Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Тобто чим більше по модулю значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого по формулі Тейлора.

Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при ха→, причому довше високого порядку, чим (х – а)m, тобто

Rn+1 (x) =α([x − a]n ) .

Таким чином, ряд Маклорена можна вважати окремим випадком ряду Тейлора.

Представлення деяких елементарних функцій по формулі Тейлора.

Застосування формули Тейлора для розкладання функцій в статечній ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв'язане із значними труднощами, а заміна функції статечним поряд дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд узяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумним ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10 – 20 знаків після десяткової крапки, необхідна дуже рідко) достатні 4-10 членів розкладання в ряд.

Застосування принципу розкладання в ряд дозволяє проводити обчислення на ЕОМ в режимі реального часу, що важливо при вирішенні конкретних технічних завдань.

Для 8 членів розкладання: e = 2,71827876984127003 Для 10 членів розкладання: e = 2,71828180114638451 Для 100 членів розкладання: e = 2,71828182845904553

11

На графіці показані значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладання в ряд Тейлора.

Як видно, для досягнення точності, достатньої для вирішення більшості практичних завдань, можна обмежитися 6-7 – ю членами ряду.

Функція f(x)= cosx.

Для функції cosx, застосувавши аналогічні перетворення, отримаємо:

Функція f(x)= (1 + x)α.

12

Вийшла формула, відома як біном Ньютона.

Приклад: Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.

На приведених нижче графіках представлено порівняння точного значення функції і значення розкладання в ряд Тейлора при різній кількості членів розкладання.

13

Мал. 4. Десять членів розкладання Щоб набути найбільш точного значення функції при найменшій кількості членів

розкладання треба у формулі Тейлора як параметр а вибрати таке число, яке достатнє близько до значення х, і значення функції від цього числа легко обчислюється.

Для прикладу обчислимо значення sin200. Заздалегідь переведемо кут 200 в радіани: 200 = π/9.

Застосуємо розкладання в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладання:

У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута вказано значення 0,3420.

0.348

0.346

0.344

На графіці показана зміна значень розкладання в ряд Тейлора залежно від кількості членів розкладання. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладання, то досягається точність до 0,0002.

Вище мовилося, що при х0 функція sinx є нескінченно малою і може при обчисленні бути замінена на еквівалентну нею нескінченно малу функцію х. Тепер

14

“Курс вищої математики. Частина 2.”

видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладання, тобто sinx x.

Приклад: Обчислити sin2801315′′′.

Для того, щоб представити заданий кут в радіанах, скористаємося співвідношеннями:

Якщо при розкладанні по формулі Тейлора обмежитися трьома першими членами,

Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута

sin= 28013′15′′0,472869017612759812

бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладання, точність склала 0,000002, що більш ніж достатньо для більшості практичних технічних завдань.

Функція f(x)= ln(1 + x).

Разом:

15

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Отримана формула дозволяє знаходити значення будь-яких логарифмів (не тільки натуральних) з будь-яким ступенем точності. Нижче представлений приклад обчислення натурального логарифма ln1,5. Спочатку набуте точного значення, потім – розрахунок по отриманій вище формулі, обмежившись п'ятьма членами розкладання. Точність досягає 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

Розкладання різних функцій по формулах Тейлора і Маклорена приводиться в спеціальних таблицях, проте, формула Тейлора настільки зручна, що для переважної більшості функцій розкладання може бути легко знайдене безпосередньо.

Нижче будуть розглянуті різні застосування формули Тейлора не тільки до наближених представлень функцій, але і до і до обчислення інтегралів.

Застосування диференціала до наближених обчислень.

Диференціал функції у = f(x) залежить від ∆х і є головною частиною приросту х. Також можна скористатися формулою

dy = f ′(x)dx

Тоді абсолютна погрішність

∆y − dy

Відносна погрішність

∆y − dy dy

Докладніше застосування диференціала до наближених обчислень буде описано

Теореми про середній.

Теорема Ролля.

(Ролль (1652-1719) - французький математик)

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], дифференцируема на інтервалі (а, b) і значення функції на кінцях відрізання рівні f(a)= f(b), то на інтервалі (а, b) існує крапка, а < ε < b, в якій похідна функція f(x) рівна нулю

f(ε) = 0.

Геометричний сенс теореми Ролля полягає в тому, що при виконанні умов теореми на інтервалі (а, b) існує крапка ε така, що у відповідній точці кривої у = f(x) дотична паралельна осі Ох. Таких крапок на інтервалі може бути і декілька, але теорема затверджує існування принаймні одній такої крапки.

Доказ. По властивості функцій, безперервних на відрізку функція f(x) на відрізку [а, b] приймає найбільше і найменше значення. Позначимо ці значення М і m відповідно. Можливі два різні випадки М = m і M ≠ m.

16

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Хай M = m. Тоді функція f(x) на відрізку [а, b] зберігає постійне значення і в будь-якій точці інтервалу її похідна рівна нулю. В цьому випадку за ε можна прийняти будь-яку точку інтервалу.

