kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Она имеет только одно решение

k1 k2 0 .

Векторы

A2

и A3 линейно

независимы.

Пары векторов A ,

A

и A

, A

образуют базисы в пространстве R2 .

1

2

2

3

Разложим A3 по базису A1, A2 :

A3 1A1 2 A2

4, 2 1 2, 1 2 3, 1

Получаем систему:

2 1 3 2

4

1 2 2

Она имеет решение 1 2

и 2

0 . Тогда A3

2 A1 0 A2

2 A1.

Разложим A1 по базису A2 , A3 :

A1 k1A2

k2 A3 ,

2, 1 k1 3, 1 k2 4, 2 .

Получаем систему:

3k1 4k

2 2

1

k1 2k2

Она имеет решение k

0

и k

1

. Тогда A 0 A

1

A

1

A .

1

2

2

1

2

2

3

2

3

Пример 21. Векторы A1,

A2

и A3 образуют ортонормированный базис.

Найдем угол между векторами

X 3A1 A3

и Y 4 A1 A2 2 A3 .

3A1 A3 4A1 A2 2A3

3 4 1 2

cos

XY

14

X

Y

2

2

9 1 16 1 4

15

3A1 A3

4A1 A2

2A3

arccos

14

15

Задача 4. Даны координаты трех последовательных вершин

параллелограмма A(х A , y A , z A ) , B xB , yB , zB

и

C xC , yC , zC . Найти его

четвертую вершину D xD , yD , zD .

1.

A 3,4,7 , B 5,3, 2 , C 1,2, 3

2.

A 1, 2,3 , B 4,1,2 , C 5,2,7

3.

A 3, 4,2 , B 5,2, 3 , C 1,7, 2

4.

A 5,2,4 , B 3, 4,2 , C 6, 3, 3

заданными полярными координатами.

A

4,

B

3,

3

A

5,

B

2,

1.

,

2.

,

4

4

6

3

A

6,

B

8,

2

A

7,

B

5,

2

3.

,

4.

,

6

3

2

3

Задача 6. Заданы координаты точек

A(х A , y A , z A ) и

B xB , yB , zB .

Определить длину и направление вектора AB в декартовой системе координат.

1.

A 4, 2,6 , B 1,4,0

2.

A 2,2,0 , B 0, 2,5

3.

A 1,2,3 , B 3, 4, 2

4.

A 3,5,3 , B 4,3, 4

Задача 7. Найти проекцию

вектора b

CD на вектор

а

АВ , если

заданы точки A(х A , y A , z A ) , B xB ,

yB , zB , C xC , yC , zC и D xD , yD , zD .

Задача 8.

Определить длины векторов a и

b , на которых построен

параллелограмм

с

диагоналями

c

x1 i

y1

j

z1 k и

d

x2

i

y2 j z2

k .

1.

c

2 i

j 3 k , d

2 i

2 j 4 k

2.

c

3 i

2 j k , d

i

j k

3.

c

4 i

3 j 5 k , d

2 i

3 j

3 k

4.

c

2 i

2 j

4 k , d 3 i

2 j k

23

построенного на векторах

a

и

b .

1. a

2i k , b

2 i

j

k

2. a

i

j k , b

3 i

2 j

k

3. a

2 i

4 j

3 k , b

3 i

j

2 k

4. a

2 i

j , b

3 j k

Задача 10. Даны два единичных вектора m и

n , угол между которыми

равен 1200 . Найти

острый

угол

между диагоналями

параллелограмма,

построенного на векторах

a

и b , и проекцию вектора

b

на направление

вектора a .

1. a 2 m n ,

b m

3 n

2. a

2 m n , b

3 m n

3. a m 3 n , b

m

2 n

4. a

2 m 4 n , b m n

Задача

11.

Даны

радиус

векторы

трёх

последовательных

вершин

параллелограмма

ABCD :

rA

xA i

y A

j z A k ,

rB xB i

yB j

zB k ,

rC xC i

yC

j

zC k . Определить радиус вектор четвёртой вершины rD .

1. rA

2 i

2 j 3 k ,

rB

4 i 3 j 5 k , rC

i 4 j 6 k

2. rA

i 2 j k , rB

i

j k , rC

4 i 7 j 3 k

3. rA

2 i

j k , rB

3 i

3 j

k , rC i

6 j 7 k

4. rA

i 2 j 2 k ,

rB 2 i j

3 k , rC

i

3 j 5 k

xa , ya , za ,

Задача

12.

