ВМ
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
з вищої математики для студентів технічних спеціальностей
денної форми навчання
(3-й семестр)
2006
2
Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчанн (3-й семестр). /Укл.: Гальченко Л.В., Засовенко В.Г., Шаніна З.М., – Запоріжжя: ЗНТУ, 2006.- 50с.
Укладачі: Гальченко Л.В., к.т.н., доцент Засовенко В.Г., к.ф.-м.н., доцент Шаніна З.М., к.т.н., доцент
Рецензент: Онуфрієнко В.М., к.ф.-м.н., професор
Відповідальний за випуск: доц. Гальченко Л.В. ,к.т.н., доцент
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики Протокол № 5 від 21.12.05 р.
|
3 |
|
|
ЗМІСТ |
|
|
|
Стор. |
1. |
Вказівки до виконання індивідуальних завдань. |
4 |
1.1 |
Аудиторні завдання |
4 |
1.2 |
Варіанти індивідуальних завдань. |
6 |
2. |
Операційне числення |
20 |
2.1 |
Аудиторні завдання |
20 |
2.2 |
Варіанти індивідуальних завдань. |
21 |
3. |
Теорія функції комплексної змінної. |
32 |
3.1 |
Аудиторні завдання. |
32 |
3.2 |
Варіанти індивідуальних завдань. |
34 |
|
Література |
50 |
4
1.ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ.
1.1 Аудиторні завдання
Завдання1. Дослідити збіжність рядів за необхідною ознакою збіжності.
∞ |
n |
∞ |
n +1 |
|
||
а) ∑ |
б) ∑ ln |
|
||||
|
|
|
||||
n=1 n +1 |
n=1 |
n1 |
||||
|
Відповідь: а) розбіжний б) може бути збіжним |
|||||
|
Завдання 2. Дослідити збіжність рядів |
|
∞ |
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 n |
2 |
||||||||||
а) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2n |
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
в) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+1) ln(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 (n |
|
|
∞ |
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Відповідь:а) розбіжний, б) розбіжний, в)розбіжний, г)збіжний , |
||||||||||||||||||||||||||||||
д) збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Завдання 3. Дослідити збіжність ряду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∑(−1)n |
|
|
|
б) |
∑(−1)n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Відповідь:а) збіжний, б) збігається умовно |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Завдання 4. Знайти область збіжності степеневого ряду: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
xn |
|
|
|
|
∞ |
(x + |
2)n |
∞ |
|
n+1 x 2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
в) ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 n 2n−1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Відповідь: а)(- ∞ ;+∞); |
б) [− 4;0) ; |
|
в) [−1;1] |
|
|
|
|
|
5
Завдання 5. Розвинути функцію в ряд Тейлора за ступенями x f(x)=e −x 2
Завдання 6. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001
1∫ e−x 2 dx
0
Відповідь: 0,747.
Завдання 7. Методом послідовного диференціювання знайти п′ять перших членів відмінних від нуля, розвинення в ряд розв′язання диференціального рівняння
y″=x2+y2, y(-1)=2; y′(-1)= 12
Відповідь: у = 2 + 12 (х +1) + 52 (х+1)2 + 1615 (х+1)4+ 18 (х+1)5
Завдання 8. Знайти розв′язок рівняння у″+ху′+у = х соsx, y(0)=0 y′(0)=1,використовуючи метод невизначених коєфіцієнтів.
