Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Елементи вищої алгебри.

Основні поняття теорії множин.

Визначення. Безліччю М називається об'єднання в єдине ціле певних помітних об'єктів а, які називаються елементами множини.

а М

Множину можна описати, вказавши яке – нибудь властивість, властива всім елементам цієї множини.

Множина, що не містить елементів, називається порожньою і обзначается .

Визначення. Якщо всі елементи множини А є також елементами множини В, то говорять, що множина А включається (міститься) в множині В.

А

У

А В

Визначення. Якщо А В, то множина А називається підмножиною множини В, а якщо при цьому А ≠ В, то множина А називається власною підмножиною множини В і позначається А В.

Для трьох множин А, В, Із справедливі наступні співвідношення.

A A; A A;

A B B C → A C;

A B B C → A C;

Зв'язок між включенням і рівністю множин встановлюється наступним

співвідношенням:

A = B ↔ A B B A.

Тут знак позначає кон'юнкцію (логічне “и”).

Операції над множинами.

Визначення. Об'єднанням множин А і В називається множина З, елементи якого належать хоч би одномк з множин А і В.

Позначається З = А В.

А

У

101

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Геометричне зображення множин у вигляді області на площині називається

діаграмою Ейлера – Венна.

Визначення. Перетином множин А і В називається множина З, елементи якого належать кожній з множин А і В.

Позначення З = А ∩ В.

А З В

Для множин А, В і Із справедливі наступні властивості:

Визначення. Різницею множин А і В називається множина, що складається з елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається З = А \ У.

АВ

Визначення. Симетричною різницею множин А і В називається множина З, елементи якого належать в точності одній з множин А або В.

Позначається А ∆ В.

А ∆ В = (A \ B) (B \ A)∆

102

“Курс вищої математики. Частина 1.”

AB

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність.

A \ (B C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

Якщо деякий елемент х А \ (У З), то це означає, що цей елемент належить множині А, але не належить множинам В И С.

Множина А \ У є безліччю елементів множини А, що не належать множині В. Множина А \ З предсталяет собою безліч елементів множини А, що не належать

множині С.

Множиною (A \ B) ∩ (A \ C) є безліч елементів, які належать множині А, але не належать ні множині В, ні множині С.

Таким чином, тотожність можна визнавати доведеною.

Відносини і функції.

Визначення. Впорядкованою парою (а, b) двох елементів а і b називається множина {a}{а, b}.

Для будь-яких елементів а, b, з, d справедливе співвідношення: (a,b) = (c, d ) ↔ a = c b = d;

Визначення. Декартовим твором множин А і В називається безліч всіх впорядкованих пар (а, b), де аА, bB .

A× B ={(a,b) a A; b B}

Декартовий твір п рівних множин А називатиметься п – й декартовим ступенем множини А і позначатися Аn.

(а1,а2,.аn) R, то говорять, що відношення R виконується для елементів а1,а2,.аn і записують R а1а2.аn. Якщо n = 2, то таке відношення називається бінарним.

Для бінарного відношення замість загального запису Ra1a2 застосовують запис

а1Ra2.

Властивості бінарних відносин.

Визначення. Твором двох бінарних відносин R і S, заданих на множині А, називається множина {(x, y) z(z A) (x, z) R (z, y) S}

Знак | називається штрих Шеффера і позначає антикон'юнкцію.

104

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення. Зворотним (інверсним) відношенням до відношення R, заданого на множині А, називається відношення R-1, визначуване рівністю:

R−1 = {(x, y) ( y, x) R}

Якщо R, S і T – бінарні відносини на множині А, те виконуються наступні равентсва:

Структури алгебри.

Визначення. На множині А визначена операція алгебри, якщо кожним двом елементам цієї множини, узятим в певному порядку, однозначним чином поставлений у відповідність деякий третій елемент з цієї ж множини.

Прикладами операцій алгебри можуть служити такі операції як складання і віднімання цілих чисел, складання і віднімання векторів, матриць, множення квадратних матриць, векторне множення векторів і ін.

Відзначимо, що скалярний твір векторів не може вважатися операцією алгебри, оскільки результатом скалярного твору буде число, і числа не відносяться до безлічі векторів, до якої відносяться співмножники.

