Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

простір – поняття ширше. Прикладами таких просторів можуть служити безліч дійсних чисел, безліч векторів на площині і в просторі, матриці і так далі

Якщо операції складання і множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійний (векторне) простір є речовим простором, якщо для комплексних елементів

– комплексним простором.

Властивості лінійних просторів.

1)У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.

2)Для кожного елементу існує тільки один протилежний елемент.

3)Для кожного x L вірно 0 x = 0

4)Для кожного α R і O L вірно α O = O

5)Якщо α x = O , то α = 0 або x = O

6)(-1) x = - x

Лінійні перетворення.

Визначення: Вважатимемо, що в лінійному просторі L задано деяке лінійне перетворення А, якщо будь-якому елементу x L за деяким правилом ставиться у відповідність елемент А x L.

Визначення: Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів x L і y L і будь-якого α вірно:

A(+) x y = A+A x y A(α x ) = αA

Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворить елемент лінійного простору сам в себе.

Еx = x

Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А=+ x x x0 ; x0 ≠ 0.

Запишемо перетворення А для какогоабо елементу y . А y = y + x0 Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования

А( x + y ) = y + x + x0 ; A( x ) + A( y ) = x + x0 + y + x0 , что верно только при x0 = 0, т.е.

данное преобразование А нелинейное.

Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворенняa1 , a2 ,..., an , то інший вектор b =αa1 + βa2 +... + λan є лінійною комбінацією векторів ai .

Визначення: Якщо αa1 + βa2 +... + λan = 0 тільки при α = β = . = λ = 0, то

вектори ai називаються лінійно незалежними.

Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n + 1 векторів лінійно залежні, той простір L називається n-мерным, а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.

Слідство: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

61

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Матриці лінійних перетворень.

Хай в n- мірному лінійному просторі з базисом., e1 e2 en задано лінійне

перетворення А. Тогда вектори А, e1 А,.,Аe2 en - також вектори цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

A= a11+ e1 a21+.+ e2 an1 A= a12+ e1 a22+.+ e2 an2

.............

A= en an1+ e1 an2+.+ e2 ann

А.

Якщо в просторі L узяти вектор x = x1+ e1 x2+.+ e2 xn en , то A х L.

Ax = x1′e1 + x2′e2 +... + x′n en де

x1′ = a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn x′2 = a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn

.............

x′n = an1 x1 + an2 x2 +... + ann xn

Цю рівність можна назвати лінійним перетворенням в базисі., e1 e2 en .

Приклад. Знайти матрицю лінійного перетворення, заданого у вигляді: x′ = x + у

у′ = у + z z′ = z + x

x′ = 1x + 1y + 0z у′ = 0x + 1y + 1z z′ = 1x + 0y + 1z

62

“Курс вищої математики. Частина 1.”

На практиці дії над лінійними перетвореннями зводяться до дій над їх матрицями.

Визначення: Якщо вектор х переводиться у вектор у лінійним перетворенням з матрицею А, а вектор у у вектор z лінійним перетворенням з матрицею В, то

послідовне застосування цих перетворень рівносильне лінійному перетворенню, що переводить вектор х у вектор z (воно називається твором перетворень, що становлять).

З = ВА

Приклад. Задано лінійне перетворення А, що переводить вектор х у вектор у і

Примітка: Якщо А= 0, то перетворення вироджене, тобто, наприклад, площина перетвориться не в цілу площина, а в пряму.

Власні значення і власні вектори лінійного перетворення.

Визначення: Хай L – задане n- мірний лінійний простір. Ненульовий вектор L називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке числоλ, що виконується рівність:

A х = λх .

При цьому число λ називається власним значенням (характеристичним числом) лінійного перетворення А, відповідного вектору х .

63

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення: Якщо лінійне перетворення А в деякому базисі., e1 e2 en має

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частьхарактеристичним многочленом лінійного перетворення А.

Слід зазначити, що характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Розглянемо окремий випадок. Хай А – деяке лінійне перетворення площини,

у деякому базисі e1 ,e2 .

Якщо перетворення А має власний вектор з власним значеннямλ, то Ах = λх .

Оскільки власний вектор x ненульовий, то х1 і х2 не рівні нулю одночасно. Оскільки дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальне рішення, визначник системи повинен бути рівний нулю. Інакше за правилом Крамера система має єдине рішення – нульове, що неможливе.

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням лінійного перетворення А.

Таким чином, можна знайти власний вектор х (х1, х2) лінійного перетворення А з власним значеннямλ, де λ - корінь характеристичного рівняння, а х1 і х2 – коріння системи рівнянь при підстановці в неї значення .

Зрозуміло, що якщо характеристичне рівняння не має дійсного коріння, то лінійне перетворення А не має власних векторів.

Слід зазначити, що якщо х - власний вектор перетворення А, те і будь-який вектор йому колінеарний – теж власний з тим же самим власним значенням λ.

64

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Дійсно A(kx) = kAx = kλx = λ(kx) . Якщо врахувати, що вектори мають один початок, то ці вектори утворюють так званий власний напрям або власну пряму.

Оскільки характеристичне рівняння може мати два різні дійсні корені λ1 і 2, то в цьому випадку при підстановці їх в систему рівнянь отримаємо нескінченну кількість рішень. (Оскільки рівняння лінійно залежні). Це безліч рішень визначає дві власні прямі.

