Добавил:

Ravochking Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.07.2020

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

m n

m n m n

m n

10.

B C

m n

n k k l

m n n k

k l

11.

A C

B C

m n

n k

m n n k

12.

B A C

k m k m

m n

k m m n k m m n

13.

m n n n

m m m n

m n

14.

X Y A X A Y , где

m n

x1, x2 ,...,xn

y1, y2 ,..., yn − векторы.

15.

x , x

,...,x − вектор.

X , где X

m n

1 2

2.2.Понятие и вычисление определителя квадратной матрицы. Свойства определителей

Определитель матрицы – число, существующее только для квадратной матрицы, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов данной матрицы. Определитель обозначается той же заглавной буквой (иногда с индексом), что и матрица, включенной в две вертикальные черты. Таблица чисел также включается в две вертикальные черты:

	a11	a12	...	a1n
A	a21	a22	...	a2n
A	...	... ... ...
n n	...	... ... ...
	an1	an2	...	ann

Правила расчета определителей

1.Определитель первого порядка для матрицы, состоящей из одной строки и одного столбца:

A a11 a11 1 1

2.Определитель второго порядка для матрицы, состоящей из двух строк и двух столбцов:

A	a11	a12	a	a	a	a
A	a11	a12	a	a	a	a
2 2	a21	a22	11	22	12	21
						31

3.Определитель матрицы, состоящей из большого количества строк и столбцов, может быть вычислен с помощью теоремы Лапласа:

				a11			a12			...	a1n			n		Aij , i
				a21			a22			...	a2n			aij
														aij
	A												j 1				, где
	A				.		.			... .				n			, где
	n n				.		.			... .				n		Aij , j
														a		Aij , j
				an1		an2				...	ann				ij
				an1		an2				...	ann		i 1
	Aij	− алгебраическое дополнение элемента матрицы aij .
Примечание. Алгебраическое дополнение элемента матрицы aij
вычисляется следующим образом:
	A 1 i j M								ij	, где
	ij								ij
M ij			–		определитель							матрицы,				получаемой			из исходной матрицы
удалением элементов i-той строки и j-ого столбца.
Пример 6.
					2		3
			1		2		3
	A		4 5				6	a21 A21 a22 A22 a23 A23
	3 3		7		8		9
			7		8		9
						2 3							1	3			1 2
4 1 3						2 3				5 1 4			1	3	6 1 5		1 2		4 6 5 12 6 6 0
						8	9						7	9			7	8

Примечание. При расчете определителя матрицы желательно использовать свойства определителей и их следствия:

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

2.Если матрица содержит две одинаковых строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

3.Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

4.Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) матрицы, предварительно умноженные на одно и то же число.

6.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов).

7.При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

8.При перестановке двух строк (столбцов) матрицы знак определителя меняется.

9.Определитель диагональной матрицы (квадратной матрицы, имеющей ненулевые элементы только на главной диагонали) равен произведению

элементов, стоящих на главной диагонали матрицы.

10.Определитель треугольной матрицы (квадратной матрицы, имеющей ненулевые элементы только ниже (выше) главной диагонали) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали матрицы.

11.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример 7. Вычислим определитель матрицы, используя свойства определителей и их следствия:

	1	4	7	10
	10	1	4	7	К первому столбцу матрицы прибавим сумму
A	10	1	4	7	второго, третьего и четвертого столбцов
	7	10	1	4	матрицы.
	7	10	1	4

	4	7	10	1
		4	7	10	Первую строку матрицы, умноженную на (-1):
	22	4	7	10

A	22	1	4	7	прибавим ко второй строке,
	22	1	4	7	прибавим ко второй строке,
	22	10	1	4	прибавим к третьей строке,
	22	10	1	4	прибавим к третьей строке,
	22	7	10	1	прибавим к четвертой строке матрицы.
	22	7	10	1
		4	7	10	Вторую строку матрицы:
	22	4	7	10
		3	3	3
A	0				умножим на 2 и прибавим к третьей строке;
	0				умножим на 2 и прибавим к третьей строке;
	0	6	6	6	прибавим к четвертой строке матрицы.
	0	6	6	6	прибавим к четвертой строке матрицы.
	0	3	3	9

	22	4	7	10
A	0	3	3	3	22 3 12 12 9504
A	0	3	3	3	22 3 12 12 9504
	0	0	12	12
	0	0	12	12
	0	0	0	12

Используя свойства определителей, получили треугольную матрицу. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали матрицы.

