Добавил:

Ravochking Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.07.2020

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пример 7. Решим кубичное уравнение

x3 3 x2 6 x 8 0

a 3, b 6, c 8

x t

t 1

t 1 3 3 t 1 2 6 t 1 8 0

t3 3 3 t2 3 6 6 t 1 3 6 8 0

t3 9t 0

p 9, q 0

t t 3 t 3 0, t1 3, t2 0, t3 3

x1 4,

x2 1,

x3 2

Пример 8. Решим кубичное уравнение

x3 3 x2 9 x 5 0

a 3, b 9, c 5

x t

t 1

t 1 3 3 t 1 2 9 t 1 5 0

t3 3 3 t2 3 6 9 t 1 3 9 5 0

t3 6t 2 0

p 6, q 2

p 3

A 3

Q , B 3

Q 9,		A 3			,		B 3
Q 9,		A 3		4	,		B 3				2
t A B , t									A B					i		A B
			2, 3						A B							A B					3
																					3
1								2							2
								2							2
										3				3						3				3
												4					2					4					2
t 3 4 3 2 , t						2, 3						4					2	i				4					2	3
t 3 4 3 2 , t																		i										3
1													2							2
													2							2
															2 3				3						3				3
																		4					2					4		2
x 3	4 3 2 1,																	4					2					4		2
								x																		i					3
								x																		i					3
1								2, 3										2										2
																		2										2

Решение уравнений четвертой степени методом Ферари x4 a x3 b x2 c x d 0

Рассматривается соответствующее кубичное уравнение: t3 bt2 a c 4d t a2d 4bd c2 0

Если t t1 ‒ произвольный корень этого уравнения, тогда четыре корня

первоначального уравнения четвертой степени находятся как корни двух квадратных уравнений

	2	a		t1			2
	2	a		t1	a
x			x
x		2	x	2		4

		a		t	2
	x2
b t			t c x	1		d

1		2	1	4

Примечание. Подкоренное выражение в правой части квадратных уравнений является полным квадратом.

Пример 9. Решим уравнение четвертой степени

x4 5 x3 5 x2 5 x 6 0									a 5, b 5, c 5, d 6
t3 5t			2 t 5 0 t				5
						1
	2	5		5	25				2		5						25
x			x			5	5	x				5	5		x				6
x			x			5	5	x				5	5		x				6
		2		2	4						2						4

x2		5	x	5	5 x 7 2					x2			5			5		5 x 7
														x
														x
		2		2		2							2			2			2

x2 5 x 6 0 x2 1 x1 3, x2 2, x3, 4 1

4.3. Разложение многочленов на множители. Деление многочленов. Элементарные дроби

Разложение многочленов на множители
Если многочлен	F x может быть	представлен в виде	произведения
многочленов f1 x , f2	x ,..., fs x , то	эти многочлены	называются
множителями (делителями) многочлена F x . Каждый многочлен степени n

относительно x может быть единственным способом представлен в виде

произведения постоянной и n линейных множителей x xi , где xi

‒

1,n

корни многочлена, а именно

F x a0xn a1xn 1

a0 0 ,

... an 1x an a0 x xi ,

i 1

x xi .

где корню xi

кратности mi

соответствует mi

множителей

Деление многочленов

Частное от деления многочлена F x степени n

на многочлен G x

степени m (в случае, когда n m ) может быть представлено в виде

F x

a xn a xn 1

... a

x a

n 1

G x

b xm b xm 1

... b

x b

m 1

xn m c xn m 1 ... c

x c

Q x

n m 1

n m

G x

где остаток Q x есть многочлен степени, меньшей, чем m.

	Примечания.				k				и Q x определяются однозначно.

1.	Коэффициенты ck					0, n m
2.	Остаток Q x отсутствует						в том и только в том случае, когда G x
	является делителем многочлена F x .
3.	Если многочлен				V x	является общим делителем (множителем)
	многочленов F x				и G x ,		то его корни являются общими корнями этих
	многочленов.
			F x
4.	Отношение			,	как и числовую дробь можно сократить на любой
			G x
	общий множитель числителя и знаменателя.
5.	Согласно теореме Безу
	F x x c Q x F c .
	Многочлены
	F x a xn	a xn 1 ... a					x a
	0	1				n 1			n
	G x b xm	b xm 1 ... b						x b
	0	1				m 1			m

имеют хотя бы один общий корень (и, таким образом, общий делитель ненулевой степени) в том и только в том случае, если результант многочленов R F , G равен нулю. Результант многочленов ‒ определитель n m порядка

где на свободных местах стоят нули; коэффициенты a0, a1,..., an 1, an занимают m строк, а коэффициенты b0,b1,...,bm 1,bm занимают n строк.