Хай М = m. Так значення на кінцях відрізання рівні, то хоч би одне із значень М або m функція приймає усередині відрізання [а, b]. Позначимо, а < ε < b крапку, в якій f(ε) = M. Оскільки М- найбільше значення функції, то для будь-якого ∆х ( вважатимемо, що крапка ε + х знаходиться усередині даного інтервалу) вірна нерівність:

Теорема доведена.

Теорема Ролля має декілька следствий:

1)Якщо функція f(x) на відрізку [а, b] задовольняє теоремі Ролля, причому f(a)= f(b)= = 0, то існує принаймні одна крапкаε, а < ε < b, така, що f(′) = 0. Тобто між двома нулями функції знайдеться хоч би одна крапка, в якій похідна функції рівна нулю.

2)Якщо на даному інтервалі (а, b) функція f(x) має похідну (n-1) - го порядку і n разів звертається в нуль, то існує принаймні одна точка інтервалу, в якому похідна (n – 1), – го порядку рівна нулю.

Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) французький математик)

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі знайдеться принаймні одна крапка ε

Це означає, що якщо на деякому проміжку виконуються умови теореми, то відношення приросту функції до приросту аргументу на цьому відрізку рівне значенню похідної в деякій проміжній крапці.

Розглянута вище теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа.

Відношення f (b) − f (a) рівне кутовому коефіцієнту січної АВ. b − a

17

“Курс вищої математики. Частина 2.”

у

крапка ε така, що у відповідній точці кривої у = f(x) дотична паралельна січною, такою, що сполучає крапки А і В. Таких крапок може бути і декілька, але одна існує точно.

Доказ. Розглянемо деяку допоміжну функцію

F(x)= f(x) – усік АВ

Рівняння січною АВ можна записати у вигляді:

Функція F(x) задовольняє теоремі Ролля. Дійсно, вона безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на інтервалі (а, b). По теоремі Ролля існує хоч би одна крапкаε, а < ε < b, така що F(′) = 0.

Лагранжа або формулою кінцевих приростів.

Надалі ця формула буде дуже часто застосовуватися для доказу самих різних теорем.

Іноді формулу Лагранжа записують в дещо іншому вигляді:

∆y = f ′(x +θ∆x)∆x ,

де 0 < θ < 1, ∆x = b – а, ∆у = f(b) – f(a).

Теорема Коші.

( Коші (1789-1857) - французький математик)

Якщо функції f(x) і g(x) безперервні на відрізку [а, b] і дифференцируемы на інтервалі (а, b) і g(x) ≠ 0 на інтервалі (а, b), то існує принаймні одна крапкаε, а < < b, така, що

18

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Тобто відношення приростів функцій на даному відрізку рівне відношенню похідних в крапці ε.

Для доведення цієї теореми на перший погляд дуже зручно скористатися теоремою Лагранжа. Записати формулу кінцевих різниць для кожної функції, а потім розділити їх один на одного. Проте, це уявлення помилкове, оскільки крапка ε для кожної з функції в загальному випадку різна. Звичайно, в деяких окремих випадках ця точка інтервалу може виявитися однаковою для обох функцій, але этодуже рідкісний збіг, а не правило, тому не може бути використано для доведення теореми.

яка на інтервалі [а, b] задовольняє умовам теореми Ролля. Легко бачити, що при х = а і х = b F(a)= F(b)= 0. Тоді по теоремі Ролля існує така крапка ε

Теорема доведена.

Слід зазначити, що розглянута вище теорема Лагранжа є окремим випадком (при g(x)= x) теореми Коші. Доведена нами теорема Коші дуже широко використовується для розкриття так званих неопределенностей. Застосування отриманих результатів дозволяє істотно спростити процес обчислення меж функцій, що буде детально розглянуте нижче.

Розкриття неопределенностей.

Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661-1704) – французький математик)

До розряду неопределенностей прийнято відносити наступні співвідношення: 00 ; ∞∞ ; ∞ 0; ∞0 ; 1∞ ; ∞ − ∞

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) дифференцируемы в поблизу крапки а, безперервні в крапці а, g(x) відмінна від нуля поблизу а і f(a)= g(a)= 0, то межа відношення функцій при ха рівний межі відношення їх похідних, якщо ця межа (кінцевий або нескінченний) існує.

19

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Доказ. Застосувавши формулу Коші, отримаємо:

лежить між крапками а і х, то при ха отримаємо →а, а отже і відношення gf ′′((εε)) прагне до того ж межі. Таким чином, можна записати:

Теорема доведена.

Приклад: Знайти межу lim x2 −1+ ln x .

x→1

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення межі виходить невизначеність вигляду 00 . Функції, що входять в чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

Якщо при вирішенні прикладу після застосування правила Лопіталя спроба обчислити межу знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосоване другий раз, третій і так далі поки не буде отриманий результат. Природно, це можливо тільки в тому випадку, якщо знов отримані функції у свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

20