Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004
.pdfРейхепбах обозначал истину как 1, неопределенность - 2, лож- HDcit>-3. Типология принимаетзначение 1. В логике Рейхенбаха введенытри отрицания; ггнкличссгае(~А)\диаметральное(л); полнее (~А),
Эти операции вводится последующей таблица (здесь значения 1,2 нЗ вновь переобозначены через 1. НкО):
В логике Рейхечбаха, кроив увиашыч операций, введены еще альтернативная импликация, квазиимпликация и альтернативная
Легко проверить, что для циклического отрицания не имеет места закон двойного отрицания, а имеет место закон тройного отрицания, т.е. ~(~(~Л)) равносильна Л. Также для циклического отрицания не имеет места закон исключенного тргтьего, а имеет
Ач{~А)-4^(~А)) всегда истинно.
Для диаметральною отрицания, как уже указано, сохраняется закон двойного отрицания, «о ей имеет места закон исключенного т|И'иего. Имеется и много пруги* «к отличий, таки совпадений этой логики в обьлноЕ двузначнойлогики.
Ктометаем тебевыдумать
КозьмаПрутков
§ 2. Многозначные логики
Коиептяпячпяя {/мипчилл, £22) логика Поста является аВобшенивм двузначной логиот, т.е. при к ~ 2 получится двузначная логика.
Рассмотрим множество пысказываний (переменных), каждое из которых может принимал, одном? значений 0,1,2,, ...к -1.
На чиожестпе введенных fc-JHa'MbiX высказываний вводятсй
1) х =i+l (mod к) - циклическое отрицание или отрицание
2) Ш=к-1-зс - отрицание Лукасевича;
3)ЛА)={к""
Функция Ц х) называется иногда характеристической фикцией
иобозначается как х
4)j& ^m intr, у) - кокьгонкии,
5)х'/у=тах(х, у) -дизъюнкция;
6)дху” хху (mod tl - произведение по модулю к,
7)jr+.y-x+j’ (mod к) - сумма по модулюк;
ik-1,
+ Л
Вводятся и другие операции Используя введенные операции, можно строить суперпозиции
этих функций, исследовать их свойства. Также определяют нормаль |
||
ные формы и можно доказать следующее соотношение; |
||
|
Ач-л)= |
|
flv |
1 /„,(*, |
|
гдедизъюнкция берется по всевозможным наборам значений |
||
(а,,аъ |
переменны* (ц,ч, ...,*«)• |
|
|
Легко доганатьтеорему: |
|
|
Теорема 5.1. Число различных функций Лхзначной логики, |
|
зависящих от п переменных, равна |
. |
|
m
Система функций <г-эна1той логики (<pi,<pi,...,q>„} называется функционально полной, если любую функцию / /г-значной логики
можно аыразигь 4epej функции из {«p\,<pi,.. ,%>}• Сутг-твует и критерий полноты системы функций.
Теорема 5.2 (о функциональной полноте, теорема
. В- Кузнецова). Для каждой it-зшчпой логики существует конечное цело замкнутых классов ЛГг Ki......К#, таких, 'по для полноты
;мы фикций i -значиой логики {<pi,C[>s.... ¢,,( необходимо и д( эчно, чтобы (ф|,(р^-.,|р.„} не содержалась цщтикоч ни в одно| пассов Ki, К}..... K^t).
Отметим, что к t -значных логиках сохраняются многие свойства и результата, которые имгли место в двузначной логпке, но есть и существенные отличия егглвузчаччойлогики.
гики Поста в fc-значной логике Яукасевича считается, что ксгиниоетпые значения переменных обрадуют следующее множество:
Г,Л |
o . J - , J - , |
. М . Ь 1 |
. Л . |
(Sn |
1 |
к - l ’ А -Г t - Г |
4—1 4-1 |
Г |
(5-'> |
(уров:вь) истинности.
Оперший определяются следующий образом:
(5.2)
j:vy=max(*, у).
Операции импликации и эквипаленггиости агодятся по форму лам: x=9j^aiin(l, i+y - i) и I- 1 х-у |. Отметим, что Лукасеанч вводилтолькоотрицание и импликацию, аостальные*записывал через них.
193
Для каждого к, к 2 2,4-значная логика Лукасевша обозначается как Lt. В последовательности La, £3l U, ... этих логик !,г является классической двузначной логикой, логика L\ совпадает с трехзначной ноткой Лукасевича, рассмотренной в предыдущем параграфе. Пре дельный случай - логика L-, -является бесюнечиозиачной логикой, для которой истинностныt/и значениями являются все рациональные числа единичного отрезка [0,!], а операции вводятся по (5.2).
