Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої межі.

Теорема: Для всякої функції f(x), безперервною на відрізку [а, b], існує на цьому відрізку первісна, а значить, існує невизначений інтеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбніца)

Якщо функція F(x) – какаяабо первісна від безперервної функції f(x), то

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)

a

цей вираз відомий під назвою формули Ньютона – Лейбніца.

Доказ: Хай F(x) – первісна функції f(x). Тоді відповідно до приведеної вище

x

теореми, функція ∫ f (t)dt - первісна функція від f(x). Але оскільки функція може мати

a

нескінченно багато первісних, які відрізнятимуться один від одного тільки на яке – то постійне число З, то

x

∫ f (t)dt = F(x) +C

a

при відповідному виборі З ця рівність справедлива для будь-якого х, тобто при х = а:

a

∫ f (t)dt = F(a) + C

a

0 = F(a) + C

C = −F(a)

x

Тоді ∫ f (t)dt = F(x) − F(a) .

a

b

А при х = b: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a)

a

Замінивши змінну t на змінну х, отримуємо формулу Ньютона – Лейбніца:

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)

a

a a

Формула Ньютона – Лейбніцом є загальний підхід до знаходження певних інтегралів. Що стосується прийомів обчислення певних інтегралів, то вони практично нічим

не відрізняються від всіх тих прийомів і методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.

Так само застосовуються методи підстановки (заміни змінною), метод інтеграції по частинах, ті ж прийоми знаходження первісних для тригонометричних, ірраціональних і трансцендентних функцій. Особливістю є тільки те, що при застосуванні цих прийомів треба поширювати перетворення не тільки на підінтегральну функцію, але і на межі інтеграції. Замінюючи змінну інтеграції, не забути змінити відповідно межі інтеграції.

Заміна змінних.

71

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Хай заданий інтеграл, де f(x) – безперервна функція на відрізку [а, b]. Введемо нову змінну відповідно до формули x = (t).ϕ

Тоді якщо

1)ϕ(α) = а, ϕ(β) = b

2)(t) ϕі (t) ϕ′безперервні на відрізку [α, β]αβ

3)f((t)) ϕвизначена на відрізку [α, β], то

При заміні змінною в певному інтегралі слід пам'ятати про те, що функція (у розглянутому прикладі це функція sin), що вводиться, повинна бути безперервна на відрізку інтеграції. Інакше формальне застосування формули приводить до абсурду.

Приклад.

Тобто два способи знаходження інтеграла дають різні результати. Це відбулося через те, що не був врахований той факт, що введена змінна tgx має на відрізку інтеграції розривши (у точці х = π/2). Тому в даному випадку така підстановка непридатна. При заміні змінною в певному інтегралі слід уважно стежити за виконанням перерахованих вище умов.

Інтеграція по частинах.

Якщо функції u = (x) ϕі v = (x) ψбезперервні на відрізку [а, b], а також безперервні на цьому відрізку їх похідні, то справедлива формула інтеграції по частинах:

Виведення цієї формули абсолютно аналогічне виведенню формули інтеграції по частинах для невизначеного інтеграла, який був вельми детально розглянутий вище, тому тут приводити його немає сенсу.

Наближене обчислення певного інтеграла.

72

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Як було сказано вище, існує величезна кількість функцій, інтеграл від яких не може бути виражений через елементарні функції. Для знаходження інтегралів від подібних функцій застосовуються різноманітні наближені методи, суть яких полягає в тому, що підінтегральна функція замінюється “близькою” до неї функцією, інтеграл від якої виражається через елементарні функції.

Формула прямокутників.

Якщо відомі значення функції f(x) в деяких точках x0, x1 ., xm, то як функція “близькою” до f(x) можна узяти многочлен Р(х) ступеня не вище m, значення якого у вибраних крапках рівні значенням функції f(x) в цих крапках.

Це відповідно нижняя і верхня інтегральні суми. Перша відповідає вписаною ламаною, друга – описаною.

застосовуватися для наближеного обчислення певного інтеграла і називається

загальною формулою прямокутників.

Формула трапецій.

Ця формула є точнішою по

Підінтегральна функція в цьому випадку замінюється на вписану ламану.

Геометрично площа криволінійної трапеції замінюється сумою площ вписаних трапецій. Очевидно, що чим більше узяти точок n розбиття інтервалу, тим з більшою точністю буде обчислений інтеграл.

Площі вписаних трапецій обчислюються по формулах:

73

Після приведення подібних доданків отримуємо формулу трапецій:

Формула парабол (формула Сімпсона або квадратурна формула).

(Томас Симпсон (1710-1761) - англійський математик)

Розділимо відрізок інтеграції [а, b] на парне число відрізань (2m). Площа криволінійної трапеції, обмеженій графіком функції f(x) замінимий на площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою другого ступеня з віссю симетрії, паралельній осі Оу і що проходить через точки кривої, із значеннями f(x0), f(x1), f(x2).

Для кожної пари відрізань побудуємо таку параболу.

у

Рівняння цих парабол мають вид Ax2 + Bx + C, де коефіцієнти А, В, З можуть бути легко знайдені по трьом точкам перетину параболи з початковою кривою.

Тоді рівняння значень функції (1) мають вигляд:

y0 = Ah2 − Bh + C y1 = C

y2 = Ah2 + Bh + C

C обліком цього: y0 + 4 y1 + y2 = 2Ah2 + 6C . Звідси рівняння (2) прийме вигляд:

Тоді

74

...............................................

