Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004
.pdfДоказательство. Пусть формула (3.4) являете» противоречием, тогда ее отрицание является тавтологией:
|
(3.6) |
Очевидно, имеем |
|
Следсюэтельно, утверхгдение (3.6) можнозаписатьв виде: |
|
|
(3.7) |
Из (3.7) по теореме 3.2 получаем, что |
|
(Л,&4г&..,&4„) |-В. |
0.*) |
Теперь, используя утперлдекие (3.2) теоремы 3.3 и утверждение (3.8), получимтребуемое утверждение (3.5). Теорема доказана.
Используя утверждения (3.2) и (3J) теоремы 3.3, можно полу чать следствия из заданного множества формул следующим образом.
Для |
заданного множества |
формул Л„ Аъ--Ат т -Ь |
строим |
|
ИХ |
конъюнкцию: C~/4i&/fi4...<tJ,. Для |
С находим |
с.к.н.ф.: |
|
О* |
Й1&Я1&...&О1., здесь |
!>< 1USk. - |
элементарные |
суммы |
(диэ-ыонкгы}. Теперь по указанной теореме 3.3 получаем, что каждый днзыонктD,, \< !<к, а также ихконъюнкции яюшотся следствиями из
A„A„...Am, w>l, т. е. имеем: АиАп^Ая^О,для любогоI,ls(s£
/41(Л;,...,/4.ih &-А,, &...&Djr, ДЛЯ любого Г, 1< Гбк Илюбы* I),
Jb.-.i/» si. Sb-.Jri к.
Заметим, что для формул логики предикатов понятие логическо го следствия нз данной формулы [данных формул) введено о § 6 гл. 2. Нетрудно убедиться, что теоремы 3.1 - 3.4 остаются в силе и для формул noi-ики предикатов, а частности, теорема3.2 для формул логики предикатов уже доказана (см. теорему 2.1).
4!£№- Ул«й отдапь.
Вотrf vkm гяубохляистина.
ЛюЦзы
§ 2. Резольвента дитыонктовлознки высказываний
Пропозициональные буквы с отрицание*! нибо без отрицания,
Питеры L и 1 L назымкчся контрарными. Например, в дизгюкстах С,=Р>/| Q и />л—1 P^Q^S литеры Р и 1 Р - контрарные Такжеконтрарны льттеры Q и 1Q.
Пустьдля дизъюнктовi>i к Di существуетлитере Ii в В\, кото рая контрарналитереXj вi>j. Вычеркнув L\ aIj из£)\ иD: соогветственпо, построим дязъкнгкцию оставшихся частей D, и Di. Получен ный таким образом дизъютоггназываете? {бинарной}резольвентойD; и£h. ею частообозначают черезЛ.
Примерь:. I. Пусть£>i“fv£>, Di'l PvГ,тогдаS=Q/T.
2.Пусть Dr-P, Bj- . P-JQ (iV'P=»01 тогда Я-О, ниаче нз P иP=>Qполучаеы Q.
3.Пуст»Oj=1 PvQ (Dr-P^Q). Di= Q^T(Ih=Q=>r), тогдаft--] PvT(R-P=>D. ИначеизP^Q »g=.J получаемР=зГ.
Теорема £5. Пусть для дизъюнктов D и D, существует резольвентаЛ. ТогдаX естьлогическоеследствиекзDi и Dj.
Доказательство. ПустьD|-PvZ>i", ft=l Pv IX,*, где D,‘ - ос тавшаяся часть диэъюнета ’=1,2 Докажем, что DiJ)-, ^ D^vDt*. Выпишем всевозможные наборы истинмостних яшкннй бука, вхо дящих * D) н Di- Выберем набор, положим А-й, не котором Di=H к Dj-И. Допустим, что на этом ^-м наборе буква Р принимает
значение И, тогда 1 Р=Л. поэтому должно быть D ^-li, следовательно,Л ,^А ’=Я
Таким образом, из истинности Z>i и А получили истинность D\“vOj". В случае, если m t-м набеге Р-Л, то и вновь полу чаем, что из истинности £)| и Dj следует истинность D,VDj’ В силу произвольности выбранного набора получаем, что из истинности наследует истинностьдля ОЛ-/А*, чтонтребовало:!, доказать.
Qieiyc* rmmammk перей собой чеяь мзыекат епмвбришенЬя всаюдт .. одним и притом проста
Даламбер 13. Метод резолюций в логике пыеказываннн
Рассмотрим задачу вдоснениг, Судет ли В логические следстанем изЛ^!,...^*, г.«. хсткнналистсдующаязапись:
A,At,.-An,\’В.
