Добавил:

Ravochking Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.07.2020

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

3.9.Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Если матрица коэффициентов при неизвестных неособенная, решить систему уравнений двумя способами, используя формулы Крамера и обратную матрицу.

			2x1 x2		4
		3x1 5x3 18
1.		3x1 5x3 18
	7x 6x 4x 31
		1	2		3
	2x1 3x2 5x3 11
		3x1 x2 3x3 10
3.		3x1 x2 3x3 10
	x 2x 4x 7
		1	2		3
	2x1 3x2 2x3 1

5.	3x1 3x2 2x3 2
		x1 2x2 1
		x1 2x2 1
	x x x				6
		1	2	3
7.	2x1 x2 x3 3
	x x 2x				5
		1	2	3
	5x1 5x2 x3 1
		2x1 3x2 1
9.		2x1 3x2 1
	4x		5x	x 0
		1	2		3
		3x1 x2 2
		5x1 5x2 x3 1
11.		5x1 5x2 x3 1
	3x		4x	x 2
		1	2		3
	2x1 3x2 x3 4

13.	5x1 7x2 2x3 10
			2x1 x2		3
			2x1 x2		3

	5x1 6x2 4x3 3

2.	3x1 3x2 2x3 2
		4x 5x 2x 1
		1		2	3
			2x1 x2		4
		x1 x2 5x3 14
4.		x1 x2 5x3 14
	9x 7x 4x 35
		1		2		3
	x1 2x2 2x3 1
		3x1 x2 3x3 10
6.		3x1 x2 3x3 10
		4x x x				3
			1	2	3
	x		x	2x		9
		1	2	3
8.	2x1 x2 2x3 6
	x		x	3x		8
		1	2	3
		x1 x2 x3 1
			2x1 3x2		5
10.			2x1 3x2		5
	5x 4x 2x 11
		1		2	3
	4x1 4x2 x3 7
		2x1 x2 3
12.		2x1 x2 3
	3x		4x x			6
		1		2	3
		2x2 x3 7
		2x1 x2 4
14.		2x1 x2 4
	x 2x			x	8
		1	2	3

Задача 2. Установить совместность (или несовместность) системы уравнений. Если система совместна, найти базисные решения.

	2x1 x2 x3 x4 4

1.	x1 x2 x3 3x4 1
	3x x 2x x 6
		1	2	3	4
	x 2x 3x 4x 9
		1	2	3	4
3.		x1 x2 x3 5x4 5
	2x 3x x x 3
		1	2	3	4
		x1 x2 2x3 3x4 2

5.	x1 2x2 3x3 x4 2
		3x x x 2x 4
		1	2	3	4
	x1 x2 2x3 x4 1
		3x1 2x2 x3 x4 6
7.		3x1 2x2 x3 x4 6
		2x x 3x x 2
		1	2	3	4
	2x1 x2 x3 3x4 7
			x1 x3 2
9.			x1 x3 2
	x x 3x 3x 2
		1	2	3	4
	x 2x 2x x 8
		1	2	3	4
11.	x1 x2 x3 2x4 0
		x2 x3 x4 4
		x2 x3 x4 4
	x 6x 3x 2x 5
		1	2	3	4
13.		2x1 2x2 x3 3x4 1
			x1 x4 2
			x1 x4 2
		x1 x2 x3 x4 2

15.	2x1 2x2 x3 2x4 2
			x1 x2 x4 2
			x1 x2 x4 2

	x x 3x 2x 2
		1	2			3	4
2.			x1 x4 0
	3x x 3x 2x 4
		1	2			3		4
		x1 x2 3x3 2x4 0

4.	2x1 3x2 2x3 4x4 7
				2x2 x3 3
				2x2 x3 3
	x 2x 3x x 4
		1		2		3	4
6.		2x1 x2 3x3 x4 1
	x x x 3x 3
		1		2		3	4
	2x1 x2 x3 x4 4
		4x1 x3 2x4 5
8.		4x1 x3 2x4 5
	3x x			2	2x x				4	6
		1		2		3			4
	x 2x			2	3x 4x					4	9
		1		2		3				4
10.		x1 x2				x3	5x4 5
		x1 2x2 4x4 2
		x1 2x2 4x4 2
	x1 x2 2x3 3x4 2
						4x3 3x4 2
12.	2x1 3x2					4x3 3x4 2
		3x x			2	x 2x				4	4
		1			2	3				4
		2x1 3x2 x3 5
						x3	x4 6
14.	3x1 2x2					x3	x4 6
	2x x			2	3x x			4		2
		1		2		3		4
	2x1 x2 x3 x4 4
					x3 5x4					2
16.	4x1 x2				x3 5x4					2
			3x1 2x4				3
			3x1 2x4				3