Пример 10. Установим наличие общих корней у многочленов

F x x3 x2 x 1 G x x3 x2 x 1

Вычислим результант данных многочленов. Многочлены F x и G x имеют хотя бы один общий корень, так как R F , G 0 .

R F , G
		1 1		1 0		0	1	1	1	1 0 0			1	1		1		1	0
	1

	0	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1 0
													0	1		1		1	1
	0 0 1			1 1		1	0	0	1	1	1	1
													1 1		1		1		0	0
	1	1	1	1	0	0	0	2	0	2	0	0	1	1		1		1	0
	0	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0
													0	1		1		1	1
	0	0	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1

Пример 11. Установим отсутствие общих корней у многочленов

F x x3 x2 4x 4 G x x3 x2 x 1

Вычислим результант данных многочленов. У многочленов нет общих
корней, так как R F , G 0 .
R F , G
		1	4	4 0			0	1	1	4 4 0		0		1	1	4	4	0
	1
	1
	0	1	1	4 4 0				0	1	1 4	4 0
	0	1	1	4 4 0				0	1	1 4	4 0			0	1	1	4	4
	0	0	1	1 4			4	0	0	1 1 4		4		0	1	1	4	4
	0	0	1	1 4			4	0	0	1 1 4		4		0	1	3 8		0
	1	1	1	1	0		0	0	2	3 5	0	0		0	0	1	3	8
	0	1	1	1	1		0	0	0	2 3 5		0		0	0	1	3	8
	0	1	1	1	1		0	0	0	2 3 5		0		0	0	2	3	5
	0	0	1	1	1		1	0	0	0 2 3 5				0	0	2	3	5
	0	0	1	1	1		1	0	0	0 2 3 5
		1	4	4		8	0	28
	1
	1
	0	4	12	4
	0	4	12	4		1	3	8	180 0
	0	1	3 8			3	0	3
	0	2	3 5			3	0	3
	0	2	3 5
Элементарные дроби
Отношение				Q x		многочлена Q x степени k и							многочлена G x степени
Отношение				G x		многочлена Q x степени k и							многочлена G x степени
				G x

m без общих корней может быть представлено в виде суммы m элементарных дробей, соответствующих корням xi (кратности mi ) многочлена G x

Q x	mi	dij


G x		x xi j
	i j 1

Примечание. Коэффициенты dij элементарных дробей можно найти,

умножая обе части данного равенства на многочлен G x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного равенства.

F x

Каждая рациональная функция G x , частное от деления многочлена

F x степени n на многочлен G x степени m, может быть представлена в виде

суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей.

Пример 12.

F x

x3 x2 4x 4

G x

x3 x2

x 1

Получим представление рациональной функции в виде суммы

многочлена и конечного числа элементарных дробей

F x

x3 x2 x 1 2x2 3x 5

2x2 3x 5

G x

x3 x2 x 1

Ранее,

одном

из

примеров,

было

показано,

что

у многочленов

F x x3 x2 4x 4

G x x3 x2 x 1

нет общих

корней, так

как

R F , G 0 .

Очевидно,

что

многочленов

Q x 2x2 3x 5

G x x3 x2 x 1 также не будет общих корней.

G x x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1

G x x i x i x 1

Q x

2x2 3x 5

G x

x3 x2 x 1

x i

2x2 3x 5 d

x i x 1

x i

x 1 d

x i x i

d2 d3

1 i

1 i 3

d i d

i d

d1 d2 d3 2

d1 d2 d1 d2 i 3 2d3 10

d2 i d3 5

d1 d2 3

d2 1.5, d3

d1 d2 i

F x

x3 x2 4x 4

Q x

G x

x3 x2 x 1

G x

1.5

x2 1

x i

x 1

4.4.Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Даны комплексные числа z1 и z2 . Найти комплексные числа а) z1 z2 , б) z1 z2 , в) z1z2 и г) z1 / z2

1.	z1 15 8i , z2 4 3i	2.		z1 3 7i , z2 6 8i
3.	z1 5 12i , z2 7 i	4.		z1 3 2i , z2 5 10i
Задача 2. Найти комплексные числа а)		z z		, б) z	/ z		, в) z n и г) m			,
			2			2		z	2
		1		1			1
используя тригонометрическую форму комплексных чисел z1							и z2

