Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004

ОднаждыНасреддинаспрости.

ХоижаНагрсддин*

§4. Нечеткие выскнэывйная

имаксиминные ш ерация вял ними

Нечетким выекаяываниш называется предложение, отнпси-

.ыо которого можно сузить о степени его истинности или ности. Степень истинности или степень ложности каждого нгсого высказывания принимает значение из замкнутого интервала ], причем 0 и 1 являются их предельными значениями «падают с понятиями лжи и истины для "четких" высказываний, пепь кстинностя (степень ложности) каждого нечеткого высказыия может принимать как только некоторые значения из [0,1], так и значения из [0,1].

Примеры дечетких высказываний:

’'Петров занимается большой общественной работой".

“Молодая была уже не молида”-

:тавныс высказывания образуются № Простых с помощью вводи- v операций, таких как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, им­ итация и других. Операции могут вводился различными егюсобаРассмотркм следующий вариант введения операций.

гказыванис, обозначаемое 14’, степень истинности которого >ецолче\ся выражением:

жчньикращ-iv,ХпготоЯ илиМпшюП, или Хкыими т Джо»* Насрелсинок.

201

Коньюнкцией нечетких высшываиип А ',В ‘ называется нечет­ кое шсказывание, обо5дачяемое^''&в,>степень истинности которого определяется следующимобразом:

Дизъюнкцией нечетких внсхазиваний А*, Я* называется нечет­ кое высказывание, обозначаемое A*vB*, степень истинности которого

.4*vi?* = max(.4'*,S*).

Импликацией нелегких высказываний А’,Б ’ называется нечет­ кое высказывание, обозначаемое . 4 степень истинности которо­

го определяется выражением

Л*=*В"-тах(1-/‘*,3*)-

Эквивалентностью нечетких высказываний А’ В* называете*

которого определяется выражением

Введенная нечетная логика называется нечеткой логикой е махеимянными операциями.

Рассматривая А*. В', С" и т.д. как нечеткие -переменные (про­ позициональные буквы), можно внести понятие формулы и нечеткой логике точно также, как вводились пропозициональные формы {фор­ мулы логики высказываний). Ис-тинностиые значения этих формул определяются согласно соотношениям, введенным для , &, v, и з

\,‘X z 7Z. ™

Из (5,7) следует, что значение Av ] Л’ всегда не меньше 0,5. Рассмотрим теперь формулу:

Таким обрачом, истинностное значение для А*&1 Л* будет все­ гдаas больше 0,5.

Пусть нечеткое подмножество Л/молодых людей задано функ­

—“tK ^rr-

Значение функции принадлежности для выбритого чначения х, положимх = Тика, можно рассматривать как истинностное значение для нечеткого высказывания «Тина молода». Тогда истинностное зна­ чение нечеткого высказывания «Тина молода» будет равно 0,63, если ей 25 легг. Если Типе 18 лет, то истинностное значение высказывания

Пусть Х=2* - множество подмножеств множвства А (Аф0) и ка А'заданы обычные операции дополнения, пересечения и объеди­ нения, т.е. имеем алгебру Л=(.У: , л, и). Положим, что V - множество обычны* (четких) высказываний (с возможными значениями 1 и 0) с операциями \ & и v, т. е. имеем алгебру В=(К; , &,v). Легко видеть, что эти ajceGpu изоморфны при агом 0 (0еЛ) отображается на про­ тиворечие, а А на тавтологию. Этот изоморфизм можно продемонст­ рировать с помощью следующей таблицы:

203

тается нечеткой логикой вузком смысле. Вшироком смысле нечеткая логика равнозначнатеория «четких множеств, см. [3] и работы, ука­ занные в [3]. Подробнее оразличных нечетких логиках можно прочи­ тать в работах [3, 12,15,16,23).

§ 5, Поиятке о нечегкой лкга мистической логике

Основоположником понятия лингвистической логики и лишкчстнческой переменной являете* Л. Зале. Он же аалпжил ОСНОВЫ применения лингвистической переменной к приближенным рассуж­ дениям. Главная цель введения лингвистической переменной и логи­ ки, основанной на этих переменных, - формализация приближенных рассуждений с использованием теории нечетких множеств.

В этой погике используются нечеткие количественные понятия (почти все, мносго, маю, несколько н т.п.), нечеткие истинностные значения (существенно истинный, очень истикный, бояае или менее истинный, ложный и т. п.), а также иные нечеткие понятия (молодой, редкий, дорогой, красивый, почти невозможный, невероятный и т.п.).