2.3.Обратная матрица

Обратная матрица существует только для квадратных неособенных

матриц, а именно, таких у которых определитель не равен нулю. Обратная
матрица к матрице A обозначается A 1 .
n n	n n

По определению: A A 1 A 1 A E

n n n n n n n n n n

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1.Вычисляется определитель матрицы, он должен быть не равен нулю.

2.Вычисляется присоединенная матрица.

			A	A	...	A
			11	21		n1
		A12		A22	...	An2
	A	A12		A22	...	An2
	A	.		.	...	.
n n		.		.	...	.

			A1n	A2n	...
			A1n	A2n	...	Ann
3. Вычисляется обратная матрица.

		A 1			1
					1				A


		n n					A	n n
					n n
	Пример 8.
					2				1				1

		A			1				2				0
	3 3				1				3
					1				3				1
1.	Вычислим определитель матрицы.
		A										1 3			1 2		1						3 3	2	1	10				0
												1 3			1 2								3 3	2	1
			1 1												1	3						1		1	2
		3 3													1	3								1	2
2.	Вычислим присоединенную матрицу.
									0						A						1	1			A		1				1		2,
		A			2				0	2,					A						1	1	4,		A		1				1		2,
	11				3 1											21				3		1			31		2				0
					3 1															3		1					2				0
										0									2			1	3,					2			1	1,
		A					1			0		1,				A			2			1	3,		A			2			1	1,
	12						1		1							22			1			1			32			1			0
							1		1										1			1						1			0
									2												2	1							2		1	5
		A				1			2		5,				A						2	1	5,		A				2		1	5
	13						1		3							23					1 3					33			1		2
							1		3												1 3								1		2
					A				A					A			2					4	2
					11				21					31

		A A12							A22				A32					1				3	1
	3 3			A					A				A					5				5	5
					13				23					33
																						34

3. Вычислим обратную матрицу.
		2		4	2	0.2	0.4	0.2
A 1	1		1	3	1	0.1	0.3	0.1

3 3	10
			5	5	5	0.5	0.5	0.5

2.4.Ранг матрицы

Ранг матрицы – наивысший порядок ее миноров отличных от нуля. Ранг матрицы совпадает с максимальным количеством независимых строк (столбцов) матрицы.

Примечание. Минор k-того порядка – определитель матрицы элементов, стоящих на пересечении k строк и k столбцов исходной матрицы.

Вычисление ранга матрицы по определению требует вычисления большого количества определителей. Рекомендуется вычислять ранг с помощью элементарных преобразований матрицы, не меняющих ранга матрицы:

перестановка строк (столбцов);

умножение всех элементов строки (столбца) на одно число, отличное от нуля;

прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число;

исключение строк (столбцов), состоящих из нулей.

	Пример 9.
			1	4	3	2	Первую строку элементов:
			3	6	5	4	Первую строку элементов:
			3	6	5	4	умножим на 3 и прибавим ко второй строке,
A
			2	7	3	5	умножим на (-2) и прибавим к третьей строке,
			2	7	3	5	умножим на (-2) и прибавим к третьей строке,
			2	1	4	1	умножим на 2 и прибавим к четвертой строке.
			2	1	4	1
	1		4	3	2		Вторую строку элементов:
	1		4	3	2			умножим на (5/6) и прибавим к третьей
	0		18	4	10			умножим на (5/6) и прибавим к третьей
	0		18	4	10			строке,
	0	15		3	1			умножим на (-0,5) и прибавим к четвертой
								строке.
	0		9	2	5			строке.
	0		9	2	5
	1		4	3	2
	0	18		4	10
	0	18		4	10		Вычислим миноры матрицы, окаймляющие друг
	0		0	2 / 6	56 / 6		друга, всех возможных порядков.
	0		0	2 / 6	56 / 6		друга, всех возможных порядков.
	0		0	0	0
	0		0	0	0
								35

			1	4		1	4	3		1	4	3	2

	1	1;			18 0 ;				6 0 ;	0 18 4			10	0

						0	18	4

			0	18		0	0	2 / 6		0	0	2 / 6	56 / 6

										0	0	0	0

Ранг матрицы (наивысший порядок миноров отличных от нуля)													– равен трем.

