- •Рабочая программа
- •Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Контрольные вопросы
- •Конспект лекций
- •Предисловие
- •Матрицы
- •Виды матриц
- •Равенство матриц
- •Линейные действия над матрицами
- •Линейная зависимость и независимость
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Умножение матриц и системы линейных уравнений
- •Умножение матриц
- •Свойства умножения матриц
- •Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений
- •Элементарные преобразования строк матрицы
- •Обратная матрица
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Определители и системы линейных уравнений
- •Определители матриц второго порядка
- •Свойства определителя матриц второго порядка
- •Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
- •Определитель произвольного порядка
- •Свойства определителей произвольного порядка
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Использование определителей для вычисления обратной матрицы и решения систем линейных уравнений
- •Отыскание обратной матрицы с помощью определителей
- •Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Системы уравнений с параметрами
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений в общем случае
- •Матричная запись произвольной системы
- •Ранг матрицы
- •Основная теорема о ранге матрицы
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Раздел 11. Аналитическая геометрия
- •Координаты на прямой, плоскости и в пространстве
- •Простейшие задачи на координатной плоскости
- •Прямоугольные координаты в пространстве
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Векторы и действия над ними
- •Понятие вектора
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения
- •Некоторые задачи с прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Общее уравнение плоскости
- •Прямая в пространстве
- •Взаимное расположение прямых и плоскостей
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Линейные пространства
- •Основные понятия
- •Линейно независимые вектора и базис линейного пространства
- •Преобразование координат при переходе к новому базису
- •Подпространства и решения системы однородных линейных алгебраических уравнений
- •Линейные преобразования
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Контроль знаний
- •Контрольная работа №3
- •Ответы
- •Глоссарий
- •Литература
2.6.3. Прямоугольные координаты в пространстве
Если в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то точка M, имеющая координаты x(абсцисса), y(ордината), z(аппликата), обозначается M (x, y, z)
Расстояние между точками A(x1 ; y1 ; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) обозначается d (A, B) и вычисляется по формуле
d (A, B) = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (6.3.1)
В частности,
|
|
d = |
x2 + y 2 + z 2 |
|
|
|
|
|
(6.3.2) |
|
||||||||||
есть расстояние от точки M (x; y; z) до начала координат. |
|
|||||||||||||||||||
Если отрезок АВ с концами |
A(x1 ; y1 ; z1 ) и |
B(x2 ; y2 ; z2 ) разделен точкой |
||||||||||||||||||
C(x; y; z) в отношении λ = ± |
|
|
AC |
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
|
x1 + λx2 |
, |
y = |
|
|
y1 + λy2 |
, z |
= |
z1 + λz2 |
|
(6.3.3). |
|
|||||||
|
1 + λ |
|
|
1 + λ |
1 + λ |
|
||||||||||||||
Пример 6.10. Даны точкиM1 (1;3;0) , M 2 (−3;3;4) .Найти точку M, которая де- |
||||||||||||||||||||
лит отрезок M1M 2 в отношении λ = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
По формулам (6.3.3) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x = xM = |
1+3×(−3) |
= −2 , y = yM = |
|
3 + 3 ×3 |
= 3, z = zM = |
0 + 4 ×3 |
= 3 |
|||||||||||||
1+3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3 |
|
|
1 + 3 |
|
Следовательно M (−2;3;3) .
Пример 6.11. Дан треугольник с вершинами A(2;2;2) , B(6;2;−1) , C(8;10;2) . Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла A со стороной CB.
Воспользуемся тем, что биссектриса угла A делит сторону CB на части, пропорциональные прилежащим сторонам AB и AC треугольника.
Для этого найдем длины сторон AB и AC:
AB = (6 − 2)2 + (2 − 2)2 + (−1 − 2)2 = 42 + (−3)2 = 5
AC = (8 − 2)2 + (10 − 2)2 + (2 − 2)2 = 62 +82 = 36 + 64 =10
Следовательно CD = 10 = 2 = λ . Поэтому
DB 5
x D |
= |
xC +λx B |
= |
8 + 2×6 |
= |
20 |
, yD |
= |
10 |
+ 2 |
×2 |
= |
14 |
, zD |
= |
2 + 2 × (−1) |
= 0 |
, |
|||||
1 |
+λ |
1 |
+ 2 |
3 |
|
1 + 2 |
|
3 |
1 + 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. D( 203 ;143 ;0) .
63
Пример 6.12. На оси OY найти точку, |
|
равноудаленную от точек |
||||||
A(-4;2;5) и B(2;-3;7). |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть M – искомая точка. Так как она лежит на оси OY, то ее координа- |
||||||||
ты (0;y;0), и должно выполняться равенство |
|
AM |
|
= |
|
MB |
|
. Поэтому |
|
|
|
|
|||||
AM = (0 −(−4))2 +(y −2)2 +52 , MB = |
|
(0 −2)2 +(y +3)2 +52 |
После возведения в квадрат получаем:
16 + ( y − 2)2 + 25 = ( y + 3)2 + 4 + 49
т.е.
( y − 2)2 + 41 = ( y + 3)2 |
+ 53, |
|
− (4 + 6) y =17 . |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
y = − |
17 |
, |
M(0;− |
17 |
;0) |
||
|
|
|
|||||
10 |
10 |
||||||
|
|
|
|
Задача 6.19. Даны точки A(2;2;2) и B(-2;4;6). Найти координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части.
Задача 6.20. Треугольник ABC имеет вершины A(2;3;4), B(8;11;4), C(0;4;2). Показать, что угол А – тупой.
Задача 6.21. В каком отношении точка M , равноудаленная от двух точек A(3;1;-4) и B(3;5;4) разделит отрезок оси OY от начала координат до точки
C(0;6;0)?
Задача 6.22. На оси OY найти точку, равноудаленную от точек и M 2 (−3;5;2) .
Вопросы для самостоятельного контроля
1)Что такое А(5), В(-2),С(0,3)?
2)Чему равно расстояние между точками А(х1) и В(х2)?
3)Как найти координату точки, которая делит отрезок оси в заданном отношении?
4)Когда отношение, в котором точка делит отрезок – величина отрицательная?
5)Что такое координата точки на координатной оси?
6)Что такое координаты точки на плоскости?
7)Как найти расстояние между точками А(х1,y1,z1) и В(х2,y2,z2)?
8)Чему равно расстояние между точками А(х1,y1) и В(х2,y2)?
9)Как найти длину отрезка на плоскости? В пространстве?
10)Как найти площадь треугольника с помощью определителя?
11)Как находятся координаты точки, которая делит в заданном отношении отрезок на плоскости?
12)Как найти периметр треугольника?
64