Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Частина 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

882.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграл вигляду функція R парна відносно sinx і cosx.

Для перетворення функції R в раціональну використовується підстановка

t = tgx.

Тоді

Приклад.

tgx = t;

cos2 x

∫sin 2 x + 6sin x cos x −16cos2 x

∫tg 2 x + 6tgx −16

= d(tgx) = dt

cos

= ∫

=∫

tgx + 3 −5

+ C =

tgx − 2

+C.

+ 6t

−16

(t + 3)

− 25

tgx + 3 +

tgx +8

Інтеграл твору синусів і косинусів різних аргументів.

Залежно від типу твори застосуються одна з трьох формул:

∫cos mx cos nxdx = ∫								1		[cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =										1 sin(m + n)x								+			sin(m − n)x

								2																		m + n										m − n
								2												2						m + n										m − n
∫sin mx cos nxdx = ∫								1		[sin(m + n)x + sin(m − n)x]dx =									1					cos(m + n)x									cos(m − n)x
																					−								−
								2											2		−					m + n			−								m − n
								2											2							m + n											m − n
∫sin mx sin nxdx = ∫							1		[−cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =													1				sin(m + n)								sin(m − n)
																							−							+
							2														2		−				m + n			+							m − n
							2														2						m + n										m − n
			Приклад.
∫sin 7x sin 2xdx =					1			∫cos5xdx −					1	∫cos9xdx =			1	sin 5x −					1		sin 9x + C.
∫sin 7x sin 2xdx =					2			∫cos5xdx −					2	∫cos9xdx =		10		sin 5x −					18		sin 9x + C.
					2								2			10							18
			Приклад.
∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x[cos 7x cos 4x]dx =																			1		∫sin10x cos11xdx +																1	∫sin10x cos3xdx =
∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x[cos 7x cos 4x]dx =																			2		∫sin10x cos11xdx +															2		∫sin10x cos3xdx =
	1			1							1				1				2						1							1				2			1
=	1	∫sin 21xdx −		1		∫sin xdx +					1	∫sin13xdx +			1	∫sin 7xdx = −									1		cos 21x −					1			cos x −				1	cos13x −
=	4	∫sin 21xdx −				∫sin xdx +						∫sin13xdx +				∫sin 7xdx = −									84		cos 21x −					4			cos x −				52	cos13x −
	4		4							4			4												84							4							52
−	1		cos 7x +C.
−	28		cos 7x +C.
	28

Іноді при інтеграції тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули для пониження порядку функцій.

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

= ∫

4dx

dctg2x

− 2

= −2ctg2x + C

sin

x cos

sin

Приклад.

∫sin

xdx

= ∫

−

cos 2x

dx =

∫

(1 −cos 2x)

dx =

∫(1 −

2 cos 2x + cos

∫dx −

∫cos 2xdx +

∫cos2 2xdx =

−

sin 2x +

∫

(1 + cos 4x)dx =

[

dx +

∫

cos 4xdx]=

−

sin 2x

sin 4x

1 3x

−sin 2x +

sin 4x

+C.

∫

4 2

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

2x)dx =

− sin42x +

Приклад.

u = ln x;

du =

dx;

= e du;

∫cos(ln x)dx =

= ∫eu

cosudu =

= eu cosu +

q = e

;

dx = e

dp = −sin udu;

;

x = e

du;

= e

+ ∫eu

p = sin u; dq

du;

sin udu =

= eu cosu + eu sin u − ∫eu cosudu;

dp = cosudu;

q = e ;

Разом

∫eu cosudu = eu

(cosu + sin u) + C

∫x cos(ln x)

1 dx = x(cos(ln x) + sin(ln x)) + C

∫cos(ln x)dx =

+ C;

cos

− ln x

Інтеграція деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтеграції різних типів ірраціональних функцій.

Інтеграл вигляду де n- натуральне число.