Складаючи ці вирази, отримуємо формулу Сімпсона:

Чим більше узяти число m, тим більше точного значення інтеграла буде набуте. Приклад. Обчислити наближене значення певного інтеграла

∫8 x3 +16dx за допомогою формули Сімпсона, розбивши відрізок інтеграції на 10

−2

частин.

По формулі Сімпсона отримаємо:

Точне значення цього інтеграла – 91.173.

Як видно, навіть при порівняно великому кроці розбиття точність отриманого результату цілком задовільна.

Для порівняння застосуємо до цього ж завдання формулу трапецій.

+ 4.899 + 6.557 +8.944 +11.874 +15.232 +18.947) = 91.352

Формула трапецій дала менш точний результат в порівнянні з формулою Сімпсона.

Окрім вищеперелічених способів, можна обчислити значення певного інтеграла за допомогою розкладання підінтегральної функції в статечній ряд.

Принцип цього методу полягає в тому, щоб замінити підінтегральну функцію формуле Тейлора і почленно проінтегрувати отриману суму.

Приклад. З точністю до 0,001 обчислити інтеграл

75

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Оскільки інтеграція проводиться в околиці точки х=0, то можна скористатися для розкладання підінтегральної функції формулой Маклорена.

Розкладання функції cosx має вигляд:

Знаючи розкладання функції cosх легко знайти функцію 1 – cosx:

У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 до безкінечності, а в попередній

– від 0 до безкінечності. Це – не помилка, так виходить в результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

У наступній дії буде застосована теорема про почленном інтеграцію ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).

Взагалі кажучи, із строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд сходиться і, більш того, сходиться рівномірно на відрізку інтеграції [0, 0,5]. Ці питання будуть детально розглянуті пізніше (Див. .Действия со степенными рядами) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоч би по властивостях певного інтеграла (інтеграл від суми рівний сумі інтегралів).

Отже:

Разом, отримуємо:

= 0,25 − 0,00174 + 0,0000086 −... ≈ 0,248

Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому членові розкладання.

Для довідки: Точне (вірніше – точніше) значення цього інтеграла: 0,2482725418.

76

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Невласні інтеграли.

Хай функція f(x) визначена і безперервна на інтервалі [а, ∞). Тоді вона безперервна на будь-якому відрізку [а, b].

Визначення: Якщо існує кінцева межа, то ця межа називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [а, ∞).

Позначення:

Якщо ця межа існує і кінцевий, то говорять, що невласний інтеграл сходиться. Якщо межа не існує або нескінченний, то невласний інтеграл розходиться.

Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів вигляду:

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

−∞ −∞ c

Звичайно, ці твердження справедливі, якщо вхідні в них інтеграли існують.

Приклад.

∞

В цьому випадку інтеграл ∫ f (x)dx називається таким, що абсолютно сходиться.

a

Інтеграл від розривної функції.

Якщо в точці х = з функція або невизначена, або розривна, то

77

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Таких крапок усередині відрізання може бути декілька.

Якщо сходяться всі інтеграли, що входять в суму, то сходиться і сумарний інтеграл.

Геометричні додатки певного інтеграла.

Обчислення площ плоских фігур.

у

+ +

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженій графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за вісь Ох, тобто f(x)< 0, то площа має знак “-“, якщо графік розташований вище за вісь Ох, тобто f(x)> 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула S = ∫b f (x)dx .

a

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = x, у = x2, x = 2.

78

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена по формулі:

Знаходження площі криволінійного сектора.

ρ = f(ϕ)

координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор в цій системі координат, має вигляд ρ = f(ϕ), де ρ - довжина радіус – вектора, що сполучає полюс з довільною точкою кривої, а ϕ - кут нахилу цього радіус – вектора до полярної осі.

Докладніше про полярну систему координат і її зв'язку з декартовою прямокутною системою координат див. Полярная система координат. “Курс вищої математики. Частина 1.”

Площа криволінійного сектора може бути знайдена по формулі

S = 1 ∫β f 2 (ϕ)dϕ

2 α

Обчислення довжини дуги кривої.

уу = f(x)

∆Si ∆yi ∆xi

79

“Курс вищої математики. Частина 2.”

n

Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як Sn = ∑∆Si .

i=1

n

Тоді довжина дуги рівна S = lim ∑∆Si .

max ∆Si →0 i=1

З геометричних міркувань: В той же час

Тоді можна показати (див. Интегрируемая функция.), що

Тобто Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення

похідної параметрично заданої функції (див. Производная фунции, заданной параметрически.), отримуємо

β

S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 dt ,

α

де х = (t) і у = (t).

Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) і z = Z(t), то

β

S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 +[Z ′(t)]2 dt

α

Якщо крива задана в полярних координатах, то

β

S = ∫ ρ′2 + ρ2 dϕ ρ = f(ϕ).

α

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x2 + y2 = r2.

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну у. Знайдемо похідну Тоді

Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то отримаємо: r2cos2ϕ + r2sin2ϕ = r2, тобто функція ρ = f(ϕ) = r, ρ′ = dfd(ϕϕ) = 0 тоді

2π 2π

S = ∫ 0 + r 2 dϕ = r ∫dϕ = 2πr

0 0

Обчислення об'ємів тіл.

Обчислення об'єму тіла по відомих площах його паралельних перетинів.

80