4 |
|
|
|
x − 2 |
|
||
13. |
lim |
1− x |
|
|||||
|
x→1 |
|
1− |
|
x |
|
||
15. |
lim |
|
x2 +3 +2x |
|||||
|
x→−1 |
|
|
|
x +1 |
|||
17. |
lim |
3 |
x −8 |
|
||||
|
x→64 |
|
x −4 |
|
||||
19. |
lim |
|
|
|
x |
|
||
1 + x − |
1 − x |
|||||||
|
x→0 |
|
||||||
21. |
|
|
|
x −3 |
|
|||
lim |
x −2 |
+1 |
||||||
|
x→3 |
|
|
|
||||
23. |
lim |
|
|
x − 2 |
|
|||
1 + 2x −3 |
||||||||
|
x→4 |
|
||||||
25. |
lim |
1− |
|
2x +1 |
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
27. |
lim |
|
2x +3 −1 |
|||||
|
x→−1 |
|
5 + x −2 |
|||||
29. |
lim |
1+ x + x2 −1 |
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
9
x − 5 6. lim x 2 − 25
x→5
5 − x −2
8. lim 2 − x −1
x→1
10. |
lim |
3 |
2x −2 |
|||
|
x→1 |
26 + x −3 |
||||
12. |
lim |
x −1 |
||||
|
x→1 |
x −1 |
|
|||
14. |
lim |
2 − |
|
x −3 |
||
x |
2 |
−49 |
||||
|
x→7 |
|
||||
16. |
lim |
3x −5 −1 |
||||
|
x→2 |
|
x −2 |
|||
18. |
lim x2 − |
x |
||||
|
x→1 |
|
x −1 |
|||
20. |
lim |
x 2 +1 −1 |
||||
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
22. |
lim |
x −1 −3 |
||||
|
x→10 |
x −10 |
||||
24. |
lim x + |
|
x −6 |
|||
|
x→4 |
x −5 |
x +6 |
|||
26. |
lim |
|
x −2 |
|||
4x +1 −3 |
||||||
|
x→2 |
|||||
28. |
lim |
3x −5 −1 |
||||
|
x→2 |
|
x −2 |
|||
30. |
lim |
x2 −7 −3 |
||||
|
x→4 |
|
x −4 |
10
1.2.5Границя тригонометричної функції. Знайти границі.
1. lim |
|
|
sin 4x |
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
x +1 −1 |
|
|||||||
3. lim |
cos8x −cos x |
|||||||||||
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. limtg5x +tg4x |
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
27x |
|
|
|
||||
7. lim1−cos x |
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||
9. lim |
cos3x −cos x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. lim |
1−cos 2x |
|
||||||||||
|
x |
3 |
− x |
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. lim |
tg3x −tg2x |
|
||||||||||
|
x |
2 |
−3x |
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||||
15. lim |
|
1−cos 2x |
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
17. lim |
cos5x −cos3 5x |
|||||||||||
|
|
|
|
6x |
2 |
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
19. |
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
|
sin x |
|
|||||
|
x→0 |
|
tgx |
|
|
|
||||||
21. lim |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|||
tgx −sin x |
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|||||||||
23. lim |
|
x +1 −1 |
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|||||
25. lim |
1−cos2 x |
|
||||||||||
|
x→0 |
|
x arcsin x |
|
2. lim sin 7x |
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|||
4. lim sin 7x +sin x |
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|
||
6. lim |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
(1+ctg |
2 |
x) x |
2 |
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
||||||||
8. lim arcsin 3x |
|
|
|||||||||
x→0 |
|
arctg7x |
|
|
|||||||
10. lim(ctgx −cos ecx) |
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. lim |
|
x arcsin x |
|
|
|
||||||
cos |
2 |
5x −1 |
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
||||||||
14. lim tgx −sin x |
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
16. lim |
π / 2 − x |
|
|
||||||||
x→π / 2 |
1−sin x |
|
|
||||||||
18. lim sin x +sin 3x |
|||||||||||
x→0 |
|
arcsin 2x |
|
|
|||||||
20. lim arctg5x |
|
|
|||||||||
x→0 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||
22. limx |
|
sin 4x −sin x |
|||||||||
cos3x −cos 2x |
|||||||||||
x→0 |
|
|
|||||||||
24. lim sin 5x +sin 7x |
|||||||||||
x→0 |
|
sin 7x −sin 5x |
26. lim(sin 5x ctg3x)
x→0