- •Рабочая программа
- •Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Контрольные вопросы
- •Конспект лекций
- •Предисловие
- •Матрицы
- •Виды матриц
- •Равенство матриц
- •Линейные действия над матрицами
- •Линейная зависимость и независимость
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Умножение матриц и системы линейных уравнений
- •Умножение матриц
- •Свойства умножения матриц
- •Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений
- •Элементарные преобразования строк матрицы
- •Обратная матрица
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Определители и системы линейных уравнений
- •Определители матриц второго порядка
- •Свойства определителя матриц второго порядка
- •Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
- •Определитель произвольного порядка
- •Свойства определителей произвольного порядка
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Использование определителей для вычисления обратной матрицы и решения систем линейных уравнений
- •Отыскание обратной матрицы с помощью определителей
- •Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Системы уравнений с параметрами
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений в общем случае
- •Матричная запись произвольной системы
- •Ранг матрицы
- •Основная теорема о ранге матрицы
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Раздел 11. Аналитическая геометрия
- •Координаты на прямой, плоскости и в пространстве
- •Простейшие задачи на координатной плоскости
- •Прямоугольные координаты в пространстве
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Векторы и действия над ними
- •Понятие вектора
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения
- •Некоторые задачи с прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Общее уравнение плоскости
- •Прямая в пространстве
- •Взаимное расположение прямых и плоскостей
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Линейные пространства
- •Основные понятия
- •Линейно независимые вектора и базис линейного пространства
- •Преобразование координат при переходе к новому базису
- •Подпространства и решения системы однородных линейных алгебраических уравнений
- •Линейные преобразования
- •Вопросы для самостоятельного контроля
- •Контроль знаний
- •Контрольная работа №3
- •Ответы
- •Глоссарий
- •Литература
Пример 7.15. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
A(2;5;4), B(4;7;1) C(4;8;3) и D(-2;3;5).
|
|
|
Имеем |
→ |
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
AB = (2;2;−3) , AC = (2;3;−1) , |
AD = (−4;−2;1) . Их смешанное произве- |
|||||||||||||||||||||||||
дение |
есть: |
|
|
2 |
2 |
−3 |
|
= 2(3 − 2) − 2(2 − 4) −3(−4 +12) = 2 + 4 − 24 = −18 . |
Поэтому |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
1 |
|
−18 |
|
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Задача 7.14. Вычислить смешанное произведение векторов |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
+ b , |
b |
+ c |
|||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c |
− a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача |
7.15. |
|
Найти смешанное |
произведение |
векторов |
→ |
= |
→ |
− |
→ |
→ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 i |
j− k , |
|||||||||||||||||||||||
→ |
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
= i +3 j |
− k |
и c = i |
+ j |
+ 4 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Задача |
7.16. |
Показать, что вектора |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
и |
||||||||||||||
|
|
|
a |
= 6 i +5 j+ |
7 k , |
b |
= 3 i |
+ j− k |
|||||||||||||||||||||
→ |
= |
|
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
3 i |
+ 2 j+ 2 k компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7.17. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(1;1;1), B(3;2;2), C(3;4;3) и D(4;4;5).
Задача 7.18. Показать, что точки A(4;6;-3), B(2;0;2), C(8;3;-5) и D(0;4;-1)
лежат в одной плоскости.
Вопросы для самостоятельного контроля
1.Что такое вектор?
2.Что такое координаты вектора?
3.Как находится длина вектора?
4.Как находится сумма двух векторов?
5.Что такое произведение вектора на число?
6.Что такое скалярное произведение двух векторов?
7.Что такое векторное произведение двух векторов?
8.Что такое смешанное произведение векторов?
9.Как найти вектор, если известны координаты его концов?
10.Как найти площадь параллелограмма, если известны координаты его вершин?
11.Как найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин?
12.Как найти объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин?
13.Чему равно скалярное произведение ортогональных векторов?
14.Как найти угол между векторами?
70