kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Метод Гаусса позволяет:

1.Установить определенность системы линейных уравнений. В этом случае ранг матрицы коэффициентов при неизвестных совпадает с рангом расширенной матрицы и числом неизвестных. Если после выполнения всех шагов метода матрица коэффициентов становится единичной, то матрица правых частей представляет собой решение системы.

2.Установить несовместность системы линейных уравнений. В этом случае ранг матрицы коэффициентов при неизвестных не совпадает с

рангом расширенной матрицы. После выполнения ряда шагов появляется

n

уравнение вида 0 x j bs , bs 0 .

j1

3.Установить неопределенность системы линейных уравнений. В этом случае ранг матрицы коэффициентов r при неизвестных совпадает с рангом расширенной матрицы и меньше числа неизвестных. После

выполнения всех шагов и, возможно, исключения уравнений вида

n

0 x j 0 число оставшихся уравнений становится менее числа

j 1

неизвестных.

В бесконечном множестве решений неопределенных систем линейных уравнений выделяют совокупность базисных решений, число которых

ограниченно и не превышает Cnr , где n – число неизвестных, r – число

оставшихся после преобразований метода Гаусса линейно независимых уравнений (это число равно рангам матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы уравнений).

Для отыскания базисного решения все неизвестные делят на две группы: r − основных переменных, n r − неосновных переменных. В группу основных переменных могут быть включены неизвестные, матрица коэффициентов при которых неособенная. Неосновные переменные в базисном решении равны нулю.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса удобно выполнять с помощью преобразований расширенной матрицы коэффициентов системы.

Примечание. Очевидно то, что применяя метод Гаусса, можно одновременно решать несколько систем линейных уравнений, отличающихся только правыми частями уравнений. Как следствие можно предложить данный метод для получения обратной матрицы.

51

3.6.Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений

Общий вид однородной системы линейных уравнений:

a11x1 a12x2 ... a1n xn 0

a21x1 a22x2 ... a2n xn 0

............................................

am1x1 am2x2 ... amnxn 0

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Однородная система линейных уравнений совместна, т.к. ранг матрицы коэффициентов r при неизвестных всегда совпадает с рангом расширенной матрицы. Пусть ранг матрицы коэффициентов r меньше числа неизвестных n . Тогда однородная система линейных уравнений является неопределенной и обладает следующими свойствами:

является решением системы.

3.Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

Совокупность линейно независимых решений F1, F2,...,F(n r)

однородной системы уравнений называют фундаментальной системой решений, если каждое решение системы уравнений является линейной комбинацией этих решений.

Для отыскания фундаментальной системы решений достаточно определить одну группу из r основных переменных и рассмотреть n r таких наборов значений для неосновных переменных, в которых только одной неизвестной придается значение 1, а всем другим ─ значение 0.

Примечание. Общее решение неоднородной неопределенной системы линейных уравнений можно определить как сумму общего решения соответствующей однородной системы линейных уравнений и частного решения неоднородной системы линейных уравнений.

Пример 9. Определим фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений:

3.7.Собственные значения и собственные векторы матрицы

Число называется собственным значением квадратной матрицы A

n n

(или характеристическим числом), если можно подобрать такой ненулевой

вектор X x1, x2,...,xn , что выполняется равенство: A X X

n n

Ненулевой вектор X x1, x2 ,...,xn называется собственным вектором

Подставив собственное значение i в матричное уравнение можно получить

множество всех собственных векторов, соответствующих этому собственному значению матрицы. Отыскание всех собственных векторов сводится к решению однородных систем линейных уравнений:

Собственные значения матрицы: 1 1, 2 5 . Определим собственные векторы матрицы.

58

1

Система уравнений имеет одно фундаментальное решение: X

I 1

3.8.Линейная модель международной торговли

Цель моделирования – ответ на вопрос: «Каким должно быть соотношение национальных доходов стран, чтобы имел место баланс торговли между ними?». Считается, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Линейная модель торгового обмена имеет вид:

n

aij 1− так как национальный доход тратится на закупку товаров либо

i1

внутри страны, либо на импорт из других стран.

59