В | 1 данной главы показано, что ма задача сводится к выясне нию невыполнимостиформы
СМ,&4А...Ы«&1в.
Найден для формулы Ссе к.н.ф., то ссть получим конъюнкцию люъюкктоа: C=Di&A<£..
Множество дизъюнктов {2i,Z)b.->>£t} считается н£|ТЫЛ0Л’1и.ндо гегдаи юлысотогда, когдаформулаСневыполнима.
Методом резолюций называется последовательное получение бинарных реэольвекг из даниьп* дгоьюк-ггов и пновь получаемых адъюнктов. Пусть, например, даныдизмоиггы
0,=Л/Г, £>1=1 Рч/Г, л -1 Г.
Используя D, и Di, затемD, и D>, получим резольвенты D,-T: D*—r. затгмvs 1У\КDa—пустойдюъюнкт,который будем обозначать черяз11
Можнодоказатьследующуютеорему.
Теорема 3.6 (полнота метода резолюций). Множество .? дизъюнктов невыполнимотогда и толькотогда, когда существует вы вод пустогодиэмонкга□ из S (имеется е виду, что выводом явимся применениеметодарезолюций).
Существует мною различных подходов к построению выводе с помощью метода резолюций. Рассмотрим некоторые из них: метод насыщения уровня, стратегию вычеркивания, лок-резолюцию и один истоддлядюъюнктавспециального вида.
Ктъ сгазовойты веодупогрузшсх. Невозли равно, таи яу(ииа?
§4. Метод иясыщсння уровня
Рвнее был введен метод резолюций и приведет теорема, утверждающая полноту метода резолюций. Пусть имеем множество дтъктиов S={0i,Db..„Di}. Процедуре получение бинарных резольвент неоднозначна, ибо можно сравнивать £>] и D), затем £>i и Dj или гак-то иначе. Рассмотрим метод насыщения уровня. Он состоит t вытислении всех резольвент всех пар дитыонкгов из 5, добавлении этих резольвент к множеству S, вычислении всех следующих резольвент и повторении этого процесса до тех пор, пока не найдется пустой дизъюнкт 3, либо будет установлено, что пустой дюьюикт получил, нельзя. Это зщчнт, мы порождаем
....гдеJ’-S.aS'^ipejo.ibKfflbi^HD,:
Чтобы запрограммировать уют метод на ЭВМ, можно сперва запиит, дичьюнкты iPuS'v.-vS"', затеи вычислять резольвенты, сравнивал последовательно каждый дизъюнкт
с каждым дизъюнктом fteS"1, который расположен после D,, Когда резольвента вычислена, она присоединяется к концу списка, порож денному кэтому времени Перейдем к реализации этого процесса для случаи, iVQ,1PvQ. PvlQ. 1fv l Q).
(2)IP*Qi
(3)Pvl Q,
(4)lPvlft
|
(5)6 |
из (1) и(2); |
|
|
I6)P |
из(1)и(3); |
|
|
(7)gvl2 |
из (1) и(4); |
|
|
(8)М /> |
из(1) и (4); |
|
|
0)0*1 б |
ш(2)и(3); |
|
|
(10)/Vl? |
из(2)и(3); |
|
|
(11)1р |
|
из (2) и (4); |
|
(12)1 Q |
|
из (3) и (4); |
S': |
(13)Pv0 |
нз(1)н(7); |
|
|
{U)PvQ |
ш(1)и(8); |
|
|
(15)Pv£? |
иа(1)н(% |
|
|
(16)Л-6 |
its (1) и(10); |
|
|
(17)5 |
|
из {1)ч СП); |
|
(18)? |
|
из (I) и(12); |
|
(19)2 |
|
из (2) и (6); |
|
(20) |
li v e ИЗ(2) и(7); |
|
|
(21) liV fi |
из (2) и(8); |
|
|
(22) 1 PvQ |
ia (2) и (9); |
|
|
(23)1 Л/g |
и*(2) и (10), |
|
|
(24)1? |
? |
нз (2) и (12); |
|
(25) |
из(3) ч (5); |
|
|
1,26)Л / '$ |
да(3)н(7); |
|
|
(27) /v l Q из (3) и(8); |
||
|
(28)Л/1 Q |
ю р )и (9); |
|
|
(29)Л/1 g |
из (3)и(10); |
|
|
(30) |
1е |
Ю(3)и(11); |
95
(3:)1Р |
из(4)и(5); |
(32)1 с |
из(4)н(6); |
