Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Дані формули не є еквівалентними.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними

формули ϕ і ψ.

ϕ = ( p q) r

ψ = ( p q) (q p) r

Складемо таблиці істинності для заданих формул.

З складених таблиць видно, що дані формули не рівносильні.

Основні равносильности.

Для будь-яких формул А, В і Із справедливі наступні равносильности:

A & (A B) ≡ A; A (A & B) ≡ A; ¬¬A ≡ A; ¬(A & B) ≡ A B;

111

“Курс вищої математики. Частина 1.”

A ≡ (A & B) (A & ¬B); A ≡ (A B) & (A B);

Булеві функції.

Визначення. Булевою функцією f(X1, X2 ., Xn) називається називається довільна n – місцева функція, аргументи і значення якої належать множині {0, 1}.

Взагалі кажучи між логічними висловами, логічними зв'язками і булевими функціями є видимою явна аналогія. Якщо логічні функції можуть приймати значення істинно або помилково, то для булевої функції аналогами цих значень будуть значення

0 або 1.

Для булевих функцій також можна скласти таблиці значень, відповідним основним логічним операціям.

Числення предикатів.

Визначення. Предикатом P(x1, x2 ., xn) називається функція, змінні якої приймають значення з деякої множини М, а сама функція приймає два значення: І (істина) і Л (брехня), тобто

P(x1 , x2 ,..., xn ) : M n →{И, Л}

Предикат від п аргументів називається п – місцевим предикатом. Вислови вважаються нуль – місцевими предикатами.

Над предикатами можна проводити звичайні логічні операції, в результаті яких виходять нові предикати.

Окрім звичайних логічних операцій до предикатів застосовуються також спеціальні операції, звані кванторами.

Квантори бувають двох видів:

1)Квантор спільності. Позначається (х)Р(х). Квантором спільності називається вислів істинне, коли Р(х) істинно для кожного елементу х з безлічі М, і помилкове – інакше.

2)Квантор існування. Позначається (х)Р(х). Квантором існування називається вислів, істинний, коли існує елемент з безлічі М, для якого Р(х) істинно, і помилкове інакше.

Операцію скріплення квантором можна застосовувати і до предикатів від більшого числа змінних.

112

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Для формул логіки предикатів зберігається справедливість всіх правил рівносильних перетворень логіки висловів. Крім того, справедливі наступні властивості:

1) Перенесення квантора через заперечення.

3) Перестановка однойменних кванторів.

( у)(x) A(x,y) ≡ (x)(y) A(x,y); (y)(x) A(x,y) ≡ (x)(y) A(x,y);

4)Перейменування зв'язаних змінних. Якщо замінити зв'язану змінну формули

Аіншою змінною, що не входить в цю формулу, в кванторі і усюди в області дії квантора отримуємо формулу, рівносильну А.

Числення предикатів базується на приведених вище властивостях і правилах, званих аксіомами.

Якими б не були формули А і В для них справедливі наступні аксіоми:

1)A (B A);

2)(A (B C)) ((A B) (A C));

3)(¬B ¬A) ((¬B A) B);

4)( xi)A(xi) A(xj), де формула А не містить змінною xi.

5)A(xi) ( xj)A(xj), де формула А не містить змінною xi.

113

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Кінцеві графи і мережі. Основні визначення.

Визначення. Якщо на площині задати кінцеву безліч V крапок і кінцевий набір ліній Х, що сполучають деякі пари з крапок V, то отримана сукупність крапок і ліній називатиметься графом.

При цьому елементи множини V називаються вершинами графа, а елементи множини Х – ребрами.

У множині V можуть зустрічатися однакові елементи, ребра, що сполучають однакові елементи називаються петлями. Однакові пари в множині Х називаються кратними (або паралельними) ребрами. Кількість однакових пар

(v, w) у Х називається кратністю ребра (v, w).

Множина V і набір Х визначають граф з кратними ребрами – псевдограф.

G = (V, X)

Псевдограф без петель називається мультиграфом.

Якщо в наборі Х жодні пари не зустрічаються більше одного разу, то мультиграф називається графом.

Якщо пари в наборі Х є упорядочными, то граф називається орієнтованим або

орграфом.

Графові відповідає геометрична конфігурація. Вершини позначаються точками (кружечками), а ребра – лініями, що сполучають відповідні вершини.

Визначення. Якщо х = {v, w} – ребро графа, то вершини v, w називаються кінцями ребра х.

Якщо х = (v, w) – дуга орграфа, то вершина v – почало, а вершина w – кінець

дуги х.

Визначення. Вершини v, w графа G = (V, X) називаються суміжними, якщо {v,w} X. Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають общюю вершину.