Определить

вектор

с

a

b ,

если

a

xb , yb , zb .

b

2,3,5

2,3,1 ,

1.

a

, b 1,2, 1

2.

a

b 1,2, 1

8, 2,3 ,

1, 4, 5

3,7, 3 ,

5, 1,2

3.

a

b

4.

a

b

Задача

13.

Вычислить

значения

площадей

треугольника

и

параллелограмма,

построенных

на

векторах

a xa

i ya j za k

и

b

xb i yb j

zb k .

1. a

2 i

3 j

5 k , b 3 i

j

2 k

2. a

2 j

2 k , b j

k

3. a

2 i

k , b

2 i

j

4 k

4. a

4 i

5 j 3 k , b

3 i

3 j

5 k

.

Задача 14.

Векторы

a

и

b

образуют угол

Вычислить площадь

параллелограмма, построенного на векторах

p 1 a 1 b

и

g

2 a

2 b

, если известны значения

а

и

b

.

1. p

a 3 b ,

g

3 a b , 300

,

a

1,

b

1

600 ,

2 ,

1

2. p

5 a

b ,

g a

2 b ,

a

b

3.

p

2 a b

,

g

a

b , 1200 ,

a

5 ,

b

4

450 ,

3 ,

3

4. p

a 2 b ,

g

3 a

2 b ,

a

b

1.

a

i j k , b

i

j k , c i

3 j

4 k

2.

a

i 6 j 2 k , b

3 j 6 k , c 2 i

2 j 3 k

3.

a

3 i 2 j 2 k , b

i 2 j 3 k ,

c 4 i j 4 k

4.

a

4 i j 3 k , b

3 i 8 j 2 k , c 2 i 7 j 3 k

a , b и c .

1.

a

3 i

4 j

2 k , b

2 i 3 j k , c

5 i

5 k ,

2.

a

3 i 3 j , b 4 i

4 k , c 6 i

j k

3. a

i 7 j 5 k , b

6 i 8 j , c

3 i 4 j 10 k

4.

a

i

3 j

3 k , b

i 3 j k ,

c 6 i 3 j 3 k

Задача 18. Выяснить являются линейно зависимыми или линейно

независимыми

векторы

A1 a11, a12 , a13 ,

A2 a21, a22 , a23

и

A3 a31, a32 , a33 .

x1, y1, z1

,

x2 , y2 , z2 и

Задача

20. Заданы

векторы

a1

a2

x3 , y3 , z3 .

x, y, z линейной

a3

Выяснить

является

ли

вектор

b

2,3,4

1.

a1

2,0,1 , a2

1, 1,0 ,

a3 0,1,2 ,

b

3,2,52

2.

a1

1,2,1 , a2

1,3,5 , a3 0, 3,7 ,

b

0,4,16

3.

a1

1,3,5 , a2

0,2,0 , a3

5,7,9 ,

b

3,7, 7

4.

a1

2,1,0 , a2

1, 1,2 , a3 2,2, 1 ,

b

27

a

a

...

a

11

12

1n

a21

a22

...

a2n

, где

A

...

... ... ...

am2

...

am1

amn

Пример 1.

1

4

A

2

5

AT

1

2

3

,

3 2

2 3

4

5

6

3

6

Пример 2.

1

4

5

20

A

2

5

, B

5

A 10

25

3 2

3 2

3 2

3

6

15

30

3.

Сложение матриц одинаковых размеров

Для расчета элементов матрицы

C

A

B

используют правило:

m n

m n

m n

cij aij bij , i, j

Пример 3.

1 4

1

4

0 8

A

2 5

, B

2

5

, C

A B

4 0

3 2

3 6

3 2

3

6

3 2

3 2 3 2

0 12

4.

Умножение матриц

Для расчета элементов матрицы

D

A

B

используют правило:

m k

m n n k

n

dij ais

bsj , i, j

s 1

Пример 4.

1

4

31

28

25

A

2

7

8

9

A B

44

41 38

5 , B

, D

3 2

2 3

6

5

4

3 2 2 3

3

6

3 3

57

54

51

d11 1 7 4 6 31,

d12 1 8 4 5 28, d13 1 9 4 4 25

d21 2 7 5 6 44, d22

2 8 5 5 41, d23 2 9 5 4 38

d31 3 7 6 6 57, d32

3 8 6 5 54, d33 3 9 6 4 51

5. Умножение матрицы на вектор

вектор X x1, x2 ,...,xn называется

Произведением матрицы

A

на

вектор Y y1, y2 ,..., ym ,

m n

который равен линейной комбинации столбцов

матрицы

Aj ,

j

с коэффициентами, являющимися координатами

1, n

вектора x j

j

.

,

1, n

A X A1 x1 A2 x2 ... An xn Y , где

m n