2.5.Решение матричных уравнений

1. A X B ,								A		0 X A 1 B
	n n n k			n k			n n						n k	n n n k
Обоснование:
	A 1						A 1											X		A 1 B
	A 1		A		X		A 1					B A 1 A						X		A 1 B
	n n		n n n k					n n n k					n n n n					n k			n n n k
		E	X A 1				B
n n n k				n n n k
Пример 10.
2			1		1							3

		1	2		0		X					5
		1	3		1							2

				1		1
			2	1		1
	A		1		2		0		10 0
	A		1		2		0		10 0
			1		3	1
							0.2					0.4	0.2		3				1

	X A 1 B					0.1						0.3	0.1				5		2
						0.5						0.5	0.5				2		3
						0.5						0.5	0.5				2		3
2. X A B ,								A			0 X B A 1
	m n n n				m n			n n					m n		m n n n
Обоснование:
			A		A 1 B A 1								X								B A 1
X			A		A 1 B A 1								X			A A 1					B A 1
m n n n					n n				m n n n				m n			n n n n					m n n n
		X	E		B A 1
	m n n n				m n n n
															36

Пример 11.

	2	1	1
					3	5 2
X	1	2 0			3	5 2
	1	3	1

		1	1
	2	1	1
A	1	2	0	10 0
A	1	2	0	10 0
	1	3	1
						0.2	0.4	0.2
X B A 1 3						0.1				0.1
X B A 1 3					5 2	0.1	0.3	0.1	2.1 1.3	0.1

						0.5	0.5	0.5
						0.5	0.5	0.5

2.6.Модель многоотраслевой экономики Леонтьева (США, 1936 г.)

Цель моделирования – ответ на вопрос: « Каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы имел место баланс спроса и предложения продукции этих отраслей?», т.е. выполнялись равенства:

	n
xi	xij yi , i	1, n	, где
	j 1
xi	− совокупный продукт i-той отрасли;
xij	− продукт i-той отрасли, потребляемый j-той отраслей на
внутриотраслевом рынке;
yi	− конечный продукт i-той отрасли, потребляемый гражданами и

государством вне отраслей.

Баланс спроса и предложения продукции отраслей может быть записан в матричной форме:

X n 1

A X Y , где n n n 1 n 1

x
	1
x2		− матрица совокупных продуктов отраслей;
		− матрица совокупных продуктов отраслей;



xn

		y
		1
Y	y2			− матрица конечных продуктов отраслей;
Y				− матрица конечных продуктов отраслей;
n 1


	yn
a	xij		−	коэффициент прямых материальных затрат продукции i-той
a			−	коэффициент прямых материальных затрат продукции i-той
ij	x j
	x j
отрасли, идущей на одну условную единицу продукции j-той отрасли;
	a			a	...	a
		11		12		1n
A	a21			a22	...	a2n	− матрица коэффициентов прямых
A	.			.	...	.	− матрица коэффициентов прямых
n n	.			.	...	.

				an2	...
	an1			an2	...	ann

материальных затрат продукции. Решим матричное балансовое уравнение:

X A X Y , X

A X Y

Y ,

n 1

n n n 1 n 1

n n

n 1

Если

E A D ,

X D 1 Y

n n

n 1

n n n 1

то баланс возможен при единственном варианте матрицы совокупных продуктов отраслей.