1.z1 3 i , z2 1 i , n 6, m 3

2.z1 1/ 2 3 / 2 i , z2 1, n 20, m 4

3.z1 1 3 , z2 9i , n 9, m 2

4.z1 1 i , z2 8 83 i , n 4, m 4

Задача 3. Найти комплексные числа

				i 50														6
1.	z		3	i 50				2.		cos				i sin				6
1.	z	1	i 100					2.	z 1	cos				i sin
		1	i 100										3				3
							6					i			24
											3				24					12
											3									12
3.	z	i sin				i cos		4.	z 1							2			3
3.	z	i sin				i cos		4.	z 1							2			3
					3		3				2
					3		3				2
Задача 4. Решить уравнения
1.	x2 25 0							2.	x2 6x 18 0
3.	x3 2x2 x 2 0							4.	x3 2x2 x 2 0
5.	x3 3x2 7x 5 0							6.	x3 x2 3x 5 0
7.	x4 3x2 4 0							8.	x4 10x2 169 0
9.	x4 3x3 3x2 3x 2 0							10.	x4 2x3		6x2				2x 3 0
								76

Задача 5. Установить наличие (отсутствие) общих корней у многочленов

F x x3	2x2 x 2	F x x3	2x2 x 2
1.		2.
G x x3 3x2 7x 5		G x x4 2x3 6x2 2x 5
F x x3	3x2 7x 5	F x x3	2x2 x 2
3.		4.
G x x3 2x2 x 2		G x x4 2x3 6x2 2x 5
F x x3	2x2 x 2	F x x3	2x2 x 2
5.		6.
G x x3 x2 3x 5		G x x4 3x3 3x2 3x 2
F x x3	x2 3x 5	F x x3	2x2 x 2
7.		8.
G x x3 2x2 x 2		G x x4 3x3 3x2 3x 2
F x x3	2x2 x 2	F x x4	3x3 3x2 3x 2
9.		10.
G x x3 2x2 x 2		G x x4 2x3 6x2 2x 5

Задача 6. Представить рациональную функцию в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей

f x

x2 25

f x

x2 6x 18

x2 25

f x

x3 2x2 x 2

f x

x3 2x2 x 2

f x

x2 25

f x

x3 x2 3x 5

x3 3x2 7x 5

x2 6x 18

f x

x3 4x

f x

10x2 169

x4 3x2 4

x3 9x

f x

x2 16

10.

f x

2x3 6x2 2x 5

x4 3x3 3x2 3x 2

x2 36

Глава 5. Элементы аналитической геометрии

5.1.Уравнение прямой линии на плоскости. Полуплоскости

Уравнение ax by c 0 называется общим уравнением прямой. Вектор


n a,b называется нормальным вектором прямой.						x0 , y0 и
Уравнение прямой l	на плоскости, проходящей через точку M 0					x0 , y0 и
			a x x0 b y y0 0 .
перпендикулярной вектору	n a,b , имеет вид		a x x0 b y y0 0 .
Уравнение прямой l	на плоскости, проходящей через точку M 0 x0 , y0 и
	m, n , имеет вид:	x x0		y y0
параллельной вектору q		x x0		y y0	.
параллельной вектору q					.
		m		n

Уравнение называется каноническим уравнением прямой, вектор						q m, n
‒ направляющим вектором прямой. Соответствующая система уравнений
x mt x0

y nt y0

называется параметрическим

уравнением прямой

на плоскости,

‒ параметром.

проходящей через две заданные точки M1 x1, y1 и

Уравнение прямой,

, y

, записывается в виде

x x1

y y1

x2 x1

y2 y1

Уравнение прямой

с угловым коэффициентом

k tg имеет

вид

y kx b0 , здесь b0 - ордината точки пересечения прямой с осью Oy , - угол

наклона прямой с положительным направлением оси Ox .
Уравнение прямой, проходящей через точку	M 0 x0 , y0	в заданном
направлении, имеет вид y y0 k x x0 . Если k	- произвольное число,
уравнение определяет пучок прямых линий, проходящих через		точку M 0 ,
кроме прямой параллельной оси Oy .

Пример 1. Составим общее уравнение прямой, проходящей через точку M 0 1, 23 и образующей с осью Ox угол 600 .

				k tg600
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом							3 и
проходящей через точку M 0 1, 2		имеет вид y 2				х 1 .
	3		3		3		Отсюда

y 3x 33. Общее уравнение прямой имеет вид 3x y 33 0 .

Уравнение прямой в отрезках имеет вид	x	y	1, где	a		и	b
					0
	a0	b0					0

соответственно отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy .

