2.3. Определители и системы линейных уравнений

2.3.1. Определители матриц второго порядка

При отыскании обратной матрицы А-1 для матрицы второго порядка с помощью элементарных преобразований в примере 2.10 оказалось, что все элементы обратной матрицы получаются делением элементов матрицы, присоединенной к матрице А, на число ∆ = a11a22 − a12 a21 . Поэтому рассмотрим ве-

личину ∆ подробнее.

Пример 3.1. Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и произвольными матрицей коэффициентов при неизвестных и матрицей-столбцом правых частей:

a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2

Указание. Если действовать с буквами затруднительно, сначала можно задаться системой с числовыми коэффициентами.

Воспользуемся методом исключения неизвестной. Для исключения неизвестной х2 умножим первое уравнение системы на коэффициент при х2 во втором уравнении а22, а второе уравнение – на коэффициент при неизвестном х2 в первом уравнении а12. Тогда система примет вид:

a22 (a11 x1 + a12 x2 ) = b1a22a12 (a21 x1 + a22 x2 ) = b2 a12

Теперь вычтем из первого уравнения второе. При этом неизвестное х2 исчезнет и останется одно уравнение с одним неизвестным х1:

(a22 a11 − a12 a21 )x1 = b1a22 −b2 a12

Аналогично, после исключения неизвестного х1, получим:

(a22 a11 − a12 a21 )x2 = b2 a11 −b1a21

Оба уравнения содержат в качестве коэффициента при оставшихся неизвестных ∆ = a11a22 − a12 a21 . Он возникал раньше при отыскании обратной матрицы. Правые части также представляют собой аналогичные разности произведений элементов матрицы А и правых частей исходной системы. Заметим, что в тех случаях, когда коэффициент ∆ не равен нулю, после деления на него получаются явные выражения для неизвестных х1 и х2. Для записи этих выражений удобно ввести понятие определителя матрицы второго порядка.

Определителем квадратной матрицы А второго порядка А=(аij), где i=1,2; j=1,2 называется число:

∆ = a22 a11 − a12 a21 .

Определитель матрицы второго порядка записывается А или det(А) и читается определитель А или детерминант А:

A = a11a22 −a12 a21

30

Можно сказать, что определитель второго порядка равен числу, которое получается после вычитания из произведения элементов на главной диагонали произведения элементов матрицы на побочной диагонали.

Для первого определителя получаем: А =3×7-5×4=21-20=1. А для вто-

Сравните получившиеся результаты и обратите внимание на совпадение некоторых результатов (точное или с точностью до знака), а также на равенство определителя нулю. Попробуйте объяснить их.

2.3.2. Свойства определителя матриц второго порядка

Определители матриц второго порядка зависят от величины всех элементов матрицы А. Справедливы следующие свойства определителей:

1)определитель матрицы А совпадает с определителем транспонированной матрицы Ат;

2)после перестановки двух строк (или столбцов) матрицы местами величина определителя меняет знак;

3)если определитель имеет совпадающие строки (или столбцы), то определитель равен нулю;

4)общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя;

5)если в определителе имеются пропорциональные строки или столбцы, то определитель равен нулю;

6)определитель не изменится, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на произвольное число;

7)определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки(столбцы) этой матрицы пропорциональны;

8)если строка (или столбец) определителя равна сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых эта строка (столбец) заменена слагаемыми.

Рекомендация. Доказательства этих свойств можно использовать в качестве задач для вычисления определителей. При этом полезно перейти от численных примеров к алгебраической записи свойства и его анализу.

В качестве примера докажем шестое свойство.

Надо доказать, что величина определителя матрицы A = a22 a11 − a12 a21 не

изменится, если ко второй строке матрицы А прибавить первую строку, умноженную на произвольное число λ. Действительно, элементы второй стро-

31

ки получающегося после такого преобразования определителя равны a21 + λa11 и a22 + λa12 . Поэтому для величины нового определителя получаем:

a11 (a22 + λa12 ) − a12 (a21 + λa11 ) = a11a22 − a12 a21 +λ(a11a12 −a12 a11 ) = A.

Свойства определителей можно использовать для их вычисления. Это полезно делать, когда элементы определителя большие числа, с помощью свойств 4),5),6),8). Применяя эти свойства так же, как для матриц элементарные преобразования, нередко удается сделать хотя бы один из элементов равным нулю или значительно уменьшить элементы определителя, как это было в определителях 1), 7) и 8) задачи 3.1.

Пример 3.3. Используя свойства определителей, вычислить:

Здесь при вычислении первого определителя полезно заметить, что из первой строки и из первого столбца можно вынести общие множители. По-

тель, а затем нашли оставшийся множитель.

Во втором определителе точно так же полезно сначала вынести общие множители 3 из первого столбца и 11 из второго. Тогда строки определителя оказываются пропорциональными, и по свойству 5) определитель равен 0. Этот результат можно получить иначе, если вычесть из второй строки исходного определителя первую строку, умноженную на 15. Тогда вторая строка окажется нулевой, и, следовательно, определитель равен нулю.

В последнем примере вычисление упрощается, если сначала вычесть из первой строки умноженную на 2 вторую строку. Тогда остается:

Указание. Также как при решении примеров 3.2, преобразования определителя можно делать разными способами, но результат всегда должен оставаться одинаковым. Это обстоятельство очень полезно использовать для контроля вычислений. Если результаты оказываются одинаковыми, возникает удовлетворение и даже радость победы в тех случаях, когда вычисления казались сложными. Тем самым сомнения порождают удовольствие.

Задача 3.2. Используя свойства определителя матрицы второго порядка, вычислить определители:

32

2.3.3. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей

В примере 3.1. решение системы двух уравнений с двумя неизвестными методом исключения переменных привело к уравнениям с одним неизвестным. Все коэффициенты в полученных уравнениях представляют собой определители матриц второго порядка. Коэффициент при неизвестных равен A матрицы коэффициентов при неизвестных исходной системы (его обычно

обозначают ∆). Выражения в правых частях представляются в виде:

Заметим, что определители ∆1 и ∆2 получаются из определителя ∆ заменой первого и второго столбцов соответственно столбцом правых частей.

Выражение неизвестных в виде отношения определителей ∆1, ∆2 и ∆ на-

зывается правилом Крамера.

Пример 3.4. С помощью правила Крамера решить систему уравнений:

15x −8y = −1017x − 4 y =14

Здесь

Поэтому получаем:

Подстановка найденных значений неизвестных в исходную систему 15×2-8×5=-10,17×2-4×5=14 показывает, что действительно получено решение.

Указание. Полученное решение всегда следует проверять подстановкой в исходную систему для контроля возможных ошибок.

Задача 3.3. Найдите решения систем двух уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей:

Правило Крамера можно обобщить и аналогично записать и вычислить решение любой линейной алгебраической системы n уравнений с n неизвестными через определители матриц порядка n. Поэтому перейдем к понятиям, которые необходимы для определителей матриц порядка n.

33