Задача 3. Найти фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений.

	x x 3x 2x 0						x 2x 2x x 0
1.		1	2	3	4	2.		1	2	3	4
	3x1 x2 3x3 2x4 0						x1 x2 x3 2x4 0
3.		2x x x x 0				4.	x x 2x 3x 0
3.		1	2	3	4	4.		1	2	3	4
	3x1 x2 2x3 x4 0						3x1 x2 2x3 2x4 0
5.	x 6x 3x 2x 0					6.	x 2x 3x 5x 0
5.		1	2	3	4	6.		1	2	3	4
	2x1 9x2 x3 3x4 0							x1 x2 x3 5x4 0

7.		x1 x2 3x3 2x4 0			8.	2x1 x2 x3 3x4 0
				2x3 4x4 0				x2	3x3 3x4 0
	2x1 3x2					x1
	x 2x 3x x 0						x x 2x x 0
9.		1	2	3 4	10.		1	2	3 4
	2x1 x2 3x3 2x4 0					3x1 2x2 x3 2x4 0

Задача 4. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений, используя частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.

				x 3x 2x 6				x 2x 2x					8
1.				2	3	4	2.		1	2	3
	3x1		x2 3x3			12				x2 x3 2x4 0
3.	x1 x2				2x4 0		4.	2x1		x3 3x4 18
3.				2x3 4x4 12			4.		x1 x2			3x4 6
	2x1			2x3 4x4 12					x1 x2			3x4 6
			6x 3x 2x 6					x 2x			5x 30
5.				2	3	4	6.		1	2			4
	2x1		9x2			3x4 18				x2 x3 5x4 5
	x			2x x 4				x 2x				x 24
7.		1			3	4	8.		1	2			4
		3x1 2x2			2x4 6			2x1		3x3 2x4 18
9.	2x1 x2					x4 4	10.			x2 2x3 3x4 12
9.				x2 2x3 x4 6			10.	3x1 x2				2x4 6
				x2 2x3 x4 6				3x1 x2				2x4 6
							63

Задача 5. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид A .

3 3

Найти соотношение национальных доходов стран, при котором может иметь место баланс торговли между ними.

		0.1	0.3	0.3

1.	A	0.3	0.6	0.05
		0.6	0.1	0.65
		0.6	0.1	0.65
		0.3	0.05	0.2

3.	A	0.2	0.3	0.4
		0.5	0.65	0.4
		0.5	0.65	0.4

		0.3	0.3	0.2

5.	A	0.3	0.1	0.3
		0.4	0.6	0.5
		0.4	0.6	0.5
		0	0.2	0.2

7.	A	0.4	0.6	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.3	0.2	0.4

9.	A	0.1	0.2	0.2
		0.6	0.6	0.4
		0.6	0.6	0.4

		0	0.5	0.125

11.	A	0.5	0	0.5
		0.5	0.5	0.375
		0.5	0.5	0.375

		0.5	0.5	0.25

13.	A	0	0.5	0.75
		0.5	0	0
		0.5	0	0
		0.5	0.75	0

15.	A	0	0	0.5
		0.5	0.25	0.5
		0.5	0.25	0.5

		0.5	0.3	0.1

2.	A	0.3	0.6	0.6
		0.2	0.1	0.3
		0.2	0.1	0.3
		0.6	0.5	0.2

4.	A	0.3	0.4	0.3
		0.1	0.1	0.5
		0.1	0.1	0.5

			0.4	0.4	0.7

6.	A		0.2	0.1	0.15
			0.4	0.5	0.15
			0.4	0.5	0.15
			0.4	0.15	0.2

8.	A		0.5	0.3	0.6
			0.1	0.55	0.2
			0.1	0.55	0.2
		0.25		0.75	0.5

10.	A		0.3	0.25	0.1
		0.45		0
		0.45		0	0.4
			0.5	0	0.75

12.	A		0.5	0.5	0.25
			0	0.5	0
			0	0.5	0

		0.5	0	0.1

14.	A	0	0.5	0.3
		0.5	0.5	0.6
		0.5	0.5	0.6

		0.7	0	0.75

16.	A	0.3	0.5	0
		0	0.5	0.25
		0	0.5	0.25

Глава 4. Многочлены и комплексные числа

4.1.Комплексные числа

Комплексным (мнимым) числом называется выражение z x iy , где x

и y - действительные числа, i - мнимая единица. Числа x и y называются

соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются x Re z , y Im z . Мнимая единица i удовлетворяет

