Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Частина 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

882.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

					“Курс вищої математики. Частина 2.”
Проінтегрував,	отримуємо: ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ,			а відповідно до приведених вище
властивостей невизначеного інтеграла:
	uv = ∫udv + ∫vdu		або	∫udv = uv − ∫vdu ;
Отримали формулу інтеграції по частинах, яка дозволяє знаходити інтеграли
багатьох елементарних функцій.
Приклад.
u = x; dv = cos xdx;
=		= −x2 cos x + 2[x sin x − ∫sin xdx]= −x2 cos x + 2x sin x + 2cos x +C.
du = dx; v = sin x

Як видно, послідовне застосування формули інтеграції по частинах дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

Приклад.

	2 x	; du	= 2e	2 x	dx;	= e2 x sin x − 2[− e2 x cos x − ∫− cos x 2e2 x dx]= e2x sin x +
= u = e
dv = sin xdx;			v = −cos x;

+ 2e2 x cos x − 4∫cos xe2 x dx

Видно, що в результаті повторного застосування інтеграції по частинах функцію не вдалося спростити до табличного вигляду. Проте, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від початкового. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

5∫e2 x cos xdx = e2 x (sin x + 2cos x)

∫e2 x cos xdx =	e2 x	(sin x + 2cos x) +C.

5

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути детально методи інтеграції різних класів функцій, приведемо ще декілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

Приклад.

∫(2x +1)20 dx = {2x +1 = t; dt = 2dx;}= ∫t 20

dt =

t 21

+C =

t 21

+C =

(2x +1)21

Приклад.

∫

2 − x2

+ x2

2 − x2 + 2 + x2

dx = ∫

+ ∫

2 = ln x +

+ 2 +

− x

dx = ∫

2 − x

2 + x

2 − x

+ arcsin x

+C.

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

cos x

dx =

∫sin − 3 / 2

x cos xdx = {sin x = t;

= cos xdx} = ∫t − 3 / 2 dt

= −2t − 1 / 2 + C =

sin 3 x

= −2sin −1/ 2 x +C = −

+C.

sin x

Приклад.

; dv = e

dx;

x2e5x

u = x

dx =

−

2xdx =

−

∫

∫5

∫

= 2xdx;

v =

;

dx;

x2e5x

xe5x

x2e5x

2xe5x

u = x; dv = e

− ∫

∫e

−

dx =

du = dx; v =

;

x2e5x

2xe5x

2e5x

e5x

−

125

Приклад.

∫

− x

2 dx

= ∫

− x

= {dx = d (x +1)}= ∫

d (x +1)

= {x +1 = t}=

− 2x +8

− 2x −1 + 9

9 − (x +1)

= ∫

2dt

2 = arcsin t

+ C = arcsin x +1 + C.

−t

Приклад.

ln x

u = ln x; dv =

dx;

ln x

1 dx

ln x

dx =

= −

−

dx = −

= −

∫ x3

2x2

∫

2x2

∫ x3

2x2

du =

dx;

= −

;

−2

ln x

−

+C = −

−

+C.

Приклад.

u = ln x;

= xdx;

ln x

x ln xdx =

ln x −

dx =

−

xdx =

−

+ C =

∫

2 ∫

du =

dx; v =

;

=x2 (2 ln x −1) + C. 4

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫ecos2 x sin 2xdx = {t = ecos2 x ;

dt = −ecos2 x

2cos x sin x = −sin 2x ecos2 x dx;}= −∫dt = −t +C =

= −ecos2 x

+C.

Приклад.

∫

x = t;

= ∫

2tdt

= 2∫

= 2arctgt +C = 2arctg x +C.

+1)

+1)t

Приклад.

∫

x −3

arctg

+ C.

− 6x + 25

(x −3)

+16

x −3

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:


I.	1		;		III.
	ax +b
II.	1			;	IV.
		(ax +b)m

m, n – натуральні числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ах + b.

∫

+C =

ax +b

+C.

II.

ax +b

Розглянемо метод інтеграції елементарних дробів вигляду III. Інтеграл дробу вигляду III може бути представлений у вигляді:

Ax + B

(2x + p) +

−

2x + p

∫

= ∫

∫

dx =

dx + B −

+ px + q

B −

∫

ln x

+ px + q +

x +

+ q −

arctg 2x + p

+ C

4q − p2

Ap				dx
	∫				=
2		x	2	+ px + q

2B − Ap

4q − p2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Тут в загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу вигляду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування вказаної вище формули на прикладах.