Пример 12. Решим матричное балансовое уравнение X A X Y , найдем валовой продукт, зная конечный спрос и матрицу коэффициентов прямых материальных затрат продукции:

	10			0.1	0.1	0.1

Y	20	, A		0.1	0.1	0.1
	30			0.2	0.2
	30			0.2	0.2	0.2
			0.9		0.1	0.1

D E A			0.1		0.9	0.1
			0.2		0.2	0.8
			0.2		0.2	0.8

D	0.9		0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.9	0.6 0
		0.9

		0.2	0.8		0.2	0.8		0.2	0.2

Следовательно, баланс возможен при единственном варианте матрицы совокупных продуктов отраслей:


							1							1		D Y
X D 1Y							1	D Y						1
X D 1Y								D Y
							D							D
							D							D
						0.1					0.7, D										0.1		0.1				0.1, D			0.1			0.9
D		0.9				0.1					0.7, D										0.1		0.1				0.1, D			0.1			0.9		0.2
11			0.2			0.8									12						0.2		0.8			13				0.2			0.2
			0.2			0.8															0.2		0.8							0.2			0.2
D				0.1			0.1						0.1, D								0.9		0.1				0.7, D				0.9		0.1			0.2
D				0.1			0.1						0.1, D								0.9		0.1				0.7, D				0.9		0.1			0.2
21				0.2		0.8											22				0.2		0.8				23				0.2		0.2
				0.2		0.8															0.2		0.8								0.2		0.2
D			0.1			0.1				0.1, D										0.9			0.1	0.1, D					0.9			0.1		0.8
D			0.1			0.1				0.1, D										0.9			0.1	0.1, D					0.9			0.1		0.8
31			0.9			0.1									32					0.1			0.1		33				0.1				0.9
			0.9			0.1														0.1			0.1						0.1				0.9
	D				D				D						0.7			0.1				0.1
	11					21			31
	11
D	D12				D22				D32						0.1 0.7							0.1
					D23										0.2			0.2
	D13				D23				D33						0.2			0.2				0.8
				0.7		0.1						0.1		10				0.7 10 0.1 20 0.1 30														12
																			0.1

D Y				0.1		0.7						0.1		20								10	0.7 20 0.1 30									18
				0.2		0.2								30								10	0.2 20 0.8									30
				0.2		0.2						0.8		30				0.2				10	0.2 20 0.8					30				30

Итак, матрица совокупных продуктов отраслей составит:

		12	20
	1
X		18	30
X	0.6	18	30
	0.6	30	50
		30	50

2.7.Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Выполнить операции над матрицами, найти матрицу C .

	1			0		2	1	3
	1		1	0	, B	1	0	2		T	T
1.	A				, B	1	0	2	;	T	T
1.			1						;	C A B	B A
		2	1	3		1	3	1
						1	3	1

		2	1	6				3		1				5
		2	1	6		, B
2.	A					, B		1			0			2	;
2.															;
		2	0	3				4			2			6
								4			2			6
			3							3				1		5
		4	3			5	, B			2				1 7
3.	A						, B			2				1 7			;
3.																	;
		6	2		1					2				1		3
										2				1		3
		2	1	6				3			1
		2	1	6		, B
4.	A					, B		1			0		;
4.													;
		2	0	3				4			2
								4			2
		4	1	6				3		5
		4	1	6		, B
5.	A					, B		1		2		;
5.												;
		2	5	3				4		6
								4		6
			1								3			1
		2	1			6	, B				1				0
6.	A						, B				1				0	;
6.																;
		2	0		3						4			2
											4			2
	4				6				3						5
	4		1		6		, B				1			2
7.	A						, B				1			2		;
7.		2	5			3										;
		2	5			3				4					6
										4					6
	4										3			1
	4		1			2	, B				1				2
8.	A						, B				1				2	;
8.		5	3			2										;
		5	3			2					7			2
											7			2