Якщо характеристичне рівняння має два рівні корені λ1 = λ2 =, то або є лише одна власна пряма, або, якщо при підстановці в систему вона перетворюється на

х2. Тоді всі вектори будуть власними, і таке перетворення називається перетворенням подібності.

Приклад. Знайти характеристичні числа і власні вектори лінійного перетворення

Запишемо лінійне перетворення у вигляді: x1′ = λx1 = 5x1 + 4x2 x′2 = λx2 = 2x1 +3x2

З системи виходить залежність: x1 – 2x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; 0,5t) де t- параметр.

З системи виходить залежність: x1 + x2 = 0. Власні вектори для другого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; -t) де t- параметр.

Отримані власні вектори можна записати у вигляді: u1 = t(e1 + 0,5e2 ); u2 = t(e1 −e2 ).

Приклад. Знайти характеристичні числа і власні вектори лінійного перетворення

Запишемо лінійне перетворення у вигляді: x1′ = λx1 = 6x1 − 4x2 x′2 = λx2 = 4x1 − 2x2

65

“Курс вищої математики. Частина 1.”

(6 −λ)x1 − 4x2 = 04x1 −(2 + λ)x2 = 0

λ2 - 4λ + 4 = 0;

Коріння характеристичного рівняння: λ1 = 2 = 2;

Отримуємо: (6 − 2)x1 − 4x2 = 0

4x1 − 4x2 = 0

З системи виходить залежність: x1 – x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; t) де t- параметр.

Власний вектор можна записати: ur = (e1 + e2 )t .

Розглянемо інший окремий випадок. Якщо х - власний вектор лінійного перетворення А, заданого в тривимірному лінійному просторі, а х1, х2, х3 –

компоненти цього вектора в деякому базисіе1 , е2 , е3 , то

де λ - власне значення (характеристичне число) перетворення А.

Якщо матриця лінійного перетворення А має вигляд:

Розкривши визначника, отримаємо кубічне рівняння відносно λ. Будь-яке кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має або один, або три дійсні корені.

Тоді будь-яке лінійне перетворення в тривимірному просторі має власні вектори.

Приклад. Знайти характеристичні числа і власні вектори лінійного перетворення

Складемо характеристичне рівняння:

66

(1 - λ)((5 - λ)(1 - λ) - 1) - (1 - λ - 3) + 3(1 - 15 + 3λ) = 0 (1 - λ)(5 - 5λ - λ + λ2 - 1) + 2 + λ - 42 + 9λ = 0

(1 - λ)(4 - 6λ + λ2) + 10λ - 40 = 0 4 - 6λ + λ2 - 4λ + 6λ2 - λ3 + 10λ - 40 = 0

-λ3 + 72 – 36 = 0 -λ3 + 92 - 22 – 36 = 0 -λ2( + 2) + 9(λ2 – 4)= 0 (λ + 2)(-λ2 + 9λ - 18) = 0

67

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Власні вектори: u3 = (e1 + 2e2 + е3 ) t.

Приклад. Знайти характеристичні числа і власні вектори лінійного перетворення

Для самостійного вирішення: Аналогічно знайти u2 і u3 для λ2 і 3.

Квадратичні форми.

Визначення: Однорідний многочлен другого ступеня відносно змінних х1 і х2

Ф(х1, х2)= а11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22

що не містить вільного члена і невідомих в першому ступені називається

квадратичною формою змінних х1 і х2.

Визначення: Однорідний многочлен другого ступеня відносно змінних х1, х2 і

х3

Ф(x1 , x2 , x3 ) = a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a23 x2 x3 + 2a13 x1 x3

68

“Курс вищої математики. Частина 1.”

що не містить вільного члена і невідомих в першому ступені називається

визначником квадратичної форми.

Хай на площині заданий ортогональний базис е1 ,е2 . Кожна точка площини має в цьому базисі координати х1, х2.

Якщо задана квадратична форма Ф(х1, х2)= а11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 , то її можна розглядати як функцію від змінних х1 і х2.

Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 – координати вектора Ах в базисі е1 ,е2 .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді Ф(х1, х2)= х1у1 + х2у2.

Як видно, геометричний сенс числового значення квадратичної форми Ф в точці з координатами х1 і х2 – скалярний твір х Ах = Ф.

Якщо узяти інший ортонормований базис на площині, то в нім квадратична форма Ф виглядатиме інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці і не зміниться. Якщо знайти такий базис, в якому квадратична форма не міститиме координат в першому ступені, а тільки координати в квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного вигляду.

Якщо як базис узяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

69

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Вираз Ф(х1′, х′2 ) = λ1 (х1′)2 + λ2 (х′2 )2 називається канонічним видом квадратичної

форми. Аналогічно можна привести до канонічного вигляду квадратичну форму з великим числом змінних.

Теорія квадратичних форм використовується для приведення до канонічного виду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму Ф(х1, х2)= 27.

(27 - λ)(3 - λ) – 25 = 0 λ2 - 30λ + 56 = 0

λ1 = 2; λ2 = 28;

Ф(х1′, х2′) = 2х1′2 + 28х2′2

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку: 17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

(17 - λ)(8 - λ) - 36 = 0

136- 8 λ- 17λ + λ2 – 36 = 0 λ2 - 25λ + 100 = 0

70