Maloletov-diss

112

Fξ=0

Fη=0

изменения угла поворота вокруг оси η.

г) Точечный контакт с упруго-вязко-пластичной неудерживающей поверхностью. Для целей моделирования контакта стопы шагающей машины с опорной поверхностью вводится силовое взаимодействие, обладающее следующими свойствами. Силы взаимодействия отличны от нуля только при наличии контакта с поверхностью, сам контакт является односторонним, считается что тело контактирует с поверхностью со стороны положительного направления оси (рисунок 2.1).

113

Опорная поверхность, связанная с j телом, задаётся в виде функции:

где каждой паре значений ξ , η (ось η на рисунке 2.1 не показана) поставлено в соответствие только одно значение . Это гарантирует в частности, что нормаль к такой поверхности будет иметь ненулевую проекцию на ось ζ . Для определения нормали и касательной плоскости также требуется, чтобы функция (2.29) имела непрерывные частные производные f ' , , f ' , .

Уравнение связи, соответствующее функции (2.29) имеет вид:

функций, так и автоматическое определение значений частных производных численными методами.

Абсолютные координаты и скорости точки Aij (ξij , ηij , ζij ) принадлежащей i телу, в которой оно контактирует с j телом:

114

ξij=ξi+xij αi11+ yij αi21+zij αi31 , ηij=ηi+xij αi12+ yij αi22+zij αi32 ,

ζij=ζi+xij αi13+yij αi23+zij αi33 , (2.32)

ξ˙ ij=ξ˙1+xij α˙ 11+yij α˙ 21+zij α˙ 31 , η˙ ij=η˙ 1+xij α˙ 12+ yij α˙ 22+zij α˙ 32 , ζ˙ij =ζ˙ 1+xij α˙ 13+yij α˙ 23+zij α˙ 33 .

Условие контакта тел определяется в виде:

Если условие (2.33) не выполняется, то силы взаимодействия равны нулю. Если условие выполняется, то силы взаимодействия определяются согласно упруго-вязкой модели в направлении нормали к поверхности и упруго-вязко- пластичной модели в касательной плоскости.

Через Aji (ξ ji , ηji , ζ ji) обозначается точка первоначального контакта тел, принадлежащая поверхности (j телу). Координаты этой точки определяются приближённо при выполнении условия (2.33):

ζji= f (ξij , ηij).

исохраняются до потери контакта тел.

Кривая поверхность в окрестности точки Aji аппроксимируется касательной плоскостью.

Координаты нормального вектора N к поверхности определяются выражениями:

115

Nζ=F 'ζ(ξ ji , ηji , ζ ji).

Сучётом того, что нормальный вектор гарантированно не лежит в плоскости

, два произвольных вектора, задающих касательную плоскость могут быть найдены в результате векторных произведений:

Или в скалярном виде:

Bξ=N ζ+N η ,

Bη=−N ξ N η ,

Bζ=−N ξ N ζ .

Орты n , , b векторов N , T , B , представляют собой естественную систему координат, связанную с опорной поверхностью в точке контакта, а их координаты представляют собой направляющие косинусы этой системы относительно неподвижной системы отсчёта и определяются формулами:

=T /T ,=T /T , b =B / B ,

b =B / B , b =B / B ,

Радиус-вектор между точками Aji и Aij и его производная (скорость точки Aij относительно точки Aji, по сути — абсолютная скорость точки Aij, так как точка Aji неподвижна) в неподвижной системе отсчёта определяются выражениями:

ρξ=ξij−ξ ji , ρη=ηij−ηji ,

ρζ=ζij −ζ ji , (2.39)

ρ˙ξ=ξ˙ ij ,

ρ˙η=η˙ ij , ρ˙ ζ=ζ˙ ij ,

а в естественной системе отсчёта, связанной с поверхностью, выражениями:

ρn=ρξ nξ+ρηnη+ρζ nζ ,

ρτ=ρξ τξ+ρη τη+ρζ τζ ,

ρb=ρξ bξ+ρηbη+ρζ bζ , (2.40) ρ˙n=ρ˙ ξ nξ+ρ˙ η nη+ρ˙ ζ nζ ,

ρ˙τ=˙ρξ τξ+ρ˙η τη+ρ˙ζ τζ , ρ˙b=ρ˙ξ bξ+˙ρη bη+˙ρζ bζ .