Відповідь: y= sinx
Завдання 9. Розвинути в ряд Фур′є функцію на зазначеному ін-
тервалі
а) f (x) = π, |
|
|
−π ≤ x ≤ 0 |
|
б) f(x)=x2 ; |
T=2l ; x [−1,1] |
|
|||||||||||||||||
|
|
π − x, |
|
0 < x ≤π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x ) |
|
|
3π |
|
|
2 |
|
cos |
x |
|
|
cos |
3 x |
|
cos |
5 x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a ) |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
12 |
|
+ |
|
|
2 |
|
+ |
|
2 |
+ ... |
+ |
||||
|
4 |
|
π |
|
|
3 |
|
5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− |
sin |
|
x |
+ |
|
sin 2 x |
− |
sin |
|
3 x |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
б ) f (x ) = |
1 |
+ |
|
4 |
∑∞ |
(− 1)m |
cos mx |
|
3 |
π 2 |
m 2 |
||||||
|
|
m = 1 |
|
1.2Варіанти індивідуальних завдань
1.2.1Дослідити збіжність ряду за необхідною ознакою збіжно-
сті: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∑n arctg |
|
||||||||||
|
|
n |
||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
∑n |
|
|
n |
− |
|
|
|||||
|
e |
|
1 |
|||||||||
5. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
1 + 9n |
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
||||||
7. |
n=1 |
|
16n + 3 |
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
||||
|
∑tg |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
+ 4n |
|
|
|
|||||||
9. |
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
2n + 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
||||||
11. |
n=1 |
n |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||
|
∑sin |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2n |
2 |
|
|
|
|
||||||
13. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
n |
4 |
+ 1 |
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
15. |
∑arcsin |
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
∑ ln n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
n3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||
19. |
∑ n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2. |
∞ |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∞ |
|
|
|
|
(n −1)3 |
|
|
|||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+ 5n |
2 |
|
+ 3 |
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑arccos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
||||||||||||
|
∑ln 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||
12. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
1 + n2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
14. |
n=1 |
1 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
n=1 |
|
n+4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
∑ln 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
18. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
|
∑arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||
20. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
∑n2 (e |
|
|
|
|
−1) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
n=1 |
|
n2 + 2n |
|
|||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
23. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
∞ |
|
|
3n |
2 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
∑ |
2n sin |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
n |
|
|
|
1+5 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ n n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
1 |
+n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
5n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
29. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
∑(n +1) |
2n+1 −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1.2.2 Дослідити збіжність ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)! |
|
2. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∑ n!(2n + |
|
|
∑ n! n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
n=1 |
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
∞ |
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4. |
∞ |
|
(3n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∑ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
+ 5 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
10 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
2n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2n +3 |
|
|
|
|
|
(n +1)4 |
n+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
∞ |
|
n !(2n +1)! |
8. |
∞ |
|
|
2n n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
∞ |
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
∞ |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∑ |
|
4 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
12. |
n=1 |
|
|
(n!)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∑n!sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
(3n |
2 |
+1) |
(2n)! |
|
|||||||||||||||||||||||||
13. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
∞ |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17. |
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
||||
|
∑ n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19. |
n=1 |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ n!(2n + 1)! |
|||||||||||||||
21. |
n=1 |
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
n + 5 |
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
∑ |
|
sin |
|||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||
23. |
n=1 |
|
|
|
|
n! |
3 |
|
||||||||
∞ |
10 |
n |
|
− 2n! |
|
|
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
||||||||
25. |
∞ |
|
(n!)2 |
|
|
|||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 3)! |
|
|
||||||||||
29. |
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
8
16. |
∑ |
|
|
|
|
n! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
(n !) |
|
|
|
− |
1) |
|
|||||||||||||
18. |
∑ |
6 |
|
|
(n |
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
20. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
2n |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22. |
∞ |
(2n + 3)! |
|
1 |
|||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n + 5 |
|
|
n |
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
24. |
∑ |
2 |
|
|
|
|
(n |
|
+1) |
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
26. ∞
∑
n=1
28. ∞
∑
n=1
30. ∞
∑
n=1
n + 1 2n (n −1)!
(3n)!