Лингвисттеской называется переменная, значениями которой являются снова или предложения естественного или искусственного языка. Например, ВОЗРАСТ-можно рассматривать как числовую пе­ ременную. а можно рассматривать как лингвистическую переменную, принимающую следующие лин|-вистические значения: о<шньмолодой, молодой, вполне молодой, не молодой, не Aio.iadoii и не. очень старый, старый и т.п. При ттом для каждого го перечисленных значений нуж­ но задал характеристическую функцию, называемую смыслом этого

Лингвистическая переменная описывается набором: (X ВД, U.G.M),

а котором:

205

Л1-название лингвистической переменной, Т(Х) - множество лингвистическихзначенийпербмекнойХ\ U - универсальное множество;

G - синтаксические правила, порождающие значения перемен­ ной, т е. правила определения лингвистических значений;

М - семантические правши. которые ставяг s соответствие каждо­ музначению переменной ее смысл, т.е. характеристическую функцию.

Отметим, тю при определении U и T(Xl множество понимается в обычном классическом смысле, а не имеются в виду нечегкие мно­ жества. Причем всюду, когда имеем дело с нечеткими множествами,

то это означает, что нечеткости пет. Кроме того, отметим, что мно­ жество U мажет быть как конечных!, так и бесконечным, а множестве

Стругауру лингвистической переменной можно представить

Трактовка истинности как лингвистической переменной приво­ дит к нечеткой лингвистической логике, которая существенно отлича­ ется от двух- и многсиначном логики. 3ia иечегкая логина является основой того, что уожно было бы назвать приближенными рассужлс-

206

Лингвистическая переменгия ИСТИННОСТЬ м. аиримср, следующие лингатличесние значения:

существенна истинный, очень, очень истинный, очень истинный,

Тогда носителем it мия истинный является отрезок [о,1] (рис 5.5). Для значении ножчый функцию принадлежности, иапример, можно задать выражением'. = Цкт'.иивП-*) (график на рис. 5.5).

207

Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опита или чисто логическим ггутсм. В мпдалькой логике из необходимости высказывания вытекает era истинность, но не наоборот. Высказыва­ ние иoi'o отрицание не могутбыгь вместе необходимыми.

Необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. С самого '^рождения логики было подмечено различие между истинными высказываниями, являющимися таковыми в силу необходимости, и высказываниями истинными случайными, возможными.

Развитие модальнойлогики можно разбить на три периода.

Кпервому периоду относэтся зарождение модальной логики

аантичности и некоторое развитие в средневековье. Модальности бы* ли введены Аристотелем, который считал, что термин «возможность» имеет различный смысл. Аристотелем введены а наследованы модальные силлогизмы и некоторые другие аспекты модальности. Провод» исследование ариателевокой логики, Лукасспич заключает, что в работах Аристотеля можно найги все элементы, необходимые д.та построения полнойсистемы модальной логики, однако Аристо­ тель исходил из двузначной логики, я то время как модальная логика не может быть двузначной. R идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражению). Сле­

дуя Аристотелю, Дукасевич в 1920 году построил трвхзиачную логи­ ку. Тем самым выявляется идейная связь между модальными н много­ значными логиками.

Второй период связан с появлением работ К. Лыоиса (примерно 80 лет назад). В этот период строятся формальные системы [исчисле­ ния) модальной логики, выявляются различные черты модальных по­ нятий. Идея Лыоиса состояла в проведении различия между связками, выражавшими логическую необходимость, и связками, не выражаю­ щими такого рода необходимости.

Для третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец 19SD годов], существенна выявление внутреннего единства различных систем, казавшихся ранее никак tie связанными между собой.

209

в материальной импликации высказывание AziB истинно, если А ложно, что не всегда удобно. Почему, налример, из того, что 2x2=5 следует, что Иванов - студент. В строгой импликации это уже устраняется);

A< В = (А- ("В)) - строгая импликация Льюиса. "Л< В»

читается «А имплицирует 8» (ЗдесьА-< В выражает сгрогую имтшкапито 8 отличие от ранее рассмотреннойА^В. В строгой импликации из ложности высказывания 2*2"5, не следует, ч-to Инанов - студент, ибо должно быть, чтоА-< В необходимо вегикно);

А*В = С4-<В) -(В«;Л),+ -знакстрогойчквипглеитиосги;

А =В = (А^В) ■(ffrv))- материальная эквивалентность. Аксиомы:

210