Рассматриваются также и другие многозначные логики, для
но определяемые по формулам, статным dt (S.I), операции вводятся как по (5.2), гак и по другим формулам. Кроме того, рассматриваются бесконечнозначные логики, для которых истинностными значениями являются уже все действит-альпые числа единичного отрезка [0,1], для которых операции вводятся как По формулам (5.2),так и по формулам, ОТЛиЧНЫМ or (5.2).
Логика, в которой истинностными значениями являются все действительные числа единичного отрезка [0,1), а операции июдетоя
по формулам (5.2), считается стандартной логикой Лукясевичг. - логи
кой г.,[15].
Такие, iinea наводит наиспктмысли.
Л. Кзр(Юл
§ 3. Понятие нелегкого подмножества
Основателем теории нечетких множеств является л. Заде, который писал (см. предисловие к книге [16]): «Теорм нечетких мно жеств - это, по сути дела, шаг на пугн к сближению точности класси ческой математики и всепроникающей неточности реального мира.
к сблюкешио, порожденному негсреиращикэщикся человеческим стрем-
Пусть U - произвольное непустое множество в обычном пони мании (иногда называемое универсальным множеством), а А является
Тот факт, что элемент х множества Uссть э.-пемент подмножест ва J или, как говорят, принадлежит А, обычно обозначают так: х?.А. Для выражения згой принадлежности мо*нп использовать и другое понятие - характеристическую функцию Щ|(х), значения которой ука зывают, является или нетх элементом Л:
wM'fe ‘Zlll
Рассмотрим пример. Пусть U={-& ,к> ), Л=[-2,3], тогда имеет вид, изображенныйна рис. 5.1.
Очевидны следующие свойства харахтарнстическик функций: ;
1) (A-В) тогда и только тогда, когда — ■
-2
2) исЛх)" 1—ц.|(*);
eciiH хг ^ |
"" |
если*е у В, -та)^ ^ , ^ ) ) , если x t A^J В
Отмстим, что рассмотренная характеристическая функции при нимает только два значения 0 н и I. Представим теперь, что характе ристическая функция ц(*) может приниматьлюбое,значение взамкну том интервале [0,1]. В соответствии с эгии мера принадлежности х подмножеству Л может быть любой из [0,1], т.е. х может быть элемен том Л болев или ченсе, менее чем более и тп. Таким образом, понятие
195
принадлежности получает интересное обобщение. Дхдхм строгое оп ределение.
Пусть U - множество и х тломепт U. Тогда нечетким подмно жествомА* множества называется множество упорядоченных пар:
• ^ 1 ( ц ц , « » , т и « [ОД];
функцию Цл-(х) называют функцией приниднаююсти, a U - универ сальным или базовыммножеством.
Рассмотрим uhossctbc людей различного возраста и поиытаеч-
0S|t(x)sl. Ясно, что каждый может ввести свое пояимаине функции д(г). Нв рис. 5.2 приведены графики некоторых возмохсных таких
чения функции |4*)-
На множества (-»,■»), например, можно ввести понятие дейст вительных чисел, очень близких к нулю. Например, можно опреде лить функцию принадлежности Ц|-(х) нечеткого подмножества А* действительных чисел, очень близких к нулю по формуле:
|ДяЧх) " • График этой функции, Преасгавлен карие. 5.3.
чить рвзличные функции принадлежности n,[-(i). Таким образом,
выбор функции |
в обшем, может быть различным. |
Носителем нечеткого подмножества А* называется (обычное) |
|
подмножество В |
множества V, содержащее те элементы из II, |
л.1я которых jj»,.(j:)>0. Носитель дл« А ' обозначают как Snpp/I* (supp-4*={x€: U: Д|.(1)>051.
Два нечетких подмножества А* и В* множества V называются равными тогдаи только тогда, когда Vis V: ц<.(х)= 114-(2)-
Будем говор|ггь, чтоА’ содержатся в 3*, если Vx
и обозначитьA ’Q В’,
Считаем, что нечеткие подмножества А• и В’ множеств! U по
полняют друг друга, если
ухеа^-М=1-Мх). (5Э)
Приэтом В ^ А * илиЛ*=5 *.