117

Отдельно задаются коэффициенты жёсткости и вязкости поверхности в нормальном ( cn , n ) и касательном ( cτ , μτ ) направлениях, а также коэффициент сцепления λτ в касательном направлении. Тогда силы взаимодействия тела с поверхностью в естественной системе отсчёта определяются выражениями:

Fn=−cn ρn−μn ρ˙n ,

F*τ=−cτ ρτ ,

F*b=−cτ ρb ,

F**τ =λτ F n F*τ /√( F*τ)2 +( F*b )2 ,

А в проекциях на оси неподвижной системы отсчёта, соответственно:

F=Fn n F Fb b .

2.3.Стационарные связи

Отсутствие взаимного перемещения тел

Связь, ограничивающая взаимное перемещение i и j тел представляет собой условие равенства координат точек взаимодействия тел в абсолютной системе отсчёта. Соответствующие уравнения связи имеют вид:

118

где xij, yij, zij — координаты точки воздействия j тела на i тело в подвижной системе координат, связанной с i телом; xji, yji, zji — координаты точки воздействия i тела на j тело в подвижной системе координат, связанной с j телом.

Производные от выражений:

где производные от направляющих косинусов:

α˙ i11=−qi αi31+ri αi21 α˙ i12=−qi αi32+ri αi22 α˙ i13=−qi αi33+ri αi23

α˙ i21=−ri αi11+ pi αi31

α˙ i22=−ri αi12+ pi αi32 , (2.46) α˙ i23=−ri αi13+ pi αi33

α˙ i31=− pi αi21+qi αi11 α˙ i32=− pi αi22+qi αi12 α˙ i33=− pi αi23+qi αi13

Важным свойством первых производных от направляющих косинусов является то, что они не зависят от обобщённых ускорений и поэтому в дифференциальных формах уравнений связи они могут рассматриваться как известные на каждом шаге интегрирования величины.

Тогда дифференциальные уравнения, описывающие ограничения на взаимное перемещение тел примут вид:

где

120

Bξ=V ix α˙ i11+V iy α˙ i21+V iz α˙ i31−V jx α˙ j11−V jy α˙ j21−V jz α˙ j31+

+xij (−qi α˙ i31+ri α˙ i21)+ yij (−ri α˙ i11+ pi α˙ i31)+zij (−pi α˙ i21+qi α˙ i11)−

−x ji (−q j α˙ j31+r j α˙ j21)− y ji (−r j α˙ j11+ p j α˙ j31)−z ji (−p j α˙ j21+q j α˙ j11)

Bζ=V ix α˙ i13+V iy α˙ i23+V iz α˙ i33−V jx α˙ j13−V jy α˙ j23−V jz α˙ j33+

+xij (−qi α˙ i33+ri α˙ i23)+ yij (−ri α˙ i13+ pi α˙ i33)+zij (−pi α˙ i23+qi α˙ i13)−

−x ji (−q j α˙ j33+r j α˙ j23)− y ji(−r j α˙ j13+ p j α˙ j33 )−z ji (− p j α˙ j23+q j α˙ j13)

б) Отсутствие взаимного поворота тел.

Один из вариантов уравнений, задающих запрет на взаимный поворот тел, представляет собой равенство проекций угловых скоростей тел на оси неподвижной системы отсчёта:

Bζ=( pi αi13+qi αi23+ri αi33)−( p j α j13+q j α j23+r j α j33)=0

Втаком виде ограничения на поворот удобно задавать в случае жёсткой связи между телами. Для включения этих уравнений в общую систему находятся их производные:

+( pi α˙ i13+qi α˙ i23+ri α˙ i33)−( p j α˙ j13+q j α˙ j23+r j α˙ j33)=0