Визначення. Ступенем вершини графа називається число ребер, яким ця вершина належить. Вершина називається ізольованою, якщо якщо її ступінь рівний одиниці і висячою, якщо її ступінь рівний нулю.

Визначення. Графи G1(V1, X1) і G2(V2, X2) називаються изоморфмными,

якщо існує взаємно однозначне відображення ϕ: V1→ → V2, що зберігає суміжність.

Визначення. Маршрутом (шляхом) для графа G(V, X) називається послідовність v1x1v2x2v3.xkvk+1. Маршрут називається замкнутим, якщо його початкова і кінцева точки співпадають. Число ребер (дуг) маршруту (шляхи) графа називається довжиною маршруту (шляхи).

Визначення. Незамкнутий маршрут (шлях) називається ланцюгом. Ланцюг, в якому всі вершини попарно різні, називається простій ланцюгом.

Визначення. Замкнутий маршрут (шлях) називається циклом (контуром). Цикл, в якому всі вершини попарно різні, називається простим циклом.

Матриці графів.

114

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Хай D = (V, X) – орграф, де V = {v1 ., vn}, X = {x1 ., xm}.

Визначення. Матрицею суміжності орграфа D називається квадратична матриця A(D)= [aij] порядку п, у якої

Визначення. Якщо вершина v є крнцом ребра х, то говорять, що v і х –

инциндентны.

Визначення. Матрицею инциндентности оргафа D називається матриця розмірності пт ×B(D)= [bij], у якої

Приклад. Записати матриці суміжності і інцидентності для графа, зображеного на малюнку.

Матриця инциндентности:

Тобто Якщо граф має кратні дуги (ребра), то в матриці суміжності приймається aij=k, де до – кратність дуги (ребра).

115

“Курс вищої математики. Частина 1.”

За допомогою матриць суміжності і инциндентности завжди можна повністю определеить граф і всі його компоненти. Такий метод завдання графів дуже зручний для обробки даних на ЕОМ.

Приклад. Задана симетрична матриця Q ненегативних чисел. Намалювати на площині граф G(V, X), що має задану матицу Q своєю матрицею суміжності. Знайти матрицю инциндентности R графа G. Нарісованть також орграф, що має матрицю суміжності Q, визначити його матрицю инциндентности С.

x3

v2

Складемо матрицю инциндентности:

Разом:

Побудуємо тепер орієнтований граф із заданою матрицею суміжності.

x4

116

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Складемо матрицю инциндентности для ориетированного графа.

Елемент матриці рівний 1, якщо точка є кінцем дуги -1 – якщо початком дуги, якщо дуга є петлею, елемент матриці запишемо як 1.

Таким чином, операції з графами можна звести до операцій з їх матрицями.

Досяжність і зв'язність.

Визначення. Вершина w графа D (або орграфа) називається досяжною з вершини v, якщо або w=v, або існує шлях з v в w(маршрут, сполучаючий v і w).

Визначення. Граф (орграф) називається зв'язним, якщо для будь-яких два його вершин існує маршрут (шлях), який їх зв'язує. Орграф називається односторонньо зв'язковим, якщо якщо для будь-яких два його вершин принаймні одна досяжна з іншої.

Визначення. Псевдографом D(V, X), що асоціюється з орієнтованим псевдографом, називається псевдограф G(V, X0) в якому Х0 виходить з Х заміною всіх впорядкованих пар (v, w) на неврегульовані пари (v, w).

Визначення. Орграф називається слабо зв'язковим, якщо зв'язковим є асоційований з ним псевдограф.

Ейлерови і гамильтоновы графи.

Визначення. Ланцюг (цикл) в псевдографові G називається эйлеровым, якщо вона проходить по одному разу через кожне ребро псевдографа G.

Теорема. Для того, щоб зв'язний псевдограф G володів эйлеровым циклом, необхідно і достатньо, щоб ступені його вершин були парними.

Теорема. Для того, щоб зв'язний псевдограф G володів эйлеровой ланцюгом, необхідно і достатньо, щоб він мав рівно дві вершини непарного ступеня.

Визначення. Цикл (ланцюг) в псевдографові G називається гамильтоновым, якщо він проходить через кожну вершину псевдографа G рівно один раз.

Приклад.

117

“Курс вищої математики. Частина 1.”

-в графі є і эйлеровый і гамильтонов цикли

-в графі є эйлеров цикл, але немає гамильтонова

-в графі є гамильтонов, але немає эйлерова циклу

-в графі немає ні эйлерова, ні гамильтонова циклу

Граф G називається повним, якщо якщо кожна його вершина суміжна з рештою всіх вершин. У повному графові завжди існують гамильтоновы цмклы.