соотношению i2 1.
Два комплексных числа	z1 x1 iy1	и	z2 x2 iy2 равны	z1 z2 , если
равны их действительные и мнимые части x1 x2 , y1 y2 .

Два комплексных числа	z x iy	и	z x iy , имеющие	одинаковые

действительные и противоположные мнимые части, называются

сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2

Сложение (вычитание) комплексных чисел

z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2

i y1 y2

Умножение комплексных чисел

z1z2 x1 iy1 x2 iy2

x1x2 y1y2

i x1y2 x2 y1

Деление комплексных чисел

x1 iy1 x2 iy2

x1x2 y1y2

x2 y1 x1y2

x2 iy2 x2 iy2

2 y

Примечание. Все арифметические операции над комплексными числами определяются по правилам соответственно сложения, умножения и деления многочленов.

Пример 1. Даны комплексные числа

z1 4 5i и

z2 3 i . Найдем

комплексные числа а) z

, б) z z

, в)

z z

и г)

а) z1 z2 4 5i 3 i 1 4i

б) z1 z2

4 5i 3 i 7 6i

в) z1z2

4 5i 3 i 7 19i

г)

4 5i

4 5i 3 i

17 11i

1,7 1,1i

3 i

3 i 3 i

9 1

Тригонометрическая форма комплексного числа

В	декартовой системе	координат комплексное число изображается
точкой	M x, y . Оси Ox	и Oy называются соответственно мнимой и

M x, y

Рис.1

действительной осями, координатная плоскость – комплексной. Абсцисса x и ордината y каждой точки изображают

соответственно действительную и мнимую

части комплексного			числа	z . Полярные
координаты		точки	M	определяются

положением		радиус-вектора		OM	- его
		r и	углом

длиной	OM			осью	Ox и

называются модулем r z и аргументомArg z комплексного числа z (рис. 1).

Справедливы соотношения:

cos

sin

2 ,

Из

значений аргумента комплексного числа Arg z

выделяют главное

значение

аргумента

arg z ,

удовлетворяющее

условию arg z . Связь

между декартовыми

полярными координатами точки

M комплексной

плоскости x r cos

y r sin определяет тригонометрическую форму

комплексного числа

z r cos i sin

Пример 2.

Найдем

тригонометрическую форму комплексных чисел:

а) z 3, б) z 7i , в) z 1 3 i , г) z 1 i .

а)

Комплексное число z 3 имеет Re z x 3 и Im z y 0 .

Отсюда r

32 02 3, cos 1, sin 0 , arg z 0 .

z 3 3 cos

i sin 0

б)

72 7 ,

cos 0 , sin 1,

arg z

z 7 7 cos i sin

, arg z

2 , cos

, sin

в)

z 1

3i 2 cos

i sin

1 2

, sin

г)

2 , cos

; arg z

;

z 1 i

2 cos

i sin

Арифметические

операции

над

комплексными

числами

в тригонометрической форме

Умножение комплексных чисел

z1z2 r1 cos 1

i sin 1 r2 cos 2 i sin 2

r1r2 cos 1 2

i sin 1 2

Деление комплексных чисел

r1 cos 1 i sin 1

cos

i sin

z2 r2 cos 2

i sin 2

Возведение в степень комплексного числа (формула Муавра)

zn r cos i sin n r n cos n i sin n , где n - целое число

Извлечение корня из комплексного числа

							2 k
							2 k
n z n r cos i sin n r cos
							n

где k 0,n 1; n - натуральное число.

i sin	2 k
i sin		,
	n

Пример 3. Выполним арифметические операции над комплексными

z 1

1 i в тригонометрической форме: а)

z z

, б)

числами

3 i и

в)

z 9

, г) 3 z

2 .

