Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

x

F1 а F2

з

За визначенням r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокуси гіперболи. F1F2 = 2c. Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

r1 = (x + c)2 + y 2 r2 = (x −c)2 + y 2

(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = 2a

(x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4a (x −c)2 + y 2 + (x −c)2 + y 2 4a (x −c)2 + y 2 = −4a2 + 4xc

a2 (x −c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + x2c2

a2 x2 − 2a2 xc + a2c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + x2 c2 a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 − a4 − x2c2 = 0

− x2 (c2 − a2 ) + a2 (c2 − a2 ) + a2 y2 = 0 x2 (c2 − a2 ) − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 )

позначимо с2 – а2 = b2 (геометрично ця величина – менша піввісь) a2b2 = b2 x2 − a2 y 2

Гіпербола симетрична щодо середини відрізання, що сполучає фокуси і щодо осей координат.

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи. Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

Якщо а = b, e = 2 , то гіпербола називається равнобочной (рівносторонньою).

41

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні дійсній осі гіперболи і розташовані симетрично щодо центру на відстані a/e від нього, називаються директрисами

гіперболи. Їх рівняння: x = ± ae .

Теорема. Якщо r – відстань від довільної крапки М гіперболи до какогоабо фокусу, d – відстань від тієї ж крапки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d – величина постійна, рівна ексцентриситету.

Доказ. Зобразимо схемний гіперболу.

у

a/e d

M(x, у)

r1

OF1 = з

З очевидних геометричних співвідношень можна записати:

a/e + d = x, отже d = x – a/e. (x – з)2 + y2 = r2

r = ac x − a

Тоді оскільки с/a = e, то r = ex – а.

Для лівої гілки гіперболи доказ аналогічний. Теорема доведена.

Приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої знаходяться у

Для еліпса: c2 = a2 – b2.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2.

42

Парабола.

Визначення. Параболою називається безліч точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної крапки, званої фокусом, і від даної прямої, званою директрисою і що не проходить через фокус.

Розташуємо початок координат посередині між фокусом і директрисою.

у

АМ(х, у)

p/2 p/2

Величина р (відстань від фокусу до директриси) називається параметром параболи. Виведемо канонічне рівняння параболи.

З геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2;

43

“Курс вищої математики. Частина 1.”

MF2 = y2 + (x – p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

Рівняння директриси: x = -p/2.

Приклад. На параболі у2 = 8х знайти крапку, відстань якої від директриси рівна

4.

З рівняння параболи отримуємо, що р = 4. r = x + p/2 = 4; отже:

x = 2; y2 = 16; у = ±4. Шукані крапки: M1(2; 4), M2(2; -4).

Системи координат.

Будь-яка точка на площині може бути однозначно визначена за допомогою різних координатних систем, вибір яких визначається різними чинниками. Спосіб завдання початкових умов для вирішення який – або конкретного технічного завдання може визначити вибір тієї або іншої системи координат. Для зручності проведення обчислень часто переважно використовувати системи координат, відмінні від декартової прямокутної системи. Крім того, наочність представлення остаточної відповіді часто теж сильно залежить від вибору системи координат. Нижче розглянемо деякі найбільш часто використовувані системи координат.

Полярна система координат.

Визначення. Точка Про називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.

Суть завдання какойабо системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність парі дійсних чисел, що визначають положення цієї крапки на площині. У разі полярної системи координат роль цих чисел грають відстань крапки від полюса і кут між полярною віссю і радиус– вектором цієї крапки. Цей кут ϕ називається полярним кутом.

М

r

r =

ϕ

0

l

44

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Можна встановити зв'язок між полярною системою координат і декартовою прямокутною системою, якщо помістити початок декартової прямокутної системи в полюс, а полярну вісь направити уздовж позитивного напряму осі Ох.

Тоді координати довільної точки в двох різних системах координат зв'язуються співвідношеннями:

x = rcosϕ; у = rsinϕ; x2 + y2 = r2

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

r = 4 . Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, 3 −cosϕ

визначить тип кривої, знайти фокуси і ексцентриситет. Схемний побудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної і полярної системи координат:

зрушений уздовж осі Ох на 1/2 управо, велика піввісь а рівна 3/2, менша піввісь b

рівна 2 , половина відстані між фокусами рівно з = a2 −b2 = 1/2. Ексцентриситет рівний е = с/a = 1/3. Фокуси F1(0; 0) і F2(1; 0).

у

2

45

“Курс вищої математики. Частина 1.”

47

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Аналітична геометрія в просторі.

Рівняння лінії в просторі.

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність крапок, координати яких в деякій вибраній в просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, у, z)= 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Крім того, лінія в просторі може бути визначена і інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана какимабо рівнянням.

Хай F(x, у, z)= 0 і Ф(x, у, z)= 0 – рівняння поверхонь, пересічних по лінії L. Тоді пару рівнянь

F(x, y, z) = 0Ф(x, y, z) = 0

назвемо рівнянням лінії в просторі.

Рівняння прямої в просторі по точці і направляючому вектору.

Візьмемо довільну пряму і вектор S (m, n, p), паралельний даною прямою.

Вектор Srназивається направляючим вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М0(x0, y0, z0) і M(x, у, z).

z

Sr M1

M0

r0 r

0 у

x

Позначимо радиусвектори цих крапок як іr0 r , очевидно, що rr- r0 = М0 М .

Оскільки вектори М0 М і Sr коллинеарны, то вірне співвідношення М0 М = Srt, де t – деякий параметр.

Разом, можна записати: r = r0 + S t.

Оскільки цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, то отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

48

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Це векторне рівняння може бути представлене в координатній формі:

Звідси отримаємо: m : n : p = cosα : cosβ : cosγ. r

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Оскільки S - ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. В цьому випадку в рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві крапки.

Якщо на прямій в просторі відзначити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), то координати цих крапок повинні задовольняти отриманому вище рівнянню прямої:

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

Це рівняння прямої, що проходить через дві крапки в просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин. Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана

рівнянням:

Nr - нормаль площини; r - радиусвектор довільної точки площини.

49

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Хай в просторі задано дві площини: N1 r + D1 = 0 і N2 r + D2 = 0, вектори нормалі мають координати: N1 (A1, B1, C1), N2 (A2, B2, C2); r (x, у, z).

Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

Практичне завдання часто полягає в приведенні рівнянь прямих в загальному вигляді до канонічного вигляду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої і числа m, n, р.

При цьому направляючий вектор прямої може бути знайдений як векторний твір векторів нормалі до заданих площин.

Приклад. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

2x − y +3z −1 = 05x + 4y − z −7 = 0

Тоді канонічні рівняння прямої:

−11x = y17− 2 = z13−1.

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння прямої, задане у вигляді:

2x +3y −16z −7 = 0

3x + y −17z = 0

50