Введем пересечение (п) и объединение (и)нечегких подмко-
Пусть А* и В* нечеткие подмножестве,множества U, тогда их пересечение я объединение есть нечагкие подмножествамножества Ц имеющие соответственно следующие функции принадлежности:
Vx s V: |
- min((i/l.(i), 14.(1)), |
(5.4) |
W e U: ц ,.^ * ) -maxC^W. №(»))• |
(5-5) |
|
Положим, что универсальное множество X!является конечным |
||
множеством, ниприадер, |
112,.,.,¾} и А* - его нечеткое подмноже |
|
ство с функцией принадлежности Мл^ху Тогда имеем А «-{(х, |v(*)>),
где *е |
U, лАг) е (0,1], т. е. |
*n>.<«j, Цг),. ..(и,. ц,,)}, где |
fi,= |
В таких случаях используют специальную форму записи: |
|
В этик записях указывается элемент универсального множества
и, foe: У) и ц, (щ= щ.(ч) - степень прииаддежнисги элемента к, нечет ко»iy гтодмкижествуА *). Здесь символ '"»> не означает операцию сло жения. а служиг разделителем элементов множества .4* Если -О, то, как правило, .элемента jj/ц в (5.6) оиускакпея.
Рассмотрим пример. Пусть универсальное множество V состоит из Юэяеменгов, означают!]*,вилраст (в годах):
y«(S, 10, 20, 30,40,50. 60, 70, 80, 50}.
На этом «ножестее с помощью следующей таблицы заданы нечеткие подмножества, характеризуемые словами молодой, »оуг:нлой и старый. В таблице для каждого элемгнга и, из U приведены степени приквдлежности и, укачанным нечетким подмножествам:
J0____________ 0,1 0.’ I 0~
Из таблицы можно записать, что носитель нечеткого подмножв-
supp(^*)=supp(M0.!0dcw)-{b|Sf;: //, >0)-(5, 10,20,30,40.50}. Нечеткое подмножеетвоЛ'момско записать в вида: ■4*=1/5И/10Ю,8/20+0,5/30+0,2'40+fl,1/50.
Ьсли 5 ' - нечеткое подмножествотжююй,та записываем: В*=0,1/20+0,3/30+0.5/40+0,7/50+1/60+1/70+1/80+1/90.
Пересечение этих лодмнсжгств, очевидно, равно следующему: Л*п £*-0,1/20+0,3/30+0,2/40+0,1/50.
Известно, 410 дли произвольных (обычных, четких) гшмнажеот
А =А- инэолючивность;
A'-^B-B'-J A |
"1 |
А^В-ВпА |
\ - коимупггииюе»; |
^r,(S',C>(/)AS)nC
А^{ВглСГ{А'Л1)г,(АиС)
AnIB. 1С)=(АГ\[!)и(ЛпГ) } - днстрнбутвность;
Au!2=A
2) |
- |
|
|
|
|
3) |
- 1s*=a*rvf* |
|
|
|
|
4) |
i*u (S * u C ‘)=U*^S")uC'*I |
—ассоциативность; |
|||
5) |
A 'r,(B V iC *)=(A*nB")r.C‘ |
J |
|
||
1 |
1 |
|
|
> - диствибуткпноеть. |
|
7} ЛW B ^ C *M-4*пВ*)и(ЛV,C*j J |
|
||||
8) |
Л*^0=Л* |
^ |
|
|
|
9) |
A\JU = U |
I |
— сврйстваопераций с 0 h U; |
|
|
lO M *n0=0 |
( |
|
|
|
|
11)A*r,U=A* |
J |
|
|
|
|
14) A*'.JA’ л ' |
^ |
-законы идемпотентности; |
|
||
15)А>ГЛ'=; |
|
|
|
|
|
\6)Л *Ы A \JB ‘)=■A^ ~]U - законы поглощения. |
|
||||
17) /J*ij <4*r,Brj=A’ J |
|
|
|||
Здесь U является обычным множеством, для которого полагаем. |
|||||
НО «ГО характеристическая функция введена кик: |
1 для всех |
||||
:г U. Множества 0 тоже являете* обычным множеством, для которо- 'о полагаем, что его характеристическая функция введена как; He(i)=0
Как уже указано, свойства дополнения в общем случае не выюлняются, т.е. существуютА * и В* такие, что:
Используя приведенные соотношения 1)-17), можно провоупрощгния, преобразовании.
200