Используем полученные в предыдущем примере тригонометрические

представления комплексных чисел

i sin

3 i 2 cos

1 i

2 cos

i sin



а)	z1z2	2					2 cos				4			i sin				4	2			2 cos				i sin
а)	z1z2	2					2 cos							i sin					2			2 cos				i sin
								3								3								12				12
б)	z1		2			cos				i sin									2		cos		7		i sin		7



	z2			2				3		4						3	4			2		12				12
	z19 29							9	i sin			9			512 cos i sin 512
в)					cos
в)					cos			3					3
								3					3
																	67

													cos				i sin
г) z	3 z			2	2	, где z				2		2	cos				i sin
				2				2
																		2							2
z 3				cos								2 k				i sin					2 k					, где k 0,1,2
			2									2 k									2 k
			2

							6					3							6		3

z																								3			1
																								3			1
		3 2				cos						i sin							3 2										i
		3 2				cos						i sin							3 2										i
1										6								6					2 2
										6								6					2 2
z		3							i sin
					2
					2	cos										3 2 i
2							2							2
							2							2
							7								7
z		3															3				3			1
																					3			1
					2	cos					i sin									2						i
					2	cos					i sin									2						i
3							6									6					2			2
							6									6					2			2
Показательная форма комплексного числа
Формула Эйлера												ei cos i sin										определяет показательную форму
комплексного числа												z r ei .
Пример						4.	Запишем									в		показательной										форме комплексные числа

z1 1 3 i и z2 1 i .

Используем полученные ранее тригонометрические представления чисел

z1 1			i sin		z2 1 i


	3 i 2 cos	3		и		2 cos		i sin	.
				3			4		4

Используя значения модуля и аргумента комплексных чисел, находим

i				i
z 2e 3	и z	2	2e	4 .
1		2

4.2.Многочлены и алгебраические уравнения. Основные понятия

Многочлен относительно x1, x2,..., xn и целая рациональная функция y F x1, x2,...,xn есть суммы конечного числа членов вида a x1k1 x2k2 ...xnkn , где каждое k j j 1,n ‒ неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы степеней k1 k2 ... kn членов многочлена называется степенью многочлена.

Многочлен относительно x1, x2,..., xn называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень.

Многочлен относительно x1, x2,..., xn называется симметрическим, если для любого множества значений x1, x2,..., xn значение многочлена не изменяется при какой угодно перестановке x1, x2,..., xn .

Каждый симметрический многочлен относительно x1, x2,..., xn может быть единственным образом записан как многочлен относительно элементарных симметрических функций u1,u2,...,un , определяемых следующим образом:

u1 xi , u2 x1x2 x1x3 ... xn 1xn , i 1

u3 x1x2x3 x1x2x4 ... xn 2xn 1xn ,..., un x1x2...xn ,

где uk k 2, n 1 ‒ есть сумма всех различных произведений, каждое из которых содержит k сомножителей x j с несовпадающими индексами.

Каждый симметрический многочлен относительно x1, x2,..., xn может быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций v1,v2,...,vn , определяемых следующим образом:

n	n	n
v0 n, v1 xi , v2	xi2	, ..., vk xik , ...
i 1	i 1	i 1

Многочлен степени n относительно x (целая рациональная функция степени n с одной переменной) имеет вид:

F x a	xn a xn 1	... a	x a	a	0
0	1	n 1	n	0

Алгебраическое уравнение степени n с неизвестной x имеет вид:

F x a xn		a xn 1 ... a			x a 0		a	0
	0	1		n 1	n		0
Решить уравнение с неизвестной x ‒ значит найти все значения x
(нули	функции	y F x ,		корни уравнения),				удовлетворяющие		этому
уравнению. Значение			x xi	есть корень кратности (порядка) m (кратный
корень,	если m 1)		алгебраического			уравнения			(нуль функции y F x
порядка m), если		F x f x x x m , где				f	x ‒ многочлен, причем f			x 0 .
				i						i

Алгебраическое уравнение степени n имеет n корней, если корень кратности m считать m раз.

Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений, через их коэффициенты и содержащие конечное число сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечений корня, существуют для уравнений первой,

второй, третей и четвертой степени.

