Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Схема дослідження функцій Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для

якнайповнішого уявлення про поведінку функції і характер її графіка необхідно відшукати:

1) Область існування функції.

Це поняття включає і область значень і область визначення функції.

2)Точки розриву. (Якщо вони є).

3)Інтервали зростання і убування.

4)Точки максимуму і мінімуму.

5)Максимальне і мінімальне значення функції на її області визначення.

6)Області опуклості і угнутості.

7)Точки перегину.(Якщо вони є).

8)Асимптоти.(Якщо вони є).

9)Побудова графіка.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.

Приклад. Досліджувати функцію і побудувати її графік.

Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення

31

Видно, що точка х = - є точкою максимуму, а точка х = 3 є точкою мінімуму.

Значення функції в цих крапках рівні відповідно 3/2 і -3 3 /2.

Про вертикальні асимптоти було вже сказано вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.

Побудуємо графік функції:

32

“Курс вищої математики. Частина 2.”

z

A(x, у, z)

r0

у

х

Хай деяка крива в просторі задана параметрично: x = (t); ϕу = (t); ψz = f(t);

Радіусвектор довільної точки кривої: r = xir + yjr + zk =ϕ(t)ir +ψ(t) rj + f (t)kr .

Таким чином, радиусвектор точки кривої може розглядатися як деяка векторна функція скалярного аргументу t. При зміні параметра t змінюється величина і напрям вектора rr.

Запишемо співвідношення для деякої точки t0:

33

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Щоб знайти похідну векторної функції скалярного аргументу, розглянемо приріст радиусвектора при деякому прирості параметра t.

34

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.

Рівняння нормальної площини до кривої матиме вигляд:

Рівняння, що описують криву, по осях координат мають вигляд:

x(t)= cost; у(t)= sint; z(t)= 3t ;

Знаходимо значення функцій і їх похідних в заданій точці:

- це рівняння дотичної.

Нормальна площина має рівняння:

− x + 3z − 32π = 0

Параметричне завдання функції.

Дослідження і побудова графіка кривою, яка задана системою рівнянь вигляду:

x = ϕ(t)

y = ψ(t) ,

проводиться загалом те аналогічно дослідженню функції вигляду у = f(x).

35

яких хоч би одна з похідних (t) або (t) рівна нулю або не існує. Такі значення параметра t називаються критичними.

Для кожного інтервалу (t1, t2) (t2, t3) ., (tk-1, tk) знаходимо відповідний інтервал (x1, x2) (x2, x3) ., (xk-1, xk) і визначуваний знак похідної dydx на кожному з отриманих

інтервалів, тим самим визначаючи проміжки зростання і убування функції.

Далі знаходимо другу похідну функції на кожному з інтервалів і, визначаючи її знак, знаходимо напрям опуклості кривої в кожній крапці.

Для знаходження асимптот знаходимо такі значення t, при наближенні до яких або х або у прагне до нескінченності, і такі значення t, при наближенні до яких і х і у прагне до нескінченності.

У останньому дослідження проводиться аналогічним також, як і дослідження функції, заданої безпосередньо.

На практиці дослідження параметрично заданих функцій здійснюється, наприклад, при знаходженні траєкторії рухомого об'єкту, де роль параметра t виконує час.

Нижче розглянемо докладніше деякі широко відомі типи параметрично заданих кривих.

Рівняння деяких типів кривих в параметричній формі.

Коло.

Якщо центр кола знаходиться на початку координат, то координати будь-який її крапки можуть бути знайдені по формулах:

Якщо виключити параметр t, то отримаємо канонічне рівняння кола:

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t)= r2

Еліпс.

Для довільної точки еліпса М(х, у) з геометричних міркувань можна записати:

де 0 ≤ t ≤ 2

Кут t називається ексцентричним кутом.

Циклоїда.

у

Визначення. Циклоїдою називається крива, яку описує деяка крапка, лежача на колі, коли коло без ковзання котиться по прямій.

Хай коло радіусу а переміщається без ковзання уздовж осі х. Тоді з геометричних міркувань можна записати: OB = МВ = at; PB = MK = asint;

MCB = t; Тоді у = MP = KB = CB – CK = а – acost = а(1 – cost). x = at – asint = а(t – sint).

Якщо виключити параметр, то отримуємо:

Як видно, параметричне рівняння циклоїди набагато зручніше у використанні, чим рівняння, що безпосередньо виражає одну координату через іншу.

37

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Астроїда.

Дана крива є траєкторією точки кола радіусу R/4, що обертається без ковзання по внутрішній стороні кола радіусу R.

R/4

R

Параметричні рівняння, задаючі зображену вище криву

Перетворюючи, отримаємо: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t)= a2/3

Похідна функції, заданої параметрично.

Хай

Припустимо, що ці функції мають похідні і функція x = (t) ϕмає зворотну функцію t =

Ф(х).

Тоді функція у = (t) може бути розглянута як складна функція у = ψ[Ф(х)].

оскільки Ф(х) – зворотна функція, то Остаточно отримуємо:

Таким чином, можна знаходити похідну функції, не знаходячи безпосередньої залежності у від х.

Приклад. Знайти похідну функції

Спосіб 1: Виразимо одну змінну через іншу, тоді

x = a cost

Спосіб 2: Застосуємо параметричне завдання даній кривій: .

y = bsin t

dydx = −bacossintt = − atgtb x2 = a2cos2t;

38

Визначення: Кут α повороту дотичної до кривій при переході від крапки А до крапки В називається кутом суміжності.

Відповідно, більш зігнута та крива, у якої при однаковій довжині більше кут суміжності.

Визначення: Середньою кривизною Кср дуги AB називається відношення

відповідного кута суміжності α до довжини дуги AB .

Kср = α

AB

Відзначимо, що для однієї кривої середня кривизна її різних частин може бути різною, тобто дана величина характеризує не криву цілком, а деякий її ділянка.

Визначення: Кривизною дуги в крапці НО називається межа середньої

кривизни при прагненні довжини дуги AB 0.

Легко бачити, що якщо позначити AB = S, то за умови, що кут α - функція, яка залежить від S і дифференцируема, то

39

“Курс вищої математики. Частина 2.”

у

B