(33) 1 Pvle И (4)и [7); |
|
(34)1/Vli? |
m(4)и(8); |
<35)1M g |
из(4)*(9* |
(36)1л/1е из(4)и (10); |
|
(37)2 |
из(5) и(7); |
(38)2 |
из(5) и(9); |
(39)0 |
из(5)и(12). |
юнктов. Напричец (7), (8), (9j и(10)-тавтологии. Так как тавтология всегда истинна, то, если вычеркиваем тавтологию из невыполнимого множества дизъюнкта», оставшееся множепяо все еще допхснп бы-а невыполнимо. Следовательно, тавтология есть не относящийся *делу дизъюнкт н не должна порождать:». Если же она порождаете*, то (за исключением очень немногих случае») ее следует вычеркнуть. Далее днагюнты Р, Q, 1 Р, 1 Q порождаются неоднократно, Также имеются другие повторяющие^ дизъюнкты (см. (13) - (16), (20) - (23), (26) - (29) н(33) - (36)). На самом аеле. Чтобы получить доказа тельство ana S, нужно породить дигьк>нкты (5), (12) н (35). Для сокращенияизбыточное* рассмотримстратегию вычеркивания.
§5. Сграшяя вычеркивания
Дизъюнкт D называйся подбитойк-томD* (или D поглощает й*), сспи D является некоторой частьюдапюнкта £>*. При этом D*
называется каддшыонктэмдля D.
Пример. Пусть D=P, D*=PvQ, Ясно, что D поддитьюнкт для дизионт £>*,а А*- наддизъюккгдляD.
96
Стратегах вычеркивания зависит от того, как вычеркиваются тавтологии и наддизъюнкты Стратегия вычеркивания будет полной, если ее исполыпв&ть вместе с методам насыщения уровней следую щим образом; сперяа выписываются дизъюнкты tfvi'V .. v.V"1) по порядку; затем вычисляются резольвент сравнением каждого щвъюнкта D|G(i4vSlv...vS"’1) с дизьганктом Д,б5и, стоищна после D, Когда резольвента вычислена, она записываете» в конце спискгц кактолько порождаете», еслиона нетавтология и не поглоща ется каким-шбудь дизъюнктом и.> описка. В противном случае она вьяеркиваьтся. Очевидно, что при этой не выписывается повторно
к примеру и? §4 и получимследующийсписок: S0. (1)А'Й
в )? 'Л й
(4>iivi &
s'.- |
(¾ е |
из ЦП1(2), |
|
<б)р |
® (1) »Р). |
|
(7) ■? |
из(2)кi№. |
|
(8)18 |
из(3)1К4), |
& □ из (5) и (8).
Помучили существенно более короткий список. Следовательно, стратегия вычеркивания может уменьшить потребную память для реализации методарезолюций.
Ясно, что необходимые вычисления не уменьшаются, а увели чиваются. Чтойм использовать стратегию вычеркивания, нужно уметь решать, является ли полученный дизъюнкт тавтологией или является лиодиниздшьюнктов пядяиаьюиктом другого.
Метод резолюций, как ужеуквано, позволает автоматизировать
люции может порождать иного .ишних и ненужные дизъюкктов на ряду с шитезными. Хстл можно использовать стратегию еычеркива-
нив, чтобы выбросить некоторые из эти* ненужных и бесполезных дизъюнкгоа после того, пак о т порождены. На ИХ порождение уже
нужны большиересурсы машинного временидля того, чтобы опреде лить, чтоэтидитьюнктыДействительнолишние и ненужные. Поэтому дм получения 5ффеиивных процедурследует недопускать порожде ния большого числа бесполезных дизъюнктов. Имеются различные подходы куменьшениювычислений, среди них: методсемантической
Рассмотрим лох-резолюцию.
Xopouiesвдвойнехорошо, ш хороша.