Також необхідною умовою існування гамильтонова циклу явояется зв'язність

графа.

Дерева і цикли.

Визначення. Граф G називається деревом, якщо він є зв'язним і не має циклів. Граф G, всі компоненти зв'язності якого є деревами, називається лісом.

У графа, який є деревом, число ребер на одиницю менше числа вершин. Дерево не містить циклів, будь-які дві його вершини можна соеденить єдиною простій ланцюгом.

Якщо у дерева G є, принаймні, одне ребро, то у нього обов'язково знайдеться висяча вершина, оскільки інакше в графі буде цикл.

Для графів, які самі по собі не є деревами, вводиться поняття остовного дерева.

118

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення. Остовним деревом зв'язного графа G називається будь-який його підграф, що містить всі вершини графа G і що є деревом.

Хай G – зв'язний граф. Тоді остовное дерево графа G (якщо воно існує) повинне містити n(G)-1 ребер.

Таким чином, будь-яке остовное дерево графа G є результат видалення з графа G

рівно m(G) - (n(G) - 1) = m(G) – n(G)+ 1 ребер.

Число v(G)= m(G) – n(G)+ 1 називається цикломатическим числом зв'язного графа G.

Одним з найпоширеніших завдань є завдання побудови остовного дерева мінімальної довжини графа. Для вирішення цього завдання застосовується наступний алгоритм.

1)Виберемо в графові G ребро мінімальної довжини. Разом з инциндентными йому вершинами воно утворює підграф G2.

2)Будуємо граф G3, додаючи до графа G2 нове ребро мінімальної довжини, вибране серед ребер графа G, кожне з яких инциндентно який або вершині графа G2, і одночасно инциндентно який – або вершині графа G, що не міститься в графові G2.

3)Будуємо графи G4, G5 ., Gn, повторюючи дії пункту 2 до тих пір, поки не переберемо всі вершини графа G.

Приклад. Визначити мінімальне остовное дерево навантаженого графа.

Граф називається навантаженим, якщо на безлічі його дуг задана деяка функція, яка називається ваговою функцією, і визначає довжину дуги.

У нашому прикладі – вагова функція визначає довжини дуг числами 1, 2, 3, 4, 5.

На четвертому кроці алгоритму отримали дерево G5, яке сполучає всі вершини початкового графа. Таким чином, дерево G5, буде мінімальним остовным деревом графа G.

Елементи топології.

119

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Топологія вивчає поняття безперервності і близькості з абстрактної точки зору.

Визначення. Околицею точки р називається довільна безліч U, що містить відкриту кулю (не включаючи межу) з центром в точці р.

Околицею на площині, очевидно, є відкритий круг з центром в точці р. З визначення околиці витікають наступні очевидні властивості:

1)Точка р належить будь-якій своїй околиці.

2)Якщо U – околиця точки р, а V U, то V – тоже околиця точки р.

3)Якщо U и V – ооколиці точки р, то їх перетин U ∩ V тоже будет околицею

точки р.

4)Якщо U – околиця точки р, то можна знайти таку околицю V точки р, що W =

V U є околицею є околицею кожній зі своїх крапок.

Визначення. Топологічним простором незывается безліч Е, кожна точка якого р має набір підмножин безлічі Е, званих околицями точки р і що задовольняють приведеним вище властивостям.

Окремим випадком топологічного простору є метричний простір.

Визначення. Хай Е – топологічний простір, а F – його підмножина. Хай р – точка безлічі F. Назвемо підмножину U безлічі F околицею точки р в F, якщо U=FV, де V – околиця точки р в E.

При цьому безліч F називається підпростором простору Е.

Метричний простір.

Визначення. Метрикою на безлічі Е називається функція f(x, у), визначена на декартовому творі ЇЇ, значеннями якої є ненегативні дійсні числа, що задовольняє при будь-яких значеннях х, у, z з безлічі Е наступним умовам:

1)f(x, у)= f(у, x)

2)f(x, у)+ f(у, x) ≥ f(x, у)

3)f(x, у)= 0 тоді і тільки тоді, коли х = у.

Визначення. Метричним простором називається безліч Е із заданою на нім метрикою f.

Визначення. Число ρ(x, у), де х Е і у Е – задані точки, називається відстанню між цими точками.

Визначення. Хай r – позитивне число. Множина {у: ρ(x, у) < r} називається відкритою кулею радіусу r з центром в точці х; множина {у: ρ(x, у) ≤ r} – замкнутою кулею радіусу r з центром в точці х.

Наприклад, для тривимірного евклідова простори R3 метрика визначається як,

де х(х1, х2, x3) R3 і у(y1, y2, y3) R3.

Відкриті і замкнуті множини.

120