За допомогою підстановки					n ax + b		= t
					cx + d
	ax + b	= t	n	;	x =	t n −b		;
	cx + d	= t		;	x =	a − ct n		;
	cx + d					a − ct n

Тоді

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

функція раціоналізувалася.

	t	n	−b		′
						dt;

dx =		− ct		n
a

− 2dx

− dx

−

∫

− 2x

= t;

dt =

= ∫

= −2∫

= 4 1

;

− 2x −

− 2x

−t

t −1

1− 2x )

dt = −t

− 2∫

− 2t − 2 ln t −1 + C =

= −2∫ t +

−1

dt = −2∫tdt − 2∫

t −1

dt = −t

= − 1 − 2x − 24 1 − 2x − 2ln 4 1 − 2x −1 + C.

Якщо до складу ірраціональної функції входить коріння різних ступенів, то як нова змінна раціонально узяти корінь ступеня, рівного найменшому загальному кратному ступенів коріння, що входить у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

x −1 +

x −1

x −1 = t; x

−1 = t

+ t

)12t

+ t

;

=12

dt =

∫(x −1)(1 + 6 x −1)

dx =

=12t11dt;

∫

t12 (1+ t 2 )

∫ t 2 +1

∫

tdt

∫

−

dt +

−

tdt −12

+12

dt −

=12

t +1

=12

t +

dt =12

t +1

−12∫

= 6t 2 +12t −6ln(t 2 +1) −12arctgt + C = 66

x −1 +1212 x −1 − 6ln(6

x −1 +1) −

+ t

−12arctg12 x −1 + C.

Інтеграція біномінальних диференціалів.

Визначення: Біномінальним диференціалом називається вираз xm(а + bxn)pdx

де m, n, і p – раціональні числа.

Як було доведено академіком Чебишевим п.Л. (1821-1894), інтеграл від біномінального диференціала може бути виражений через елементарні функції тільки в наступних трьох випадках:

1)Якщо р – ціле число, то інтеграл раціоналізувався за допомогою підстановки t = λ x де λ - спільний знаменник m і n.

2)Якщо mn+1 - ціле число, то інтеграл раціоналізувався підстановкою

“Курс вищої математики. Частина 2.”

t = s a + bxn де s – знаменник числа р.

3) Якщо mn+1 + p - ціле число, то використовується підстановка, де s – знаменник

числа р.

Проте, найбільше практичне значення мають інтеграли від функцій, раціональних щодо аргументу і квадратного кореня з квадратного тричлена.

На розгляді цих інтегралів зупинимося детальніше.

Інтеграли вигляду ∫R(x, ax2 + bx + c )dx .

Існує декілька способів інтеграції такого роду функцій. Залежно від виду виразу, що стоїть під знаком радикала, переважно застосовувати той або інший спосіб.

Як відомо, квадратний тричлен шляхом виділення повного квадрата може бути приведений до вигляду:

± u 2 ± m2 .

Таким чином, інтеграл приводиться до одного з трьох типів:

1)	∫R(u, m2		−u 2 )du;
2)	∫R(u,	m2	+ u 2 )du;
3)	∫R(u,	u 2 − m2 )du;

1 спосіб. Тригонометрична підстановка.

Теорема: Інтеграл вигляду ∫R(u, m2 −u 2 )du підстановкою u = msin t або u = m cost зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint або cost.

Приклад:

x = a sin t;

− a2 sin 2 ta costdt = ∫a2 cos2 tdt = a

∫ a2

− x2 dx =

= ∫ a2

∫(1+ cos 2t)dt =

dx = a costdt

a2t

sin 2t + C =

a2t

sin t cost + C =

arcsin

− x

+ C.

Теорема:

Інтеграл

вигляду

∫R(u,

+u 2 )du

підстановкою

u = mtgt або

зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint і cost.

Приклад:

x = atgt; dx = a

dt;

∫

cos

= ∫

a costdt

= ∫

cos

tdt

∫

−sin

t)d sin t

+ x

cos

sin

+ x

;

cost

+ x

)

3 / 2

+ x

= −

1 −

= −

+ C.

3a4 sin3 t

sin t

+ C = sin t

+ x2

3a4 x3

4 x

+ x

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема: Інтеграл вигляду ∫R(u, u 2 − m2 )du підстановкою u =	1	або
	sin t

u = cos1 t зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint або cost.