Приклад.

7x − 2

84x − 24

u =

6x −5; du = 6dx;

dx =

u +5

∫

3x2 −5x + 4

∫36x2 −60x + 48

∫(6x −5)2 +

dx =

;

x =

∫

14u + 70 − 24

du =

∫

udu

∫

ln(u

+ 23)

arctg

+C =

+ 23

3 23

7 ln 36x2

−60x + 48 +

23 arctg

6x −5

+C.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax2 + bx + з вираз b2 – 4aс >0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте, проте її можна інтегрувати вказаним вище способом.

Приклад.

∫

5x −3

dx = ∫

5x −3

u = x +3;

du = dx;

= ∫

5u −15 −3

du = 5∫

udu

dx =

−

+ 6x − 40

(x +3)

− 49

x = u −3;

−18∫

u 2

− 49

−

u −7

+C =

x2 + 6x − 40

−

x − 4

+C.

u + 7

x +10

− 49

Приклад.

∫

3x + 4

dx = ∫

3x + 4

2 dx =

u = x

−3;

du = dx;

= ∫

3u + 9 + 4

du = 3∫

udu

− x

16 − (x −3)

+ 3;

16 −u

−u

+ 6x

x = u

+13∫

= −3

16 −u 2

+13arcsin u

+ C = −3

7 − x2

− 6x +13arcsin x −3

+ C.

16 −u

Розглянемо тепер методи інтеграції простих дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл вигляду ∫

можна шляхом виділення в знаменнику повного

(ax

+ bx

+ c)

квадрата представити у вигляді ∫

. Зробимо наступне перетворення:

+ s)

∫

s + u 2 −u

du =

∫

−

∫

u 2 du

+ s)

n−1

+ s)

Другий інтеграл, що входить в цю рівність, братимемо по частинах. Позначимо:

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

u 2 du

= −

∫

;

+ s)

(2n

− 2)(u

+ s)

n−1

2n −

+ s)

n−1

Для початкового інтеграла отримуємо:

∫

−

∫

n−1

s(2n

− 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

∫

2n −3

∫

s(2n − 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n-1 разів, то вийде табличний інтеграл ∫u 2du+ s .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу вигляду IV в

загальному випадку.

u =

2ax + b;

du = 2adx;

Mx + N

dx =

(4a)

dx =

u −b

∫(ax2 + bx + c)n

∫[(2ax + b)2 + (4ac −b

2 )]n

; s = 4ac −b2

x =

;

(4a)n

M (u −b)

+ N

(4a)n M

udu

2aN − Mb

∫

+ s)

У отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u2 + s приводиться до табличного, а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Не дивлячись на складність інтеграції елементарного дробу вигляду, що здається, IV, на практиці його достатньо легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і спільність підходу робить можливою дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад:

∫

3x +5

dx = ∫

3x + 5

2 dx =

u = x − 2;

du = dx;

= ∫

3u + 6 + 5

du =

−

4x + 7)

((x −

+ 3)

= u + 2;

+ 3)

= 3∫

udu

+11∫

t = u 2

+ 3;

∫

+ 3)

+3)

2 =

+11

3 2(u

+ 3)

3 2

= 2udu;

= −

3 +

11u

arctg

u + C

= −

11(x − 2)

arctg x − 2

+ C.

6(u 2 +

6 3

2(x2 − 4x + 7)

6(x2 − 4x + 7)

6 3

Інтеграція раціональних функцій.