Решение линейных уравнений

a x b 0

a 0

Пример 5. Решим линейное уравнение

1 3i x 5 i 0

i2 1

5 i

5 i 1 3i

2 16i

0,2 1,6i

1 3i

1 3i 1 3i

t3 a a t2

Решение квадратных уравнений

a x2 b x c 0

a 0 ,

b2 4a c

1, 2

Пример 6. Решим квадратное уравнение

3 x2 i x 2 0

i2 1

i2 4 3 2

i 5i

1, 2

2 3

i , x

Решение кубичных уравнений методом Кардано x3 a x2 b x c 0

Кубичное уравнение преобразуют в «неполное», которое решают, используя формулы корней. Затем определяют корни первоначального кубичного уравнения. Преобразование кубичных уравнений в «неполные» кубичные уравнения выполняется с помощью замены переменной.

x t a3

p a2

		a 3				a	2				a
t					a t				b t
t					a t				b t
		3				3					3
			a	2					3			a	3
	2		a		b t			a		3		a
	2				b t					3

		3							3		3

c 0
	a b
	a b	c	0
		c	0
3

b,	q 2	a	3		a b	c	t3 p t q 0


	3			3

Примечание. Если свободный член «неполного» уравнения равен нулю,

то корни уравнения легко определяются.

t3 p t 0

t t2 p 0

t1 0,

t2, 3 p

Решение «неполных» кубичных уравнений

t3 p t q 0

p 3

A 3

Q ,

B 3

t A B ,				A B	i	A B
	t	2, 3		A B		A B	3
	t						3
1			2		2
			2		2
							70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.10.20191.68 Mб21koshkina_n_b_mnogourovnevaya_professionalnaya_podgotovka_spe.doc
#
29.10.2019952.74 Кб2Kosnpеkt_Finansirovaniе proеkta. Upravlеniе stoimostyyu i izdеrzhkami.pdf
#
03.09.20192.17 Mб2Kospеkt_Korporativnaya kulytura kompanii (1).pdf
#
29.09.20208.14 Mб50kovalev_ns_red_territorialnoe_planirovanie_i_prognozirovanie.pdf
#
19.11.20191.41 Mб53kovkel_n_f_selyutina_e_n_kholodov_v_a_istoriya_i_metodologiy.pdf
#
28.07.20202.83 Mб3kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti.pdf
#
06.04.20206.39 Mб25Kozlov_Alexey_Kak_povysit_samootsenku.pdf
#
19.11.20191.3 Mб14krauze_a_a_istoriya_i_filosofiya_nauki_obshchie_problemy_fil.pdf
#
17.01.2021686.31 Кб4kravchenko_iud_abrosimova_ea_literaturnaia_rabota_zhurnalist.pdf
#
19.11.2019360.66 Кб1kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu-1.pdf
#
29.10.2019360.66 Кб2kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu.pdf

		0.3	0.3	0.2

5.	A	0.3	0.1	0.3
		0.4	0.6	0.5
		0.4	0.6	0.5
		0	0.2	0.2

7.	A	0.4	0.6	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.3	0.2	0.4

9.	A	0.1	0.2	0.2
		0.6	0.6	0.4
		0.6	0.6	0.4

		0.5	0.3	0.1

2.	A	0.3	0.6	0.6
		0.2	0.1	0.3
		0.2	0.1	0.3
		0.6	0.5	0.2

4.	A	0.3	0.4	0.3
		0.1	0.1	0.5
		0.1	0.1	0.5

		0.3	0.3	0.2

5.	A	0.3	0.1	0.3
		0.4	0.6	0.5
		0.4	0.6	0.5
		0	0.2	0.2

7.	A	0.4	0.6	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.3	0.2	0.4

9.	A	0.1	0.2	0.2
		0.6	0.6	0.4
		0.6	0.6	0.4

		0.5	0.3	0.1

2.	A	0.3	0.6	0.6
		0.2	0.1	0.3
		0.2	0.1	0.3
		0.6	0.5	0.2

4.	A	0.3	0.4	0.3
		0.1	0.1	0.5
		0.1	0.1	0.5

		0.3	0.3	0.2

5.	A	0.3	0.1	0.3
		0.4	0.6	0.5
		0.4	0.6	0.5
		0	0.2	0.2

7.	A	0.4	0.6	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.6	0.2	0.4
		0.3	0.2	0.4

9.	A	0.1	0.2	0.2
		0.6	0.6	0.4
		0.6	0.6	0.4

		0.5	0.3	0.1

2.	A	0.3	0.6	0.6
		0.2	0.1	0.3
		0.2	0.1	0.3
		0.6	0.5	0.2

4.	A	0.3	0.4	0.3
		0.1	0.1	0.5
		0.1	0.1	0.5