Приклад:

2sin t

∫

x =

cost

; dx =

cos

dt;

∫

2sin t costdt

∫ctg

tdt =

x(x

− 4)

5 / 2

cos

t 2

− 4

= 2tgt;

∫ctg

−

∫ctg

td (ctgt) −

∫ctg

tdt

= −

ctg

t −

1 dt = −

∫

−1 dt =

sin

= − 1 ctg 3t + 1 ctgt + t

+ C =

ctgt

= −

12(x2

− 4)3 / 2

− 4

arccos 2

+ C.

2 спосіб. Підстановки Ейлера. (1707-1783)

Якщо а>0, то інтеграл вигляду

∫R(x,

ax2

+bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = t ± x a .

Якщо a<0 і c>0, то інтеграл

вигляду

∫R(x,

ax2

+ bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = tx ±

c .

3) Якщо a<0, а підкорінний вираз розкладається на дійсні множники а, те інтеграл

вигляду

∫R(x, ax2 + bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = t(x − x1 ) .

Відзначимо, що підстановки Ейлера незручні для практичного використання оскільки навіть при нескладних підінтегральних функціях приводять до вельми громіздких обчислень. Ці підстановки представляють швидшим теоретичний інтерес.

3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:
I.∫	P(x)dx	;	II.∫P(x) ax	2	+ bx	+ cdx;
	ax2 + bx + c

де P(x) – многочлен, n – натуральне число.

III.∫			dx		;
III.∫	(x − α)	n	ax	2	;
	(x − α)		ax		+ bx + c

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко приведені до виду інтеграла I типу.

Далі робиться наступне перетворення:

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫	P2(x)dx	=Q(x) ax2 + bx + c + λ∫	ax	2	dx	;
	ax +bx + c		ax		+bx + c

у цьому виразі Q(x) - деякий многочлен, ступінь якого нижчий за ступінь многочлена P(x), а λ - деяка постійна величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), ступінь якого нижчий за ступінь многочлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу,

потім умножають на ax2 + bx + c і, порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях

х, визначають λ і коефіцієнти многочлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо ступінь многочлена Р(х) більше одиниці. Інакше можна успішно використовувати методи інтеграції раціональних дробів, розглянуті вище, оскільки лінійна функція є похідною підкорінного виразу.

Приклад.

∫3x32

− 7x2 +1 dx = (Ax2 + Bx + C) x2 − 2x + 5 + λ∫

− 2x + 5

Тепер продиференціюємо отриманий вираз, помножимо на

ax2 + bx + c

і згрупуємо

коефіцієнти при однакових ступенях х.

3x3 − 7x2 +1 = (2Ax + B) x2 − 2x + 5 + Ax2 + Bx + C (x −1) +

x2 − 2x + 5

(2Ax + B)(x2 − 2x + 5) + (Ax2 + Bx + C)(x −1) + λ= 3x3 −7x2 +1

2Ax3 − 4Ax2 +10Ax + Bx2 − 2Bx +5B + Ax3 + Bx2 +Cx − Ax2 − Bx −C + λ = 3x3 −7x2 +1

3Ax3 − (5A − 2B)x2

+ (10A −3B + C)x +5B −C + λ = 3x3 −7x2 +1

A =1

− 2B = 7

= −1

= 0

= −13

10A −3B + C

5B −C + λ =1

λ = −7

Разом ∫

3x32

− 7x2

+1 dx = (x2

− x −13) x2

− 2x + 5 − 7∫

dx 2

− 2x + 5

(x −1)

+ 4

= (x2 − x −13) x2

− 2x + 5 −7 ln(x −1+

− 2x + 5) +C.

Приклад.

∫(4x

−

6x) x

3dx = ∫

(4x2 −6x)(x2 +3)

= (Ax

+ Bx

+ Cx

+ D) x

+ 3

+ λ∫

+ 3

4 − 6x3 +12x2 −18x

= (3Ax

+ 2Bx

+ C)

+ 3

(Ax3 + Bx

2 + Cx + D)x

x2 + 3

4x4 − 6x3 +12x2 −18x = (3Ax2 + 2Bx + C)(x2 +3) + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + λ

4x4 − 6x3 +12x2 −18x = 3Ax4 + 2Bx3 + Cx2 + 9Ax2 + 6Bx + 3C + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + λ

4x4 − 6x3 +12x2 −18x = 4Ax4 +3Bx3 + (2C + 9A)x2 + (6B + D)x + 3C + λ

A =1; B = −2; C = 3/ 2; D = −6; λ = −9 / 2;

∫(4x2 −6x) x2 +3dx = x3

− 2x

2 + 3 x −

x2 + 3 −

9 ln x + x2 +3 + C.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Приклад.