Інтеграція раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема: Якщо R(x) = QP((xx)) - правильний раціональний дріб, знаменник P(x)

якою представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників (відзначимо,

що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x)= (x - а)α.(x - b)β(x2 + px + q)λ.(x2 + rx + s)µµ ), то цей дріб може бути

розкладена на елементарних по наступній схемі:

Q(x)

+... +

Bβ

x + N

P(x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

(x −b)

−b)2

(x −b)β

+ px + q

x + N

+... +

x + N

+... +

R x + S

x + S

+... +

Rµ x + Sµ

(x2

+ px + q)2

(x2 + px + q)λ

+ rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)µ

де Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтеграції раціональних дробів удаються до розкладання початкового дробу на елементарних. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлени були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

∫

9x3 −30x2 + 28x −88

(x2 −6x +8)(x2 + 4)

Оскільки ( x2 − 6x +8)(x2

+ 4) = (x − 2)(x − 4)(x2 + 4) , то

9x3 −30x2 + 28x −88

Cx + D

(x − 2)(x − 4)(x2 + 4)

−

x − 4

x2 + 4

Приводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 − 6x +8) = 9x3 −30x2 + 28x −88

(A + B + C)x3 + (−4A − 2B − 6C + D)x2 + (4A + 4B +8C − 6D)x + (−16A −8B +8D) = = 9x3 −30x2 + 28x −88.

A + B + C = 9		C = 9 − A − B
			+ 4A + 2B + 54 − 6A − 6B
− 4A − 2B − 6C + D = −30		D = −30
	− 6D = 28		+ 4C −3D =14
4A + 4B +8C		2A + 2B

−16A −8B +8D = −88		2A + B − D =11

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

2A + 2B + 36 − 4A − 4B − 72 + 6A +12B =14

2A + B − 24 + 2A + 4B =11

C = 9 − A − BD = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

4A + 5B = 35

“Курс вищої математики. Частина 2.”

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 5050 −10B + 5B = 35

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

B = 3

A = 5

B = 3C =1

D = 2

Разом:

+ 2

∫

dx + ∫

dx +

∫

dx = 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

+ ∫

dx + ∫

dx =

− 2

x −

+ 4

= 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

ln(x2

+ 4) + arctg

+ C.

Приклад.

6x5 −8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

∫

3x3 − 4x2 −17x + 6

Оскільки дріб неправильний, то заздалегідь слід виділити у неї цілу частина:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2

– 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 − 25x − 25

20x2 – 25x – 25

4x2 −5x −5

+3 +

dx +

3dx + 5

dx =

+3x

∫

3x3 − 4x2 −17x + 6

∫

∫3x3 − 4x2 −17x +

+ 5∫

4x2 −

5x −5

− 4x

−17x + 6

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник

дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x3 – 4x2

– 17x + 6

x - 3

3x3

– 9x2

3x2 + 5x -

5x2 –

17x

5x2 –

15x

- 2x

+ 6

-2x

+ 6

Таким чином 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

4x2 −5x −5	=	A	+	B	+	C
(x −3)(x + 2)(3x −1)		x −3		x + 2		3x −1

A(x + 2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) + C(x −3)(x + 2) = 4x2 −5x −5

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угрупування і вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися достатньо великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення

“Курс вищої математики. Частина 2.”

обчислень прийнято як довільні значення приймати крапки, при яких знаменник дробу рівний нулю, тобто в нашому випадку – 3 -2, 1/3. Отримуємо:

40A =16

A = 2 / 5

35B = 21

B = 3 / 5

C =1

Остаточно отримуємо:

∫

6x5

−8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

dx =

+ 3x + 3∫

+ 2∫

+ 5∫

−

−17x + 6

x +

x −

3x −1

x3 + 3x + 3ln

x + 2

+ 2ln

x −3

3x −1

+ C.

Приклад.

∫

3x4

+14x2

+ 7x +15

dx = ∫

dx + ∫

Bx + C

dx + ∫

Dx + E

(x + 3)(x

+ 2)

x +

+ 2

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

A(x2

+ 2)2 + (Bx + C)(x +3) + (Dx + E)(x + 3)(x2

+ 2) = 3x4

+14x2

+ 7x +15

Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx2 + 3Bx + Cx + 3C + Dx4 + 2Dx2 + 3Dx3 + 6Dx + Ex3 + 2Ex + 3Ex2 + 6E =

= (D + A)x4 + (3D + E)x3 + (A + B + 2D + 3E + 4A)x2 + (3B +C + 6D + 2E)x + (2A + 3C + 6E + 4A)

D + A = 3		D = 3 − A
			+ 3A
3D + E = 0		E = −9	+ 3A
	=14
B + 2D + 3E + 4A	=14	B + 6 − 2A − 27 + 9A + 4A =14
3B + C + 6D + 2E	= 7	3B + C	+18 − 6A −18 + 6A = 7

3C + 6E + 4A =15		3C −54 +18A + 4A =15

D = 3 − A

A = 3

= −9 + 3A

E = −9 + 3A

B = 2

B +11A = 35

11A = 35 − B

C =1

+C = 7

= 7

−3B

D = 0

+ 22A

= 69

21 −9B + 70 − 2B = 69

E = 0

Тоді значення заданого інтеграла:

3∫

+ ∫

2x +1

= 3∫

+ 2∫

dx + ∫

= 3ln x +3 −

+ 2)

x +

+ 2)

+ 2

1 arctg

+C.