Визначення. Множина А з визначеною на нім операцією (наприклад, множенням) алгебри називається групою, якщо виконані наступні умови:

1) для будь-яких трьох елементів а, b, з A виконується властивість асоціативності:

a(bc) = (ab)c

2) у множині А існує такий елемент е, що для будь-якого елементу а з цієї множини виконується рівність:

ae = ea = a

3) для будь-якого елементу а множини існує елемент а’ з цієї ж множини такий,

що

aa′ = a′a = e

Різні множини можуть бути групою відносно какойабо операції і не бути групою щодо іншої операції.

Число елементів називається порядком групи.

Визначення. Між елементами безлічі M і N встановлена взаємно однозначна відповідність, якщо кожному елементу безлічі М поставлений у відповідність певний елемент безлічі N, причому різним елементам однієї безлічі соответсвуют різні елементи іншої множини.

Визначення. Дві групи M і N називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначне соответсвие, при якому для будь-

яких двох елементів а, b M і відповідним ним елементам а, b’ N елементу

105

“Курс вищої математики. Частина 1.”

з = ab буде відповідає елемент з’ = a’b’.

При цьому відображення групи М на групу N називається гомоморфізмом.

Визначення. Якщо операція, визначена в групі комутативна, (тобто для будьяких елементів а і b групи вірне співвідношення ab=ba), то така група називається

комутативною або абелевой групою.

Визначення. Безліч R з двома визначеними в нім операціями алгебри, складанням і множенням, називається кільцем, якщо щодо операції складання воно є абелевой групою, а операція множення дистрибутивна, тобто для будь-яких елементів

Якщо операція множення, визначена в кільці комутативна, то таке кільце називається комутативним кільцем.

Визначення. Полем називається комутативне кільце, в якому для будь-якого ненульового елементу а 0 і будь-якого елементу b існує єдиний елемент х такий, що ах

= b.

Дискретна математика.

Елементи комбінаторики.

Якщо з деякої кількості елементів, різних меду собою, складати різні комбінації, то серед них можна виділити три типи комбінацій, що носять загальну назву –

з'єднання.

Розглянемо докладніше ці три типи з'єднань:

1) Перестановки.

Визначення. Якщо в деякій множині a1 , a2 ,..., am переставляти місцями

елементи, залишаючи незмінною їх кількість, то кожна отримана таким чином комбінація називається перестановкою.

Загальне число перестановок з m елементів позначається Pm і обчислюється за формулою:

Pm = m!

2) Розміщення.

Визначення. Якщо складати з т різних елементів групи по n елементів в кожній, розташовуючи узяті елементи в різному порядку. Комбінації, що вийшли при цьому, називаються розміщеннями з т елементів по п.

Загальне число таких розміщень расчитывается по формулі:

106

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Взагалі кажучи, перестановки є окремим випадком розміщень.

3) Поєднання.

Визначення. Якщо з т елементів складати групи п елементів в кожній, не обертаючи уваги на порядок елементів в групі, то комбінації, що вийшли при цьому, називаються поєднаннями з т елементів по п.

Загальне число поєднань знаходиться по формулі:

Також одним з варіантів комбінацій є перестановки з елементами, що повторюються.

Якщо серед т елементів є т1 однакових елементів одного типу, т2 однакових елементів іншого типу і так далі, то при перестановці цих елементів всілякими способами отримуємо комбінації, кількість яких визначається по формулі:

Приклад. Номер автомобіля складається з трьох букв і трьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 10 цифр і алфавіт в 30 букв.

Очевидно, що кількість всіх можливих комбінацій з 10 цифр по 4 рівна 10.000. Число всіх можливих комбінацій з 30 букв по дві рівно А302 = 30 29 = 870 .

Якщо врахувати можливість того, що букви можуть повторюватися, то число комбінацій, що повторюються, рівне 30 (одна можливість повтору для кожної букви). Разом, повна кількість комбінацій по дві букви рівна 900.

Якщо до номера додається ще одна буква з алфавіту в 30 букв, то кількість комбінацій збільшується в 30 разів, тобто досягає 27.000 комбінацій.