∫

x =

;

= −∫

v3dv

= −∫

v2 dv

(Av + B) 1 − v2 + λ∫

− v

−v

−1

dx = −

−

− v2

= A 1 − v2 − (Av + B)v + λ

1− v2

1 − v2

−v2 = A − Av2 − Av2 − Bv + λ

− v2 = −2Av2 − Bv + A + λ

A =1/ 2;

B = 0;

λ = −1/ 2;

v 1 − v

−1

− ∫

arcsin v

− arcsin

1 −v

−

+ C

Другий спосіб вирішення того ж самого прикладу.

tgt

sin t

∫

x =

cost

; dx =

cost

dt;

= ∫

cos

dt =

∫

sin t cos4 t

dt = ∫cos

tdt =

−1

−1 = tgt;

tgt

cos

t sin t

cos

1 t + 1 sin 2t =

−1

(1 + cos 2t)dt =

sin 2t = 2sin t cost = 2

∫2

−1

+ C.

arccos

З урахуванням того, що функції arcsin і arccos зв'язані співвідношенням, а постійна інтеграції З – довільне число, відповіді, отримані різними методами, співпадають.

Як видно, при інтеграції ірраціональних функцій можливо застосовувати різні розглянуті вище прийоми. Вибір методу інтеграції обуславливается в основному найбільшою зручністю, очевидністю застосування того або іншого методу, а також складністю обчислень і перетворень.

Приклад.

x = sin t;

costdt

∫

= ∫

2 + C.

− x

)

3 / 2 = dx = costdt;

= ∫

cos

= tgt + C =

1 − x

cost =

1− x2

Декілька прикладів інтегралів, що не виражаються через

елементарні функції.

До таких інтегралів відноситься інтеграл вигляду, де Р(х) - многочлен ступеня

вище другий. Ці інтеграли називаються еліптичними.

Якщо

ступінь

многочлена Р(х) вище

четвертою,

то інтеграл називається

ультраэллиптическим.

Якщо все – таки інтеграл такого вигляду виражається через елементарні функції, то він називається псевдоеліптичним.

		“Курс вищої математики. Частина 2.”
	Не можуть бути виражені через елементарні функції наступні інтеграли:
1)	∫e−x2 dx - інтеграл Пуассона ( Сімеон Подіни Пуассон – французького математика
	(1781-1840))
2)	∫sin x2 dx; ∫cos x2 dx - інтеграли Френеля (Жан Огюстен Френель – французький
	учений (1788-1827) - теорія хвилевої оптики і ін.)

3)∫lndxx - інтегральний логарифм

4)∫exx dx - приводиться до інтегрального логарифма

5)∫sinx x dx - інтегральний синус

6)∫cosx xdx - інтегральний косинус

Певний інтеграл.

Хай на відрізку [а, b] задана безперервна функція f(x).

Позначимо m і M найменше і найбільше значення функції на відрізку [а, b] Розіб'ємо відрізок [а, b] на частини (не обов'язково однакові) n крапками.

x0 < x1 < x2 < . < xn Тоді x1 – x0 = ∆x1, x2 – x1 = ∆x2 .,xn – xn-1 = ∆xn;

На кожному з отриманих відрізань знайдемо найменше і найбільше значення функції.

[x0, x1] → m1, M1; [x1, x2] → m2, M2; . [xn-1, xn] → mn, Mn.

Складемо суми:

S n = m1x1 + m2x2 + . +mn∆xn = S n = M1x1 + M2x2 + . + Mnxn =

Сума S називається нижньою інтегральною сумою, а сума S – верхньою

інтегральною сумою.