4(x2 + 2)

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграція деяких тригонометричних функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченне багато. Більшість з цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть проінтегрувати завжди.

Інтеграл вигляду ∫R(sin x,cos x)dx .

Тут R – позначення деякої раціональної функції від змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього вигляду обчислюються за допомогою підстановки t = tg 2x . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

2tg

−tg

1 −t 2

sin x =

cos x =

;

1 + tg

2 x

+ t 2

+ tg

1 + t 2

Тоді Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною

підстановкою.

Приклад.

2dt

∫

= ∫

1 + t 2

= 2∫

4sin x + 3cos x + 5

+ 3

1 −t

8t + 3 −3t

+5 + 5t

+8t +8

1+ t 2

= ∫

= −

+ C

= −

+ C.

+ 4t + 4

+ 2)

+ 2

Безперечною гідністю цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти достатньо складна раціональна функція, інтеграція якої займе багато часу і сил.

Проте при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінною цей метод є

єдино результативним.

Приклад.

∫

= ∫

2dt

= 2∫

9 +8cos x + sin x

(1 + t 2 ) 9 +

8(1 −t

)

+ 2t

+17

(t +1)

+16

1 + t

t +1

arctg

+ C

arctg

+ C.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграл вигляду ∫R(sin x, cos x)dx якщо функція R є непарною відносно cosx.

Не дивлячись на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, рациональнее застосувати підстановку t = sinx.

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R(sin x, cos x) cos xdx cos x

Функція

R(sin x, cos x)

може містити cosx тільки в парних ступенях, а отже, може бути

cos x

перетворена в раціональну функцію відносно sinx.

∫R(sin x, cos x)dx = ∫r(sin x) cos xdx = ∫r(t)dt.

Приклад.

cos7

xdx

= t

(1 −t 2 )3

1 −3t 2 + 3t 4

−t 6

sin x

∫

= dt = cos xdx

= ∫

dt = ∫

−3∫

sin

x =1

−sin

cos

+ 3∫dt − ∫t 2 dt = −

3 + 3t − 1 t 3

= −

+3sin x

− sin3 x

+ C.

3sin

sin x

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію може бути будь-якій, як цілою, так і дробом.

Інтеграл вигляду ∫R(sin x, cos x)dx якщо функція R є непарною відносно sinx.

По аналогії з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

Тоді

Приклад.

sin

cos x = t

1 −t

+ 4t + 4 − 4t

−5

(t + 2)

− 4t −5

dx =

= −

dt =

∫

2 + cos x

∫ 2 + t

∫

t + 2

∫

= −sin xdx

t + 2

tdt

t 2

= ∫

t + 2 −

−

dt = ∫tdt + ∫2dt − 4∫

−5∫

+ 2t −5ln

t + 2

− 4∫

t +

+ 2

t +

t + 2

+ B

+ 2

t +

A + Bt + 2 = t

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

dt =

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

− 4t =

− 4

+8ln

∫t

∫

B =1,

A = −2

+ 2

− 2

+ 2

t +

t 2

− 2t +

3ln

t + 2

+ C =

cos2

− 2 cos x

+ 3ln(cos x + 2) + C.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
03.05.20211.59 Mб6683.pdf
#
26.04.20211.64 Mб4M-008.pdf
#
26.04.20211.23 Mб3M-040.pdf
#
26.04.2021439.24 Кб5M-051.pdf
#
26.04.2021967.56 Кб12Частина 1.pdf
#
26.04.2021882.81 Кб2Частина 2.pdf
#
26.04.20211.01 Mб2Частина 3.pdf
#
26.04.2021669.46 Кб6Частина 4.pdf