Остаточно, оскільки кожній буквеній комбінації можна поставити у відповідність числову комбінацію, то повна кількість автомобільних номерів рівна

270.000.000.

Біном Ньютона. (поліноміальна формула)

У подальшому буде отримана формула бінома Ньютона за допомогою прийомів диференціального числення.

Біном Ньютона – це формула, що виражає вираз (а + b)n у вигляді многочлена. Ця формула має вигляд:

107

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Широко відомі формули скороченого множення квадрата суми і різниці, куба суми і різниці, є окремими випадками бінома Ньютона.

Коли ступінь бінома невисокий, коефіцієнти многочлена можуть бути знайдені не розрахунком по формулі кількості поєднань, а за допомогою так званого трикутника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французький математик).

Цей трикутник має вигляд:

1 8 28 56 70 56 28 8 1

.......

Формула бінома Ньютона може бути узагальнена для довільного числа доданків.

Нагадаємо, що при обчисленнях 0! приймається рівним 1.

Приклад. У розкладанні (xk + y p )n знайти члени, х, що містятьα, якщо k=3, p=2, n=8 α=9.

По фомуле бінома Ньютона маємо: C обліком числових значень:

(x3 + y 2 )8 = ∑8 C8i x3(8−i) y 2i

i=0

Впринципі, можна написати розкладання цього виразу в многочлен, визначити коэффициеты або безпосередньо, або з трикутника Паскаля (ступінь бінома порівняно невеликий), проте, робити це не обов'язково, оскільки необхідно знайти тільки член розкладання, х9, що містить.

Знайдемо число i, відповідне цьому членові: Знаходимо:

Приклад. У розкладанні (x + y + z + w)m знайти члени, x, що містятьγ. т=9 γ=6.

По узагальненій формулі бінома Ньютона отримуємо:

Для знаходження повного розкладання необхідно визначити всі можливі значення ni, проте, це пов'язано з величезними обчисленнями. Проте, оскільки треба

108

“Курс вищої математики. Частина 1.”

знайти тільки члени, х6, що містять, то n1 = 6, а сума всіх чотирьох значень п рівна 9. Значить, сума п2 + п3 + п4 = 3.

Розглянемо можливі значення цих величин:

Елементи математичної логіки.

Математична логіка – різновид формаьной логіки, тобто науки, яка вивчає висновки з погляду їх формальної будови.

Визначення. Висловом називається пропозиція, до якої можливо застосувати поняття істинно або помилково.

У математичній логіці не розглядається сам сенс висловів, визначається тільки його істинність або помилковість, що прийнято позначати відповідно І або Л.

Зрозуміло, що дійсні і помилкові вислови утворюють відповідні множини. За допомогою простих висловів можна складати складніші, сполучаючи прості вислови союзами “и”, “або”.

Таким чином, операції з висловами можна описувати за допомогою деякого математичного апарату.

Вводяться наступні логічні операції (зв'язки) над висловами

1)Заперечення. Запереченням вислову Р називається вислів, який істинний тільки тоді, коли вислів Р помилково.

Позначається Р або P .

Відповідність між висловами визначається таблицями істинності. У нашому випадку ця таблиця має вигляд:

2) Кон'юнкція. Кон'юнкцією двох висловів P і Q називається вислів, істинний тоді і тільки тоді, коли істинні обидва вислови.

Позначається P&Q або Рq.

109

“Курс вищої математики. Частина 1.”

3) Диз'юнкція. Диз'юнкцією двох висловів P і Q називається вислів, помилковий тоді і тільки тоді, коли обидва вислови помилкові.

Позначається PQ.

4) Імплікація. Імплікацією двох висловів P і Q називається вислів, істинний тоді і тільки тоді, коли вислів Р істинно, а Q – помилково.

Позначається PQ (або Рq). Вислів Р називається посилкою імплікації, а вислів Q

– слідством.

5) Еквіваленция. Еквіваленцией двох висловів P і Q називається вислів, істинний тоді і тільки тоді, коли істинності висловів співпадають.

Позначається Рq або Рq.

За допомогою цих основних таблиць істинності можна складати таблиці істинності складних формул.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними

формули ϕ і ψ.

ϕ = p ( p r)

ψ = p ( p r )

Складемо таблиці істинності для кожної формули:

110