КальпмрГркаи
|
|
|
|
§6. Лок-реюлшцня |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Иде» лок-резолюииисостеэт, по существу, к использовании ин |
|
||||||||||||||
дексов для упорадаяенияхитер вдизъюнктахиз данного множеств |
|
||||||||||||||
лнзькжкгов. Иными словами, он» вкяючаег введение индексов для |
|
||||||||||||||
каждого вхождения литеры в S некоторым испым чис.тпм; разные |
|
||||||||||||||
вхождения одной н той же литеры могут быть индексированы |
|
||||||||||||||
по-разному. После этого отрезать (удалить) разрешается только лите |
|
||||||||||||||
ры с наименьшим индексом в каждом нз |
дизъюнктов. Jlirrcpu |
|
|||||||||||||
в реэольвегах наследуют свои индексы из посылок |
Если дагкра |
|
|||||||||||||
в резольвенте можетунаследоватьболее одного индекса, го ейсгааиг- |
|
||||||||||||||
сив соответствиенаименьшийиндекс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим следующиедвадизъюнкта: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
pvfiipve. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введеминдексы,ИУгорыебудем писалслеваситу отлитеры: |
|
|
|||||||||||||
|
|
о ь ^ й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
a x |
я .1 к » е |
ми |
ен |
нд |
еь кш с |
е |
I ч |
ье |
м |
и |
н |
д |
||
к |
а |
к,Р |
|||||||||||||
о т р |
еР.з Ва |
т |
ь; |
i| |
Р |
' / |
« |
2 |
р |
а з |
р |
е ш |
а |
е |
т е |
Таким образом, примени правило резолюции к дизъюнктам (1) и(2) по iPи jl Р получаем следуюшяйдизъюнкт:
JImepi -Q и ,Q одна и та же. Так как 2<4. то Q получает ннлскс2, поэтомуполучаем
|
|
|
|
(4) iff. |
и являете! лок-рвзельеентой дизъюнктов (1) |
|||||||||||||||
Дизъюнкт |
(4) |
|||||||||||||||||||
и (2). О |
н |
ш |
а |
ч |
ечто |
те |
си был |
милот-еры, |
вд |
м |
н |
е |
г |
р |
ъ (2)к былиш |
индексирок т е |
||||
ваныи |
|
|
е |
, |
н |
а |
п |
р |
и |
|
|
, |
т а |
к : |
||||||
|
(^/IfVsQ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то литерой в дипкппгк |
(2'), |
которую разрешено |
отрезать, была |
бы TQ Однако к iP a yQ нельзя применить правшто резолюиин. Пгагому нв существует лок-реэольвенты дизъюнктов (1) и (2), Пол аон-резотцмй понимается иосяедоамельное получение лок-резольвеиг из данного множества дизъюнктов и вновь получае-
Расснотрим множествоS дшъюниов, которое введенов § 4:
PvQ.
Pv'lQ,
1 PvQ. i? v ie .
Проведем следующую индексацию:
(1) A |
jg |
|
(2)^410, |
||
(4)»'?vjle. |
||
Из дизыошп-ов |
(1)-(4) можно получил только одну |
|
лок-резольвеягу( 5 |
) |
s l P |
а издизъюнктов (1)-(5) толькодвелок-резолыекта: |
||
(6Ы2 |
|
из(1) иfi), |
(7),1б |
и*(2)11(¾. |
99
Применяяпрюма резолюции кдизъюнктам(6) и(7), имеем
т .
Таким образом, получаем выводпустогодюыонкгаО. Отметим, что были порождены всего три лок-ре5ольвекгы.
При использовании обычней (неограниченной) революции ДО полу
чения □ была |
порождены 34 рездльвекта. Результативность |
|
лок-резолюцяи не зависит оттого, как проиндексировать литеры в S, |
||
Введеме рассматриваемом примереиндексы иначе, например, тах: |
||
(1) A J2 |
|
|
(2)A .1& |
|
|
(3),1 |
|
|
(4 )rlf4 l0 |
|
|
Из(1)н(3) получим: |
|
|
0)«& |
|
|
Аналогичнополучаем; |
|
|
(6) гд ч 'д |
и5(1>и(4>, |
|
W tfv .lQ |
и(Я«(3), |
|
(K),1Q |
из(2) и(4), |
|
(¢) |
О |
из(5) и (8). |
Можнодоюзать следующую теоремуо полнотелок-резолющш.
Теорема 3.7. Пусть S - множество аетыонктов, в котором каждая лгара индексирована целым числом. Если S противоречиво (невыполнимо), то имеетсялок-выводпустогодизъюнкта□ изS.
АкиреИБмый
§7. Метод резолюций для хорнпвеких дизъюнктов
Вобщем случае методрезолюцийтребуетбольших вычислений. Если дизъюнкты имоютспециальный вна, являюк* так называемыми хориовекимидизъюнктами, то вычисления упрощаются.
100