C A B AT 3E

C B AT A E

C A B E T

C BT AT E T

C AT BT 2E T

C B A B 3B T

C A B A 5A T

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.10.20191.68 Mб21koshkina_n_b_mnogourovnevaya_professionalnaya_podgotovka_spe.doc
#
29.10.2019952.74 Кб2Kosnpеkt_Finansirovaniе proеkta. Upravlеniе stoimostyyu i izdеrzhkami.pdf
#
03.09.20192.17 Mб2Kospеkt_Korporativnaya kulytura kompanii (1).pdf
#
29.09.20208.14 Mб50kovalev_ns_red_territorialnoe_planirovanie_i_prognozirovanie.pdf
#
19.11.20191.41 Mб53kovkel_n_f_selyutina_e_n_kholodov_v_a_istoriya_i_metodologiy.pdf
#
28.07.20202.83 Mб3kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti.pdf
#
06.04.20206.39 Mб25Kozlov_Alexey_Kak_povysit_samootsenku.pdf
#
19.11.20191.3 Mб14krauze_a_a_istoriya_i_filosofiya_nauki_obshchie_problemy_fil.pdf
#
17.01.2021686.31 Кб4kravchenko_iud_abrosimova_ea_literaturnaia_rabota_zhurnalist.pdf
#
19.11.2019360.66 Кб1kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu-1.pdf
#
29.10.2019360.66 Кб2kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu.pdf

		2	1	6				3		1				5
		2	1	6		, B
2.	A					, B		1			0			2	;
2.															;
		2	0	3				4			2			6
								4			2			6
			3							3				1		5
		4	3			5	, B			2				1 7
3.	A						, B			2				1 7			;
3.																	;
		6	2		1					2				1		3
										2				1		3
		2	1	6				3			1
		2	1	6		, B
4.	A					, B		1			0		;
4.													;
		2	0	3				4			2
								4			2
		4	1	6				3		5
		4	1	6		, B
5.	A					, B		1		2		;
5.												;
		2	5	3				4		6
								4		6
			1								3			1
		2	1			6	, B				1				0
6.	A						, B				1				0	;
6.																;
		2	0		3						4			2
											4			2
	4				6				3						5
	4		1		6		, B				1			2
7.	A						, B				1			2		;
7.		2	5			3										;
		2	5			3				4					6
										4					6
	4										3			1
	4		1			2	, B				1				2
8.	A						, B				1				2	;
8.		5	3			2										;
		5	3			2					7			2
											7			2

		2	1	6				3		1				5
		2	1	6		, B
2.	A					, B		1			0			2	;
2.															;
		2	0	3				4			2			6
								4			2			6
			3							3				1		5
		4	3			5	, B			2				1 7
3.	A						, B			2				1 7			;
3.																	;
		6	2		1					2				1		3
										2				1		3
		2	1	6				3			1
		2	1	6		, B
4.	A					, B		1			0		;
4.													;
		2	0	3				4			2
								4			2
		4	1	6				3		5
		4	1	6		, B
5.	A					, B		1		2		;
5.												;
		2	5	3				4		6
								4		6
			1								3			1
		2	1			6	, B				1				0
6.	A						, B				1				0	;
6.																;
		2	0		3						4			2
											4			2
	4				6				3						5
	4		1		6		, B				1			2
7.	A						, B				1			2		;
7.		2	5			3										;
		2	5			3				4					6
										4					6
	4										3			1
	4		1			2	, B				1				2
8.	A						, B				1				2	;
8.		5	3			2										;
		5	3			2					7			2
											7			2

		2	1	6				3		1				5
		2	1	6		, B
2.	A					, B		1			0			2	;
2.															;
		2	0	3				4			2			6
								4			2			6
			3							3				1		5
		4	3			5	, B			2				1 7
3.	A						, B			2				1 7			;
3.																	;
		6	2		1					2				1		3
										2				1		3
		2	1	6				3			1
		2	1	6		, B
4.	A					, B		1			0		;
4.													;
		2	0	3				4			2
								4			2
		4	1	6				3		5
		4	1	6		, B
5.	A					, B		1		2		;
5.												;
		2	5	3				4		6
								4		6
			1								3			1
		2	1			6	, B				1				0
6.	A						, B				1				0	;
6.																;
		2	0		3						4			2
											4			2
	4				6				3						5
	4		1		6		, B				1			2
7.	A						, B				1			2		;
7.		2	5			3										;
		2	5			3				4					6
										4					6
	4										3			1
	4		1			2	, B				1				2
8.	A						, B				1				2	;
8.		5	3			2										;
		5	3			2					7			2
											7			2