2n2
n! n4 + 1
1.2.3 Дослідити збіжність ряду:
1. |
∞ |
n + 1 n2 |
1 |
2. |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
||||
|
|
n |
|
|
||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
|
n2 |
4. |
||||||||
∞ |
|
|
2n |
|
|
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n + |
3 |
|
|
|
|
|||||||
5. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
6. |
||||||
∞ |
|
|
n |
|
n3 |
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
n=1 |
3n −1 |
|
|
|
|
8. |
|||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
n / 2 |
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
3n + 1 |
|
|
|
|
∞ |
|
n n+2 |
|||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n / 2 |
|
|
n=1 |
(2n2 +1) |
||||
∞ |
|
|
|
|
|
∑ 2n−1 e−n |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|||
∑ |
2 |
|
|
||
|
n |
||||
n=1 |
|
n |
|||
∞ |
|
2n 2n+1 |
|||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
3n +1 |
9
9. |
∞ |
|
|
|
|
n + 1 n2 |
|
|
10. |
∞ |
||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||||
|
2n − 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
n=1 |
|||||||||||||
∞ |
|
2n + 3 n2 |
|
|
∞ |
|||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
n=1 |
|
|
n + 1 |
|
|
14. |
n=1 |
||||||||||||||||
∞ |
|
n + 2 n2 |
|
|
∞ |
|||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||||||||||||||
15. |
∞ |
arctg 2n n2 |
|
|
16. |
∞ |
||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
∞ |
|
|
|
|
ln n 2n |
|
|
∞ |
||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
∞ |
|
cos |
n+1 |
π n |
|
|
∞ |
|||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
n=1 |
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||
|
2 |
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
23. |
n=1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
24. |
n=1 |
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∞ |
|||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∑ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
25. |
n=1 |
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
n=1 |
||||||||||
∞ |
n + 1 |
−n |
2 |
|
|
|
|
∞ |
||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
27. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
n=1 |
|||||||
∞ |
n +1 n2 |
|
|
|
−n / 2 |
∞ |
||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
∑ |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
29 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
n=1 |
||||||||||
∞ |
|
|
|
2n2 + 1 n |
|
∞ |
||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
1 + n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||||||||||||
|
1.2.4 Дослідити збіжність ряду: |
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∞ |
|
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
1 |
|
n |
−n2 |
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
||
n +1 |
|
4n − 3 n25n + 1
n2
2n2 +1n2 +1
|
n |
|
n2 |
e |
n / 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+ |
|
1 |
n2 |
|
|
|
1 |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
4n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
+ n n / 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− |
|
ln n n |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n + |
1 n+2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n + 1 2n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
n2 |
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
n +1 |
|
|
|
|||||||||||||||
2n −1 |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + 3n |
|
|
|
|
n
n2 + 1
∞e− n
3.∑ nn=1
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n ln n ln ln n |
||||||||||||||||||
|
n=2 |
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
||||||||
7. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
2 |
|
|
−4n +3 |
||||||||||||
|
n=4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
9. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
−9 |
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
11. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 n2 +5n +6 |
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +3 |
|
|||||||
13. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
+ 2n −3 |
|||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
17. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
2 |
|
+ 4n +3 |
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n −1 |
||||||
19. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
2 |
+ 4n +3 |
||||||||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
|||||
21. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
2 |
|
−8n +7 |
||||||||||||
|
n=8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
23. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
2 |
|
|
−6n −7 |
||||||||||||
|
n=8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 2n |
|
|||||||
25. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
+5n + 4 |
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞1
27.∑ 8n +7n2 +n=1
∞ln5 n
29.∑ nn=2
10
4. |
∞ |
|
|
|
|
|
ln n |
|||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n( ln |
4 |
n +1) |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∑ ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1−n |
|
||||||
8. |
∑ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
2 |
|
−5n +6 |
||||||||||
|
n=4 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
3n −2 |
|
|||||||
10. |
∑ |
|
|
|
||||||||||
n |
2 |
|
−2n −3 |
|||||||||||
|
n=4 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
2 |
|
− n |
−6 |
|||||||||
|
n=4 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
ln 2 n |
|||||||
16. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(ln |
6 |
n +9) |
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n +1 |
|
||||||
18. |
∑ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
2 |
−5n + 4 |
|||||||||||
|
n=5 |
|
|
|
∞1
20.∑ 2
|
n=5 |
|
n −3n −4 |
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 − n |
|
|
||||
22. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
2 |
+3n |
− 4 |
|||||||
24. |
n=2 |
|
|
|
||||||||
∞ |
|
n2 − 2 |
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
3 |
+1 |
|
|
|||||||
26. |
n=1 |
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+ 6n −7 |
|||||||||
28. |
n=2 |
|
||||||||||
∞ |
|
|
arctg n |
|
|
|||||||
|
∑ e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
30. |
n=1 |
1+n |
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
9 + n |
4 |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|