Оскільки mi ≤ Mi, то S n ≤ S n, а m(b – а) ≤ S n ≤ S n ≤ M(b – а) S

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Усередині кожного відрізання виберемо деяку крапку ε. x0 < ε1 < x1, x1 < < x2 ., xn-1 < ε < xn.

Знайдемо значення функції в цих крапках і складемо вираз, який називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [а, b].

Sn = f(1)∆x1 + f(2)∆x2 + . + f(n)∆xn =

Тоді можна записати: mixi≤ ≤ f(i)ε∆xi≤ ≤ Mixi

Отже

Sn ≤ Sn ≤ Sn

Геометрично це представляється таким чином: графік функції f(x) обмежений зверху описаною ламаною лінією, а знизу – вписаною ламаною.

Позначимо maxxi – найбільший відрізок розбиття, а minxi – найменший. Якщо maxxi →0, то число відрізань розбиття відрізання [а, b] прагне до нескінченності.

ЯкщоSn = ∑ f (εi )∆xi , то

i=1

Визначення: Якщо при будь-якому розбитті відрізання [а, b] таких, що maxxi

→0 і довільному виборі точок i інтегральна сума Sn = ∑ f (εi )∆xi прагне до межі S,

i=1

яка називається певним інтегралом від f(x) на відрізку [а, b].

Позначення :

а – нижня межа, b – верхня межа, х – змінна інтеграції, [а, b] – відрізок інтеграції.

			n	b
Визначення: Якщо для функції f(x) існує межа maxlim∆xi →0			∑ f (εi )∆xi	= ∫ f (x)dx, те
			i=1	a
функція називається інтегрованою на відрізку [а, b].
Також вірні твердження:
	n	b
maxlim∆xi →0	∑M i ∆xi	= ∫ f (x)dx
	i=1	a

Теорема: Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

				Властивості певного інтеграла.
1)	∫b Af (x)dx = A∫b		f (x)dx;
	a	a
	b		b	b
2)	∫( f1 (x) ± f2 (x))dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx
	a		a	a
	a
3)	∫ f (x)dx = 0

“Курс вищої математики. Частина 2.”

4)Якщо f(x) ≤ (x) ϕна відрізку [а, b] а < b, то

5)Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку

[а, b], то:

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a)

6) Теорема про середній. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то на цьому відрізку існує крапка ε така, що

∫ f (x)dx = (b − a) f (ε)

Доказ: Відповідно до властивості 5:

1 b

m ≤ b − a ∫a f (x)dx ≤ M

оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Другимі словами, існує таке число ε [а, b], що якщо

1		b		b
1		∫ f (x)dx = µ і µ = f(ε), а	а ≤ ε ≤ b,	тоді ∫ f (x)dx = (b − a) f (ε) . Теорема
		∫ f (x)dx = µ і µ = f(ε), а	а ≤ ε ≤ b,	тоді ∫ f (x)dx = (b − a) f (ε) . Теорема
	b − a a			a
доведена.
7) Для довільних чисел а, b, із справедливо рівність:
		b	c	b
		∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
		a	a	c

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожен з вхідних в нього інтегралів.

8)∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx

Узагальнена теорема про середній. Якщо функції f(x) і (x) ϕбезперервні на відрізку [а, b], і функція (х) ϕзнакопостоянна на нім, то на цьому відрізку існує крапкаε, така, що

∫ f (x)ϕ(x)dx = f (ε)∫ϕ(x)dx

Обчислення певного інтеграла.

Хай в інтегралі ∫ f (x)dx нижня межа а = const, а верхня межа b змінюється.

Очевидно, що якщо змінюється верхня межа, то змінюється і значення інтеграла.

Позначимо ∫ f (t)dt = Ф(х). Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній

межі х.

d ∫x f (t)dt = f (x) dx a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
03.05.20211.59 Mб6683.pdf
#
26.04.20211.64 Mб4M-008.pdf
#
26.04.20211.23 Mб3M-040.pdf
#
26.04.2021439.24 Кб5M-051.pdf
#
26.04.2021967.56 Кб12Частина 1.pdf
#
26.04.2021882.81 Кб2Частина 2.pdf
#
26.04.20211.01 Mб2Частина 3.pdf
#
26.04.2021669.46 Кб6Частина 4.pdf