Пример 2. Составим общее уравнение прямой линии, проходящей через точку A 1, 2 , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Ox отрезок

в полтора раза больше, чем от положительной полуоси Oy .

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

1, так как

1,5b .

1,5b0

Точка A 1, 2 принадлежит прямой. Отсюда

Тогда

1,5b0

общее уравнения прямой имеет вид 2x 3y 4 0 .

Точка пересечения двух непараллельных прямых l1 и l2

на плоскости

определяется в результате решения системы линейных алгебраических уравнений, которые задают данные прямые. Например,

a1x b1 y c1 0

a2 x b2 y c2 0

Угол между двумя прямыми l1

и l2

определяется по формулам

n 1 n

a a

b b

cos

a2 b2

cos

q 1 q2

m1 m2 n1 n2

k2 k1

1 k k

Здесь

a1,b1 , n2

a2 ,b2

нормальные

векторы,

q 1 m1,n1

m2 ,n2

q 2

направляющие векторы

k1, k2 -

угловые

коэффициенты

прямых линий на плоскости.

Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых

;

k k

a2 b2

Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых

a1a2 b1b2 0 ;

m1m2 n1n2 0 ; k1k2 1 .

Расстояние от точки M 0 x0 , y0

до прямой линии

ax by c 0 на

плоскости определяется по формуле

ax0 by0 c

a2 b2

Пример 3. Найдем расстояние от точки M0 x0, y0 ,

делящей отрезок

между точками A 2, 2 и B 3, 2 в отношении 3: 2 ,

до прямой линии l :

3x 4 y 5 0.

Найдем координаты точки

2 (3/ 2)3 1

2 (3/ 2)2

2 ,

1 3/ 2

т.е. M0 1, 2 .

Расстояние от

точки

M0 1, 2

до данной

прямой

линии l :

3x 4 y 5 0

равно s

3 1 4 2 5

2 .

32 4 2

Каждая

прямая

линия

разбивает

плоскость

на

два

множества,

называемых полуплоскостями. Если прямая задана уравнением ax by c 0 , то точки одной полуплоскости являются решением неравенства ax by c 0 ,

аточки другой полуплоскости решением неравенства ax by c 0 .

5.2.Уравнение плоскости. Полупространства

	Уравнение плоскости , перпендикулярной вектору									a,b,c и
									n
проходящей		через		точку		M 0 x0 , y0 , z0 ,			имеет		вид
a x x0 b y y0 c z z0 0 . Уравнение								ax by cz d 0		называется
							a,b,c называется нормальным
общим уравнением плоскости.					Вектор n
вектором плоскости.
	Пример 4. Даны две точки				A 3,0,1		и	B 2,2, 3 . Составим уравнение

плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно вектору AB .
	Нормальный			вектор				искомой		плоскости
			3 1 5, 2, 4 .
n	AB 2 3, 2 0,					Тогда		уравнение	плоскости		,
				A 3,0,1 ,
проходящей		через	точку			перпендикулярно вектору n имеет					вид

5 x 3 2 y 0 4 z 1 0 . Отсюда : 5x 2 y 4z 19 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.10.20191.68 Mб21koshkina_n_b_mnogourovnevaya_professionalnaya_podgotovka_spe.doc
#
29.10.2019952.74 Кб2Kosnpеkt_Finansirovaniе proеkta. Upravlеniе stoimostyyu i izdеrzhkami.pdf
#
03.09.20192.17 Mб2Kospеkt_Korporativnaya kulytura kompanii (1).pdf
#
29.09.20208.14 Mб50kovalev_ns_red_territorialnoe_planirovanie_i_prognozirovanie.pdf
#
19.11.20191.41 Mб53kovkel_n_f_selyutina_e_n_kholodov_v_a_istoriya_i_metodologiy.pdf
#
28.07.20202.83 Mб3kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti.pdf
#
06.04.20206.39 Mб25Kozlov_Alexey_Kak_povysit_samootsenku.pdf
#
19.11.20191.3 Mб14krauze_a_a_istoriya_i_filosofiya_nauki_obshchie_problemy_fil.pdf
#
17.01.2021686.31 Кб4kravchenko_iud_abrosimova_ea_literaturnaia_rabota_zhurnalist.pdf
#
19.11.2019360.66 Кб1kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu-1.pdf
#
29.10.2019360.66 Кб2kripkenshteyn-tuzemtsy-istinnyy-stroy-yazyka-i-paradoks-sledovaniya-pravilu.pdf